Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x + 2 \sin (x)$ , $(0, π)$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.1.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f' (x) = 1 + 2 \cos (x)$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $1 + 2 \cos (x)$ .

$1 + 2 \cos (x)$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $1 + 2 \cos (x) = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$1 + 2 \cos (x) = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 \cos (x) = - 1$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 1.2.4

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Étape 1.2.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{1}{2})$ est $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 1.2.6

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Étape 1.2.7

Simplifiez $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 1.2.7.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 1.2.7.2

Associez les fractions.

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Étape 1.2.7.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 1.2.7.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Étape 1.2.7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.7.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Étape 1.2.7.3.2

Soustrayez $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 1.2.8

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 1.2.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.8.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.2.8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.2.8.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.2.9

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x + 2 \sin (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{2 π}{3}$ .

$(\frac{2 π}{3}) + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{2 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Étape 1.4.1.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = \frac{8 π}{3}$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{8 π}{3}$ .

$(\frac{8 π}{3}) + 2 \sin (\frac{8 π}{3})$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{8 π}{3} + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.4.2.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{8 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Étape 1.4.2.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{8 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{8 π}{3} + \sqrt{3}$

Étape 1.4.3

Évaluez sur $x = \frac{14 π}{3}$ .

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Étape 1.4.3.1

Remplacez $x$ par $\frac{14 π}{3}$ .

$(\frac{14 π}{3}) + 2 \sin (\frac{14 π}{3})$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{14 π}{3} + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.4.3.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{14 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Étape 1.4.3.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{14 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{14 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{14 π}{3} + \sqrt{3}$

Étape 1.4.4

Évaluez sur $x = \frac{20 π}{3}$ .

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Étape 1.4.4.1

Remplacez $x$ par $\frac{20 π}{3}$ .

$(\frac{20 π}{3}) + 2 \sin (\frac{20 π}{3})$

Étape 1.4.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.4.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{20 π}{3} + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.4.4.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{20 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Étape 1.4.4.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{20 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{20 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{20 π}{3} + \sqrt{3}$

Étape 1.4.5

Évaluez sur $x = \frac{26 π}{3}$ .

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Étape 1.4.5.1

Remplacez $x$ par $\frac{26 π}{3}$ .

$(\frac{26 π}{3}) + 2 \sin (\frac{26 π}{3})$

Étape 1.4.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.5.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{26 π}{3} + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 1.4.5.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{26 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Étape 1.4.5.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{26 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.5.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{26 π}{3} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.5.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{26 π}{3} + \sqrt{3}$

Étape 1.4.6

Évaluez sur $x = \frac{4 π}{3}$ .

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Étape 1.4.6.1

Remplacez $x$ par $\frac{4 π}{3}$ .

$(\frac{4 π}{3}) + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Étape 1.4.6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.6.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$\frac{4 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 1.4.6.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{4 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 1.4.6.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.6.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{4 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.6.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.6.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

Étape 1.4.7

Évaluez sur $x = \frac{10 π}{3}$ .

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Étape 1.4.7.1

Remplacez $x$ par $\frac{10 π}{3}$ .

$(\frac{10 π}{3}) + 2 \sin (\frac{10 π}{3})$

Étape 1.4.7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.7.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{10 π}{3} + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Étape 1.4.7.2.2

$\frac{10 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 1.4.7.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{10 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 1.4.7.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.7.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{10 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.7.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.7.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{10 π}{3} - \sqrt{3}$

Étape 1.4.8

Évaluez sur $x = \frac{16 π}{3}$ .

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Étape 1.4.8.1

Remplacez $x$ par $\frac{16 π}{3}$ .

$(\frac{16 π}{3}) + 2 \sin (\frac{16 π}{3})$

Étape 1.4.8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.8.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{16 π}{3} + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Étape 1.4.8.2.2

$\frac{16 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 1.4.8.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{16 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 1.4.8.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.8.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{16 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.8.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.8.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{16 π}{3} - \sqrt{3}$

Étape 1.4.9

Évaluez sur $x = \frac{22 π}{3}$ .

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Étape 1.4.9.1

Remplacez $x$ par $\frac{22 π}{3}$ .

$(\frac{22 π}{3}) + 2 \sin (\frac{22 π}{3})$

Étape 1.4.9.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.9.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{22 π}{3} + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Étape 1.4.9.2.2

$\frac{22 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 1.4.9.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{22 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 1.4.9.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.9.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{22 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.9.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{22 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.9.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{22 π}{3} - \sqrt{3}$

Étape 1.4.10

Évaluez sur $x = \frac{28 π}{3}$ .

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Étape 1.4.10.1

Remplacez $x$ par $\frac{28 π}{3}$ .

$(\frac{28 π}{3}) + 2 \sin (\frac{28 π}{3})$

Étape 1.4.10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.10.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{28 π}{3} + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Étape 1.4.10.2.2

$\frac{28 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Étape 1.4.10.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{28 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 1.4.10.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.10.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{28 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.10.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{28 π}{3} + 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.4.10.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{28 π}{3} - \sqrt{3}$

Étape 1.4.11

Indiquez tous les points.

$(\frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{8 π}{3}, \frac{8 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{14 π}{3}, \frac{14 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{20 π}{3}, \frac{20 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{26 π}{3}, \frac{26 π}{3} + \sqrt{3}), (\frac{4 π}{3}, \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{10 π}{3}, \frac{10 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{16 π}{3}, \frac{16 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{22 π}{3}, \frac{22 π}{3} - \sqrt{3}), (\frac{28 π}{3}, \frac{28 π}{3} - \sqrt{3})$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(\frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3} + \sqrt{3})$

Étape 3

Utilisez le test de la dérivée afin de déterminer quels points peuvent être des maxima ou des minima.

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Étape 3.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, \frac{2 π}{3}) \cup (\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}) \cup (\frac{4 π}{3}, \frac{8 π}{3}) \cup (\frac{8 π}{3}, \frac{10 π}{3}) \cup (\frac{10 π}{3}, \frac{14 π}{3}) \cup (\frac{14 π}{3}, \frac{16 π}{3}) \cup (\frac{16 π}{3}, \frac{20 π}{3}) \cup (\frac{20 π}{3}, \frac{22 π}{3}) \cup (\frac{22 π}{3}, \frac{26 π}{3}) \cup (\frac{26 π}{3}, \frac{28 π}{3}) \cup (\frac{28 π}{3}, \infty)$

Étape 3.2

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \infty, \frac{2 π}{3})$ dans la dérivée première $1 + 2 \cos (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 3.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 1 + 2 \cos (0)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f' (0) = 1 + 2 \cdot 1$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (0) = 1 + 2$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (0) = 3$

Étape 3.2.2.3

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 3.3

Remplacez tout nombre, tel que $3$ , de l’intervalle $(\frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3})$ dans la dérivée première $1 + 2 \cos (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = 1 + 2 \cos (3)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Évaluez $\cos (3)$ .

$f' (3) = 1 + 2 \cdot - 0.98999249$

Étape 3.3.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 0.98999249$ .

$f' (3) = 1 - 1.97998499$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $1.97998499$ de $1$ .

$f' (3) = - 0.97998499$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $- 0.97998499$ .

$- 0.97998499$

Étape 3.4

Remplacez tout nombre, tel que $6$ , de l’intervalle $(\frac{4 π}{3}, \frac{8 π}{3})$ dans la dérivée première $1 + 2 \cos (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f' (6) = 1 + 2 \cos (6)$

Étape 3.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1

Évaluez $\cos (6)$ .

$f' (6) = 1 + 2 \cdot 0.96017028$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $2$ par $0.96017028$ .

$f' (6) = 1 + 1.92034057$

Étape 3.4.2.2

Additionnez $1$ et $1.92034057$ .

$f' (6) = 2.92034057$

Étape 3.4.2.3

La réponse finale est $2.92034057$ .

$2.92034057$

Étape 3.5

Remplacez tout nombre, tel que $9$ , de l’intervalle $(\frac{8 π}{3}, \frac{10 π}{3})$ dans la dérivée première $1 + 2 \cos (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Remplacez la variable $x$ par $9$ dans l’expression.

$f' (9) = 1 + 2 \cos (9)$

Étape 3.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1.1

Évaluez $\cos (9)$ .

$f' (9) = 1 + 2 \cdot - 0.91113026$

Étape 3.5.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 0.91113026$ .

$f' (9) = 1 - 1.82226052$

Étape 3.5.2.2

Soustrayez $1.82226052$ de $1$ .

$f' (9) = - 0.82226052$

Étape 3.5.2.3

La réponse finale est $- 0.82226052$ .

$- 0.82226052$

Étape 3.6

Remplacez tout nombre, tel que $13$ , de l’intervalle $(\frac{10 π}{3}, \frac{14 π}{3})$ dans la dérivée première $1 + 2 \cos (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Remplacez la variable $x$ par $13$ dans l’expression.

$f' (13) = 1 + 2 \cos (13)$

Étape 3.6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1.1

Évaluez $\cos (13)$ .

$f' (13) = 1 + 2 \cdot 0.90744678$

Étape 3.6.2.1.2

Multipliez $2$ par $0.90744678$ .

$f' (13) = 1 + 1.81489356$

Étape 3.6.2.2

Additionnez $1$ et $1.81489356$ .

$f' (13) = 2.81489356$

Étape 3.6.2.3

La réponse finale est $2.81489356$ .

$2.81489356$

Étape 3.7

Remplacez tout nombre, tel que $16$ , de l’intervalle $(\frac{14 π}{3}, \frac{16 π}{3})$ dans la dérivée première $1 + 2 \cos (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Remplacez la variable $x$ par $16$ dans l’expression.

$f' (16) = 1 + 2 \cos (16)$

Étape 3.7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.2.1.1

Évaluez $\cos (16)$ .

$f' (16) = 1 + 2 \cdot - 0.95765948$

Étape 3.7.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 0.95765948$ .

$f' (16) = 1 - 1.91531896$

Étape 3.7.2.2

Soustrayez $1.91531896$ de $1$ .

$f' (16) = - 0.91531896$

Étape 3.7.2.3

La réponse finale est $- 0.91531896$ .

$- 0.91531896$

Étape 3.8

Remplacez tout nombre, tel que $19$ , de l’intervalle $(\frac{16 π}{3}, \frac{20 π}{3})$ dans la dérivée première $1 + 2 \cos (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.1

Remplacez la variable $x$ par $19$ dans l’expression.

$f' (19) = 1 + 2 \cos (19)$

Étape 3.8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.2.1.1

Évaluez $\cos (19)$ .

$f' (19) = 1 + 2 \cdot 0.98870461$

Étape 3.8.2.1.2

Multipliez $2$ par $0.98870461$ .

$f' (19) = 1 + 1.97740923$

Étape 3.8.2.2

Additionnez $1$ et $1.97740923$ .

$f' (19) = 2.97740923$

Étape 3.8.2.3

La réponse finale est $2.97740923$ .

$2.97740923$

Étape 3.9

Remplacez tout nombre, tel que $22$ , de l’intervalle $(\frac{20 π}{3}, \frac{22 π}{3})$ dans la dérivée première $1 + 2 \cos (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.1

Remplacez la variable $x$ par $22$ dans l’expression.

$f' (22) = 1 + 2 \cos (22)$

Étape 3.9.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.2.1.1

Évaluez $\cos (22)$ .

$f' (22) = 1 + 2 \cdot - 0.99996082$

Étape 3.9.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 0.99996082$ .

$f' (22) = 1 - 1.99992165$

Étape 3.9.2.2

Soustrayez $1.99992165$ de $1$ .

$f' (22) = - 0.99992165$

Étape 3.9.2.3

La réponse finale est $- 0.99992165$ .

$- 0.99992165$

Étape 3.10

Remplacez tout nombre, tel que $25$ , de l’intervalle $(\frac{22 π}{3}, \frac{26 π}{3})$ dans la dérivée première $1 + 2 \cos (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.10.1

Remplacez la variable $x$ par $25$ dans l’expression.

$f' (25) = 1 + 2 \cos (25)$

Étape 3.10.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.10.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.10.2.1.1

Évaluez $\cos (25)$ .

$f' (25) = 1 + 2 \cdot 0.99120281$

Étape 3.10.2.1.2

Multipliez $2$ par $0.99120281$ .

$f' (25) = 1 + 1.98240562$

Étape 3.10.2.2

Additionnez $1$ et $1.98240562$ .

$f' (25) = 2.98240562$

Étape 3.10.2.3

La réponse finale est $2.98240562$ .

$2.98240562$

Étape 3.11

Remplacez tout nombre, tel que $28$ , de l’intervalle $(\frac{26 π}{3}, \frac{28 π}{3})$ dans la dérivée première $1 + 2 \cos (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.1

Remplacez la variable $x$ par $28$ dans l’expression.

$f' (28) = 1 + 2 \cos (28)$

Étape 3.11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.11.2.1.1

Évaluez $\cos (28)$ .

$f' (28) = 1 + 2 \cdot - 0.96260586$

Étape 3.11.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 0.96260586$ .

$f' (28) = 1 - 1.92521173$

Étape 3.11.2.2

Soustrayez $1.92521173$ de $1$ .

$f' (28) = - 0.92521173$

Étape 3.11.2.3

La réponse finale est $- 0.92521173$ .

$- 0.92521173$

Étape 3.12

Remplacez tout nombre, tel que $32$ , de l’intervalle $(\frac{28 π}{3}, \infty)$ dans la dérivée première $1 + 2 \cos (x)$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.12.1

Remplacez la variable $x$ par $32$ dans l’expression.

$f' (32) = 1 + 2 \cos (32)$

Étape 3.12.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.12.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.12.2.1.1

Évaluez $\cos (32)$ .

$f' (32) = 1 + 2 \cdot 0.83422336$

Étape 3.12.2.1.2

Multipliez $2$ par $0.83422336$ .

$f' (32) = 1 + 1.66844672$

Étape 3.12.2.2

Additionnez $1$ et $1.66844672$ .

$f' (32) = 2.66844672$

Étape 3.12.2.3

La réponse finale est $2.66844672$ .

$2.66844672$

Étape 3.13

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = \frac{2 π}{3}$ , $x = \frac{2 π}{3}$ est un maximum local.

$x = \frac{2 π}{3}$ est un maximum local

Étape 3.14

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = \frac{4 π}{3}$ , $x = \frac{4 π}{3}$ est un minimum local.

$x = \frac{4 π}{3}$ est un minimum local

Étape 3.15

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = \frac{8 π}{3}$ , $x = \frac{8 π}{3}$ est un maximum local.

$x = \frac{8 π}{3}$ est un maximum local

Étape 3.16

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = \frac{10 π}{3}$ , $x = \frac{10 π}{3}$ est un minimum local.

$x = \frac{10 π}{3}$ est un minimum local

Étape 3.17

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = \frac{14 π}{3}$ , $x = \frac{14 π}{3}$ est un maximum local.

$x = \frac{14 π}{3}$ est un maximum local

Étape 3.18

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = \frac{16 π}{3}$ , $x = \frac{16 π}{3}$ est un minimum local.

$x = \frac{16 π}{3}$ est un minimum local

Étape 3.19

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = \frac{20 π}{3}$ , $x = \frac{20 π}{3}$ est un maximum local.

$x = \frac{20 π}{3}$ est un maximum local

Étape 3.20

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = \frac{22 π}{3}$ , $x = \frac{22 π}{3}$ est un minimum local.

$x = \frac{22 π}{3}$ est un minimum local

Étape 3.21

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = \frac{26 π}{3}$ , $x = \frac{26 π}{3}$ est un maximum local.

$x = \frac{26 π}{3}$ est un maximum local

Étape 3.22

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = \frac{28 π}{3}$ , $x = \frac{28 π}{3}$ est un minimum local.

$x = \frac{28 π}{3}$ est un minimum local

Étape 3.23

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x + 2 \sin (x)$ .

$x = \frac{2 π}{3}$ est un maximum local

$x = \frac{4 π}{3}$ est un minimum local

$x = \frac{8 π}{3}$ est un maximum local

$x = \frac{10 π}{3}$ est un minimum local

$x = \frac{14 π}{3}$ est un maximum local

$x = \frac{16 π}{3}$ est un minimum local

$x = \frac{20 π}{3}$ est un maximum local

$x = \frac{22 π}{3}$ est un minimum local

$x = \frac{26 π}{3}$ est un maximum local

$x = \frac{28 π}{3}$ est un minimum local

$x = \frac{2 π}{3}$ est un maximum local

$x = \frac{4 π}{3}$ est un minimum local

$x = \frac{8 π}{3}$ est un maximum local

$x = \frac{10 π}{3}$ est un minimum local

$x = \frac{14 π}{3}$ est un maximum local

$x = \frac{16 π}{3}$ est un minimum local

$x = \frac{20 π}{3}$ est un maximum local

$x = \frac{22 π}{3}$ est un minimum local

$x = \frac{26 π}{3}$ est un maximum local

$x = \frac{28 π}{3}$ est un minimum local

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(\frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3} + \sqrt{3})$

Aucun minimum absolu

Étape 5