Calcul infinitésimal Exemples

$y = 8 x e^{x}$ , $(0, 0)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (8 x e^{x})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $8 x e^{x}$ par rapport à $y$ est $8 \frac{d}{d y} [x e^{x}]$ .

$8 \frac{d}{d y} [x e^{x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = x$ et $g (y) = e^{x}$ .

$8 (x \frac{d}{d y} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = x$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x$ .

$8 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x]) + e^{x} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$8 (x (e^{u} \frac{d}{d y} [x]) + e^{x} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$8 (x (e^{x} \frac{d}{d y} [x]) + e^{x} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$8 (x (e^{x} x') + e^{x} \frac{d}{d y} [x])$

Étape 3.5

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$8 (x (e^{x} x') + e^{x} x')$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 (x (e^{x} x')) + 8 (e^{x} x')$

Étape 3.6.2

Supprimez les parenthèses.

$8 x (e^{x} x') + 8 e^{x} x'$

Étape 3.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$8 e^{x} x x' + 8 e^{x} x'$

Étape 3.6.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $8 e^{x} x x' + 8 e^{x} x'$ .

$8 x e^{x} x' + 8 e^{x} x'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = 8 x e^{x} x' + 8 e^{x} x'$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $8 x e^{x} x' + 8 e^{x} x' = 1$ .

$8 x e^{x} x' + 8 e^{x} x' = 1$

Étape 5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $8 x e^{x} x' + 8 e^{x} x'$ .

$8 x x' e^{x} + 8 x' e^{x} = 1$

Étape 5.3

Factorisez $8 x' e^{x}$ à partir de $8 x x' e^{x} + 8 x' e^{x}$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $8 x' e^{x}$ à partir de $8 x x' e^{x}$ .

$8 x' e^{x} x + 8 x' e^{x} = 1$

Étape 5.3.2

Factorisez $8 x' e^{x}$ à partir de $8 x' e^{x}$ .

$8 x' e^{x} x + 8 x' e^{x} \cdot 1 = 1$

Étape 5.3.3

Factorisez $8 x' e^{x}$ à partir de $8 x' e^{x} x + 8 x' e^{x} \cdot 1$ .

$8 x' e^{x} (x + 1) = 1$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $8 x' e^{x} (x + 1) = 1$ par $8 e^{x} (x + 1)$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $8 x' e^{x} (x + 1) = 1$ par $8 e^{x} (x + 1)$ .

$\frac{8 x' e^{x} (x + 1)}{8 e^{x} (x + 1)} = \frac{1}{8 e^{x} (x + 1)}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x' e^{x} (x + 1)}{8 e^{x} (x + 1)} = \frac{1}{8 e^{x} (x + 1)}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' e^{x} (x + 1)}{e^{x} (x + 1)} = \frac{1}{8 e^{x} (x + 1)}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' e^{x} (x + 1)}{e^{x} (x + 1)} = \frac{1}{8 e^{x} (x + 1)}$

Étape 5.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x' (x + 1)}{x + 1} = \frac{1}{8 e^{x} (x + 1)}$

Étape 5.4.2.3

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 5.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x' (x + 1)}{x + 1} = \frac{1}{8 e^{x} (x + 1)}$

Étape 5.4.2.3.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{1}{8 e^{x} (x + 1)}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{8 e^{x} (x + 1)}$

Étape 7

Remplacez $x$ par $0$ et $y$ par $0$ dans l’expression.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{8 e^{0} ((0) + 1)}$

Étape 8

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{8 e^{0} \cdot 1}$

Étape 8.1.2

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{1}{8 e^{0}}$

Étape 8.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{8 \cdot 1}$

Étape 8.2

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{1}{8}$