Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x - 2 \cos (x)$ , $0 < x < 2 π$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.1.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$1 - 2 (- \sin (x))$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f' (x) = 1 + 2 \sin (x)$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $1 + 2 \sin (x)$ .

$1 + 2 \sin (x)$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $1 + 2 \sin (x) = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$1 + 2 \sin (x) = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sin (x) = - 1$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = - 1$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (x) = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 1.2.4

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Étape 1.2.5

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ est $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Étape 1.2.6

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 1.2.7

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.7.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 1.2.7.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 1.2.8

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.8.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.2.8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.2.8.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.2.9

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{6}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Étape 1.2.9.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 1.2.9.3

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 1.2.9.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 1.2.9.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.9.4.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Étape 1.2.9.4.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Étape 1.2.9.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{11 π}{6}$

Étape 1.2.10

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x - 2 \cos (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = \frac{7 π}{6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{7 π}{6}$ .

$(\frac{7 π}{6}) - 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$\frac{7 π}{6} - 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Étape 1.4.1.2.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{7 π}{6} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 1.4.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{7 π}{6} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.1.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{7 π}{6} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.1.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 π}{6} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.1.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{7 π}{6} - 1 (- \sqrt{3})$

Étape 1.4.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{7 π}{6} + 1 \sqrt{3}$

Étape 1.4.1.2.5

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{7 π}{6} + \sqrt{3}$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = \frac{19 π}{6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{19 π}{6}$ .

$(\frac{19 π}{6}) - 2 \cos (\frac{19 π}{6})$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{19 π}{6} - 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Étape 1.4.2.2.2

$\frac{19 π}{6} - 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Étape 1.4.2.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{19 π}{6} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 1.4.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{19 π}{6} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.2.2.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{19 π}{6} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.2.2.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{19 π}{6} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.2.2.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{19 π}{6} - 1 (- \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{19 π}{6} + 1 \sqrt{3}$

Étape 1.4.2.2.6

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{19 π}{6} + \sqrt{3}$

Étape 1.4.3

Évaluez sur $x = \frac{31 π}{6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.1

Remplacez $x$ par $\frac{31 π}{6}$ .

$(\frac{31 π}{6}) - 2 \cos (\frac{31 π}{6})$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{31 π}{6} - 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Étape 1.4.3.2.2

$\frac{31 π}{6} - 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Étape 1.4.3.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{31 π}{6} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 1.4.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{31 π}{6} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.3.2.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{31 π}{6} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.3.2.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{31 π}{6} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.3.2.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{31 π}{6} - 1 (- \sqrt{3})$

Étape 1.4.3.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{31 π}{6} + 1 \sqrt{3}$

Étape 1.4.3.2.6

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{31 π}{6} + \sqrt{3}$

Étape 1.4.4

Évaluez sur $x = \frac{43 π}{6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.4.1

Remplacez $x$ par $\frac{43 π}{6}$ .

$(\frac{43 π}{6}) - 2 \cos (\frac{43 π}{6})$

Étape 1.4.4.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.4.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{43 π}{6} - 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Étape 1.4.4.2.2

$\frac{43 π}{6} - 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Étape 1.4.4.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{43 π}{6} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 1.4.4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.4.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{43 π}{6} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.4.2.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{43 π}{6} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.4.2.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{43 π}{6} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.4.2.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{43 π}{6} - 1 (- \sqrt{3})$

Étape 1.4.4.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{43 π}{6} + 1 \sqrt{3}$

Étape 1.4.4.2.6

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{43 π}{6} + \sqrt{3}$

Étape 1.4.5

Évaluez sur $x = \frac{55 π}{6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.5.1

Remplacez $x$ par $\frac{55 π}{6}$ .

$(\frac{55 π}{6}) - 2 \cos (\frac{55 π}{6})$

Étape 1.4.5.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.5.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{55 π}{6} - 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Étape 1.4.5.2.2

$\frac{55 π}{6} - 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Étape 1.4.5.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{55 π}{6} - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 1.4.5.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.5.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{55 π}{6} - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.5.2.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{55 π}{6} + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.5.2.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{55 π}{6} + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.5.2.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{55 π}{6} - 1 (- \sqrt{3})$

Étape 1.4.5.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{55 π}{6} + 1 \sqrt{3}$

Étape 1.4.5.2.6

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{55 π}{6} + \sqrt{3}$

Étape 1.4.6

Évaluez sur $x = \frac{11 π}{6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.6.1

Remplacez $x$ par $\frac{11 π}{6}$ .

$(\frac{11 π}{6}) - 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Étape 1.4.6.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.6.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{11 π}{6} - 2 \cos (\frac{π}{6})$

Étape 1.4.6.2.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{11 π}{6} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.6.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.6.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{11 π}{6} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.6.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{11 π}{6} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.6.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{11 π}{6} - 1 \sqrt{3}$

Étape 1.4.6.2.4

Réécrivez $- 1 \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$\frac{11 π}{6} - \sqrt{3}$

Étape 1.4.7

Évaluez sur $x = \frac{23 π}{6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.7.1

Remplacez $x$ par $\frac{23 π}{6}$ .

$(\frac{23 π}{6}) - 2 \cos (\frac{23 π}{6})$

Étape 1.4.7.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.7.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{23 π}{6} - 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Étape 1.4.7.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{23 π}{6} - 2 \cos (\frac{π}{6})$

Étape 1.4.7.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{23 π}{6} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.7.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.7.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{23 π}{6} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.7.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{23 π}{6} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.7.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{23 π}{6} - 1 \sqrt{3}$

Étape 1.4.7.2.5

Réécrivez $- 1 \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$\frac{23 π}{6} - \sqrt{3}$

Étape 1.4.8

Évaluez sur $x = \frac{35 π}{6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.8.1

Remplacez $x$ par $\frac{35 π}{6}$ .

$(\frac{35 π}{6}) - 2 \cos (\frac{35 π}{6})$

Étape 1.4.8.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.8.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{35 π}{6} - 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Étape 1.4.8.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{35 π}{6} - 2 \cos (\frac{π}{6})$

Étape 1.4.8.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{35 π}{6} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.8.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.8.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{35 π}{6} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.8.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{35 π}{6} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.8.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{35 π}{6} - 1 \sqrt{3}$

Étape 1.4.8.2.5

Réécrivez $- 1 \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$\frac{35 π}{6} - \sqrt{3}$

Étape 1.4.9

Évaluez sur $x = \frac{47 π}{6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.9.1

Remplacez $x$ par $\frac{47 π}{6}$ .

$(\frac{47 π}{6}) - 2 \cos (\frac{47 π}{6})$

Étape 1.4.9.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.9.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{47 π}{6} - 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Étape 1.4.9.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{47 π}{6} - 2 \cos (\frac{π}{6})$

Étape 1.4.9.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{47 π}{6} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.9.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.9.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{47 π}{6} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.9.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{47 π}{6} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.9.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{47 π}{6} - 1 \sqrt{3}$

Étape 1.4.9.2.5

Réécrivez $- 1 \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$\frac{47 π}{6} - \sqrt{3}$

Étape 1.4.10

Évaluez sur $x = \frac{59 π}{6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.10.1

Remplacez $x$ par $\frac{59 π}{6}$ .

$(\frac{59 π}{6}) - 2 \cos (\frac{59 π}{6})$

Étape 1.4.10.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.10.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{59 π}{6} - 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Étape 1.4.10.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{59 π}{6} - 2 \cos (\frac{π}{6})$

Étape 1.4.10.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{59 π}{6} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.10.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.10.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{59 π}{6} + 2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.10.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{59 π}{6} + 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.10.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{59 π}{6} - 1 \sqrt{3}$

Étape 1.4.10.2.5

Réécrivez $- 1 \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$\frac{59 π}{6} - \sqrt{3}$

Étape 1.4.11

Indiquez tous les points.

$(\frac{7 π}{6}, \frac{7 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{19 π}{6}, \frac{19 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{31 π}{6}, \frac{31 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{43 π}{6}, \frac{43 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{55 π}{6}, \frac{55 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{11 π}{6}, \frac{11 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{23 π}{6}, \frac{23 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{35 π}{6}, \frac{35 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{47 π}{6}, \frac{47 π}{6} - \sqrt{3}), (\frac{59 π}{6}, \frac{59 π}{6} - \sqrt{3})$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(\frac{7 π}{6}, \frac{7 π}{6} + \sqrt{3}), (\frac{11 π}{6}, \frac{11 π}{6} - \sqrt{3})$

Étape 3

Utilisez le test de la dérivée afin de déterminer quels points peuvent être des maxima ou des minima.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, \frac{7 π}{6}) \cup (\frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}) \cup (\frac{11 π}{6}, \frac{19 π}{6}) \cup (\frac{19 π}{6}, \frac{23 π}{6}) \cup (\frac{23 π}{6}, \frac{31 π}{6}) \cup (\frac{31 π}{6}, \frac{35 π}{6}) \cup (\frac{35 π}{6}, \frac{43 π}{6}) \cup (\frac{43 π}{6}, \frac{47 π}{6}) \cup (\frac{47 π}{6}, \frac{55 π}{6}) \cup (\frac{55 π}{6}, \frac{59 π}{6}) \cup (\frac{59 π}{6}, \infty)$

Étape 3.2

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \infty, \frac{7 π}{6})$ dans la dérivée première $1 + 2 \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 1 + 2 \sin (0)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f' (0) = 1 + 2 \cdot 0$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$f' (0) = 1 + 0$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (0) = 1$

Étape 3.2.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 3.3

Remplacez tout nombre, tel que $5$ , de l’intervalle $(\frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6})$ dans la dérivée première $1 + 2 \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f' (5) = 1 + 2 \sin (5)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Évaluez $\sin (5)$ .

$f' (5) = 1 + 2 \cdot - 0.95892427$

Étape 3.3.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 0.95892427$ .

$f' (5) = 1 - 1.91784854$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $1.91784854$ de $1$ .

$f' (5) = - 0.91784854$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $- 0.91784854$ .

$- 0.91784854$

Étape 3.4

Remplacez tout nombre, tel que $8$ , de l’intervalle $(\frac{11 π}{6}, \frac{19 π}{6})$ dans la dérivée première $1 + 2 \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f' (8) = 1 + 2 \sin (8)$

Étape 3.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1

Évaluez $\sin (8)$ .

$f' (8) = 1 + 2 \cdot 0.98935824$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $2$ par $0.98935824$ .

$f' (8) = 1 + 1.97871649$

Étape 3.4.2.2

Additionnez $1$ et $1.97871649$ .

$f' (8) = 2.97871649$

Étape 3.4.2.3

La réponse finale est $2.97871649$ .

$2.97871649$

Étape 3.5

Remplacez tout nombre, tel que $11$ , de l’intervalle $(\frac{19 π}{6}, \frac{23 π}{6})$ dans la dérivée première $1 + 2 \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Remplacez la variable $x$ par $11$ dans l’expression.

$f' (11) = 1 + 2 \sin (11)$

Étape 3.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1.1

Évaluez $\sin (11)$ .

$f' (11) = 1 + 2 \cdot - 0.9999902$

Étape 3.5.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 0.9999902$ .

$f' (11) = 1 - 1.99998041$

Étape 3.5.2.2

Soustrayez $1.99998041$ de $1$ .

$f' (11) = - 0.99998041$

Étape 3.5.2.3

La réponse finale est $- 0.99998041$ .

$- 0.99998041$

Étape 3.6

Remplacez tout nombre, tel que $14$ , de l’intervalle $(\frac{23 π}{6}, \frac{31 π}{6})$ dans la dérivée première $1 + 2 \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Remplacez la variable $x$ par $14$ dans l’expression.

$f' (14) = 1 + 2 \sin (14)$

Étape 3.6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1.1

Évaluez $\sin (14)$ .

$f' (14) = 1 + 2 \cdot 0.99060735$

Étape 3.6.2.1.2

Multipliez $2$ par $0.99060735$ .

$f' (14) = 1 + 1.98121471$

Étape 3.6.2.2

Additionnez $1$ et $1.98121471$ .

$f' (14) = 2.98121471$

Étape 3.6.2.3

La réponse finale est $2.98121471$ .

$2.98121471$

Étape 3.7

Remplacez tout nombre, tel que $17$ , de l’intervalle $(\frac{31 π}{6}, \frac{35 π}{6})$ dans la dérivée première $1 + 2 \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Remplacez la variable $x$ par $17$ dans l’expression.

$f' (17) = 1 + 2 \sin (17)$

Étape 3.7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.2.1.1

Évaluez $\sin (17)$ .

$f' (17) = 1 + 2 \cdot - 0.96139749$

Étape 3.7.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 0.96139749$ .

$f' (17) = 1 - 1.92279498$

Étape 3.7.2.2

Soustrayez $1.92279498$ de $1$ .

$f' (17) = - 0.92279498$

Étape 3.7.2.3

La réponse finale est $- 0.92279498$ .

$- 0.92279498$

Étape 3.8

Remplacez tout nombre, tel que $20$ , de l’intervalle $(\frac{35 π}{6}, \frac{43 π}{6})$ dans la dérivée première $1 + 2 \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.1

Remplacez la variable $x$ par $20$ dans l’expression.

$f' (20) = 1 + 2 \sin (20)$

Étape 3.8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.2.1.1

Évaluez $\sin (20)$ .

$f' (20) = 1 + 2 \cdot 0.91294525$

Étape 3.8.2.1.2

Multipliez $2$ par $0.91294525$ .

$f' (20) = 1 + 1.8258905$

Étape 3.8.2.2

Additionnez $1$ et $1.8258905$ .

$f' (20) = 2.8258905$

Étape 3.8.2.3

La réponse finale est $2.8258905$ .

$2.8258905$

Étape 3.9

Remplacez tout nombre, tel que $24$ , de l’intervalle $(\frac{43 π}{6}, \frac{47 π}{6})$ dans la dérivée première $1 + 2 \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.1

Remplacez la variable $x$ par $24$ dans l’expression.

$f' (24) = 1 + 2 \sin (24)$

Étape 3.9.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.2.1.1

Évaluez $\sin (24)$ .

$f' (24) = 1 + 2 \cdot - 0.90557836$

Étape 3.9.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 0.90557836$ .

$f' (24) = 1 - 1.81115672$

Étape 3.9.2.2

Soustrayez $1.81115672$ de $1$ .

$f' (24) = - 0.81115672$

Étape 3.9.2.3

La réponse finale est $- 0.81115672$ .

$- 0.81115672$

Étape 3.10

Remplacez tout nombre, tel que $27$ , de l’intervalle $(\frac{47 π}{6}, \frac{55 π}{6})$ dans la dérivée première $1 + 2 \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.10.1

Remplacez la variable $x$ par $27$ dans l’expression.

$f' (27) = 1 + 2 \sin (27)$

Étape 3.10.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.10.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.10.2.1.1

Évaluez $\sin (27)$ .

$f' (27) = 1 + 2 \cdot 0.95637592$

Étape 3.10.2.1.2

Multipliez $2$ par $0.95637592$ .

$f' (27) = 1 + 1.91275185$

Étape 3.10.2.2

Additionnez $1$ et $1.91275185$ .

$f' (27) = 2.91275185$

Étape 3.10.2.3

La réponse finale est $2.91275185$ .

$2.91275185$

Étape 3.11

Remplacez tout nombre, tel que $30$ , de l’intervalle $(\frac{55 π}{6}, \frac{59 π}{6})$ dans la dérivée première $1 + 2 \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.1

Remplacez la variable $x$ par $30$ dans l’expression.

$f' (30) = 1 + 2 \sin (30)$

Étape 3.11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$f' (30) = 1 + 2 (\frac{1}{2})$

Étape 3.11.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f' (30) = 1 + 2 (\frac{1}{2})$

Étape 3.11.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f' (30) = 1 + 1$

Étape 3.11.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (30) = 2$

Étape 3.11.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 3.12

Remplacez tout nombre, tel que $33$ , de l’intervalle $(\frac{59 π}{6}, \infty)$ dans la dérivée première $1 + 2 \sin (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.12.1

Remplacez la variable $x$ par $33$ dans l’expression.

$f' (33) = 1 + 2 \sin (33)$

Étape 3.12.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.12.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.12.2.1.1

Évaluez $\sin (33)$ .

$f' (33) = 1 + 2 \cdot 0.99991186$

Étape 3.12.2.1.2

Multipliez $2$ par $0.99991186$ .

$f' (33) = 1 + 1.99982372$

Étape 3.12.2.2

Additionnez $1$ et $1.99982372$ .

$f' (33) = 2.99982372$

Étape 3.12.2.3

La réponse finale est $2.99982372$ .

$2.99982372$

Étape 3.13

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = \frac{7 π}{6}$ , $x = \frac{7 π}{6}$ est un maximum local.

$x = \frac{7 π}{6}$ est un maximum local

Étape 3.14

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = \frac{11 π}{6}$ , $x = \frac{11 π}{6}$ est un minimum local.

$x = \frac{11 π}{6}$ est un minimum local

Étape 3.15

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = \frac{19 π}{6}$ , $x = \frac{19 π}{6}$ est un maximum local.

$x = \frac{19 π}{6}$ est un maximum local

Étape 3.16

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = \frac{23 π}{6}$ , $x = \frac{23 π}{6}$ est un minimum local.

$x = \frac{23 π}{6}$ est un minimum local

Étape 3.17

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = \frac{31 π}{6}$ , $x = \frac{31 π}{6}$ est un maximum local.

$x = \frac{31 π}{6}$ est un maximum local

Étape 3.18

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = \frac{35 π}{6}$ , $x = \frac{35 π}{6}$ est un minimum local.

$x = \frac{35 π}{6}$ est un minimum local

Étape 3.19

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = \frac{43 π}{6}$ , $x = \frac{43 π}{6}$ est un maximum local.

$x = \frac{43 π}{6}$ est un maximum local

Étape 3.20

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = \frac{47 π}{6}$ , $x = \frac{47 π}{6}$ est un minimum local.

$x = \frac{47 π}{6}$ est un minimum local

Étape 3.21

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = \frac{55 π}{6}$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 3.22

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x - 2 \cos (x)$ .

$x = \frac{7 π}{6}$ est un maximum local

$x = \frac{11 π}{6}$ est un minimum local

$x = \frac{19 π}{6}$ est un maximum local

$x = \frac{23 π}{6}$ est un minimum local

$x = \frac{31 π}{6}$ est un maximum local

$x = \frac{35 π}{6}$ est un minimum local

$x = \frac{43 π}{6}$ est un maximum local

$x = \frac{47 π}{6}$ est un minimum local

$x = \frac{7 π}{6}$ est un maximum local

$x = \frac{11 π}{6}$ est un minimum local

$x = \frac{19 π}{6}$ est un maximum local

$x = \frac{23 π}{6}$ est un minimum local

$x = \frac{31 π}{6}$ est un maximum local

$x = \frac{35 π}{6}$ est un minimum local

$x = \frac{43 π}{6}$ est un maximum local

$x = \frac{47 π}{6}$ est un minimum local

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(\frac{7 π}{6}, \frac{7 π}{6} + \sqrt{3})$

Minimum absolu : $(\frac{11 π}{6}, \frac{11 π}{6} - \sqrt{3})$

Étape 5