Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (x^{2} + 5 x + 9)$ , $[- 3, 1]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} + 5 x + 9$ .

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Étape 1.1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 5 x + 9$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 9]$

Étape 1.1.1.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 9]$

Étape 1.1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 5 x + 9$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 9]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 5 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 1.1.1.2.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 1.1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 1.1.1.2.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 1.1.1.2.6

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5 + 0)$

Étape 1.1.1.2.7

Additionnez $2 x + 5$ et $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5)$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.1.3.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5)$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{x^{2} + 5 x + 9}$

Étape 1.1.1.3.2

Multipliez $2 x + 5$ par $\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9}$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9}$ .

$\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x + 5 = 0$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 5$

Étape 1.2.3.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 5$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 1.2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 1.2.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Étape 1.2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5}{2}$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $\ln (x^{2} + 5 x + 9)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = - \frac{5}{2}$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $- \frac{5}{2}$ .

$\ln ({(- \frac{5}{2})}^{2} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.4.1.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{2}$ .

$\ln ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Étape 1.4.1.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$\ln ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Étape 1.4.1.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\ln (1 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Étape 1.4.1.2.1.3

Multipliez $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$\ln (\frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Étape 1.4.1.2.1.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\ln (\frac{25}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Étape 1.4.1.2.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\ln (\frac{25}{4} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

Étape 1.4.1.2.1.6

Multipliez $5 (- \frac{5}{2})$ .

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Étape 1.4.1.2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\ln (\frac{25}{4} - 5 (\frac{5}{2}) + 9)$

Étape 1.4.1.2.1.6.2

Associez $- 5$ et $\frac{5}{2}$ .

$\ln (\frac{25}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{2} + 9)$

Étape 1.4.1.2.1.6.3

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$\ln (\frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} + 9)$

Étape 1.4.1.2.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 9)$

Étape 1.4.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Multipliez $\frac{25}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\ln (\frac{25}{4} - (\frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 9)$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{25}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 9)$

Étape 1.4.1.2.2.3

Écrivez $9$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{1})$

Étape 1.4.1.2.2.4

Multipliez $\frac{9}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{1} \cdot \frac{4}{4})$

Étape 1.4.1.2.2.5

Multipliez $\frac{9}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9 \cdot 4}{4})$

Étape 1.4.1.2.2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4})$

Étape 1.4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (\frac{25 - 25 \cdot 2 + 9 \cdot 4}{4})$

Étape 1.4.1.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.4.1

Multipliez $- 25$ par $2$ .

$\ln (\frac{25 - 50 + 9 \cdot 4}{4})$

Étape 1.4.1.2.4.2

Multipliez $9$ par $4$ .

$\ln (\frac{25 - 50 + 36}{4})$

Étape 1.4.1.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.1.2.5.1

Soustrayez $50$ de $25$ .

$\ln (\frac{- 25 + 36}{4})$

Étape 1.4.1.2.5.2

Additionnez $- 25$ et $36$ .

$\ln (\frac{11}{4})$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(- \frac{5}{2}, \ln (\frac{11}{4}))$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 3$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 3$ .

$\ln ({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 9)$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\ln (9 + 5 (- 3) + 9)$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$\ln (9 - 15 + 9)$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.1.2.2.1

Soustrayez $15$ de $9$ .

$\ln (- 6 + 9)$

Étape 2.1.2.2.2

Additionnez $- 6$ et $9$ .

$\ln (3)$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\ln ({(1)}^{2} + 5 (1) + 9)$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\ln (1 + 5 (1) + 9)$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$\ln (1 + 5 + 9)$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.2.2.2.1

Additionnez $1$ et $5$ .

$\ln (6 + 9)$

Étape 2.2.2.2.2

Additionnez $6$ et $9$ .

$\ln (15)$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 3, \ln (3)), (1, \ln (15))$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(1, \ln (15))$

Minimum absolu : $(- \frac{5}{2}, \ln (\frac{11}{4}))$

Étape 4