Calcul infinitésimal Exemples

${(y - 3)}^{2} = 4 (x - 5)$ , $(9, 7)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} ({(y - 3)}^{2}) = \frac{d}{d y} (4 (x - 5))$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(y - 3)}^{2}$ comme $(y - 3) (y - 3)$ .

$\frac{d}{d y} [(y - 3) (y - 3)]$

Étape 2.2

Développez $(y - 3) (y - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d y} [y (y - 3) - 3 (y - 3)]$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d y} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)]$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d y} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Étape 2.3.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 3 y - 3 y + 9]$

Étape 2.3.2

Soustrayez $3 y$ de $- 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} - 6 y + 9]$

Étape 2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} - 6 y + 9$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 6 y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 6 y] + \frac{d}{d y} [9]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [- 6 y] + \frac{d}{d y} [9]$

Étape 2.6

Comme $- 6$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 6 y$ par rapport à $y$ est $- 6 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 y - 6 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 y - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [9]$

Étape 2.8

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$2 y - 6 + \frac{d}{d y} [9]$

Étape 2.9

Comme $9$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $9$ par rapport à $y$ est $0$ .

$2 y - 6 + 0$

Étape 2.10

Additionnez $2 y - 6$ et $0$ .

$2 y - 6$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4 (x - 5)$ par rapport à $y$ est $4 \frac{d}{d y} [x - 5]$ .

$4 \frac{d}{d y} [x - 5]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 5]$ .

$4 (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 5])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$4 (x' + \frac{d}{d y} [- 5])$

Étape 3.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $y$ est $0$ .

$4 (x' + 0)$

Étape 3.5

Additionnez $x'$ et $0$ .

$4 x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y - 6 = 4 x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $4 x' = 2 y - 6$ .

$4 x' = 2 y - 6$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $4 x' = 2 y - 6$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x' = 2 y - 6$ par $4$ .

$\frac{4 x'}{4} = \frac{2 y}{4} + \frac{- 6}{4}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x'}{4} = \frac{2 y}{4} + \frac{- 6}{4}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{2 y}{4} + \frac{- 6}{4}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 5.2.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$x' = \frac{2 (y)}{4} + \frac{- 6}{4}$

Étape 5.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x' = \frac{2 y}{2 \cdot 2} + \frac{- 6}{4}$

Étape 5.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{2 y}{2 \cdot 2} + \frac{- 6}{4}$

Étape 5.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{y}{2} + \frac{- 6}{4}$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $4$ .

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Étape 5.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$x' = \frac{y}{2} + \frac{2 (- 3)}{4}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x' = \frac{y}{2} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2}$

Étape 5.2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{y}{2} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2}$

Étape 5.2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x' = \frac{y}{2} + \frac{- 3}{2}$

Étape 5.2.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x' = \frac{y}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{y}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 7

Remplacez $x$ par $9$ et $y$ par $7$ dans l’expression.

$\frac{d x}{d y} = \frac{7}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 8

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7 - 3}{2}$

Étape 8.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.1

Soustrayez $3$ de $7$ .

$\frac{4}{2}$

Étape 8.2.2

Divisez $4$ par $2$ .

$2$