Calcul infinitésimal Exemples

$y = 8 x e^{x}$ , $(0, 0)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (8 x e^{x})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x e^{x}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$8 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Étape 3.4.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$8 (x e^{x} + e^{x})$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 (x e^{x}) + 8 e^{x}$

Étape 3.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$8 e^{x} x + 8 e^{x}$

Étape 3.5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $8 e^{x} x + 8 e^{x}$ .

$8 x e^{x} + 8 e^{x}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 8 x e^{x} + 8 e^{x}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x e^{x} + 8 e^{x}$

Étape 6

Remplacez $x$ par $0$ et $y$ par $0$ dans l’expression.

$\frac{d y}{d x} = 8 (0) e^{0} + 8 e^{0}$

Étape 7

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Multipliez $8$ par $0$ .

$0 e^{0} + 8 e^{0}$

Étape 7.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 \cdot 1 + 8 e^{0}$

Étape 7.1.3

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + 8 e^{0}$

Étape 7.1.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 8 \cdot 1$

Étape 7.1.5

Multipliez $8$ par $1$ .

$0 + 8$

Étape 7.2

Additionnez $0$ et $8$ .

$8$