Calcul infinitésimal Exemples

$y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$

Étape 1

Écrivez $y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$ comme une fonction.

$f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{2})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{2})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \ln (\frac{x}{2})$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2})] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (1 \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 2.5.1

Multipliez $\frac{2}{x}$ par $1$ .

$5 (x^{2} (\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.5.2

Associez $\frac{2}{x}$ et $x^{2}$ .

$5 (\frac{2 x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.5.3

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 2.5.3.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.5.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x^{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.5.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.5.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.5.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{2 x}{1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.5.3.2.5

Divisez $2 x$ par $1$ .

$5 (2 x \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (2 x (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.7

Simplifiez les termes.

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Étape 2.7.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$5 (x (\frac{2}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.7.2

Associez $\frac{2}{2}$ et $x$ .

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.7.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.7.3.1

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.7.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.9

Multipliez $x$ par $1$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

Étape 2.11

Simplifiez

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Étape 2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 x + 5 (\ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

Étape 2.11.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$5 x + 10 \ln (\frac{x}{2}) x$

Étape 2.11.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x \ln (\frac{x}{2})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{2})]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x \ln (\frac{x}{2})$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{x}{2})]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x \ln (\frac{x}{2})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = 10 (x \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 3.2.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 3.2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 3.2.7

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = 10 (x (1 (\frac{2}{x}) \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 3.2.8

Multipliez $\frac{2}{x}$ par $1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{x} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 3.2.9

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 3.2.10

Multipliez $\frac{2}{x}$ par $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{x \cdot 2}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 3.2.11

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{2 \cdot x}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 3.2.12

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.12.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{2 x}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 3.2.12.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{x}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 3.2.13

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 3.2.14

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.14.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 3.2.14.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 3.2.15

Multipliez $\ln (\frac{x}{2})$ par $1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + 5 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + 5 \cdot 1$

Étape 3.3.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + 5$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 10 \cdot 1 + 10 \ln (\frac{x}{2}) + 5$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $10$ par $1$ .

$f'' (x) = 10 + 10 \ln (\frac{x}{2}) + 5$

Étape 3.4.2.2

Additionnez $10$ et $5$ .

$f'' (x) = 10 \ln (\frac{x}{2}) + 15$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{2})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{2})]$

Étape 5.1.2

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2})] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 5.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.1.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.1.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (1 \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.1.5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1.5.1

Multipliez $\frac{2}{x}$ par $1$ .

$5 (x^{2} (\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.1.5.2

Associez $\frac{2}{x}$ et $x^{2}$ .

$5 (\frac{2 x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.1.5.3

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 5.1.5.3.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.1.5.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.5.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x^{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.1.5.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.1.5.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.1.5.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{2 x}{1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.1.5.3.2.5

Divisez $2 x$ par $1$ .

$5 (2 x \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.1.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (2 x (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.1.7

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1.7.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$5 (x (\frac{2}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.1.7.2

Associez $\frac{2}{2}$ et $x$ .

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.1.7.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.7.3.1

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.1.7.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.1.9

Multipliez $x$ par $1$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

Étape 5.1.11

Simplifiez

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Étape 5.1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 x + 5 (\ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

Étape 5.1.11.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$5 x + 10 \ln (\frac{x}{2}) x$

Étape 5.1.11.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$ .

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $5 x$ des deux côtés de l’équation.

$10 x \ln (\frac{x}{2}) = - 5 x$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $10 x \ln (\frac{x}{2}) = - 5 x$ par $10 x$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $10 x \ln (\frac{x}{2}) = - 5 x$ par $10 x$ .

$\frac{10 x \ln (\frac{x}{2})}{10 x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 x \ln (\frac{x}{2})}{10 x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

Étape 6.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \ln (\frac{x}{2})}{x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

Étape 6.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (\frac{x}{2})}{x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

Étape 6.3.2.2.2

Divisez $\ln (\frac{x}{2})$ par $1$ .

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- 5 x}{10 x}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 5$ et $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x$ .

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{5 (- x)}{10 x}$

Étape 6.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10 x$ .

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{5 (- x)}{5 (2 x)}$

Étape 6.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{5 (- x)}{5 (2 x)}$

Étape 6.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- x}{2 x}$

Étape 6.3.3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- x}{2 x}$

Étape 6.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.3.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{2}$

Étape 6.4

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{x}{2})} = e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 6.5

Réécrivez $\ln (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{2}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = \frac{x}{2}$

Étape 6.6

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{x}{2} = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x}{2} = e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 6.6.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 6.6.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 6.6.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 6.6.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.3.2.1

Simplifiez $2 e^{- \frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.6.3.2.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = 2 \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.6.3.2.1.2

Associez $2$ et $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Définissez l’argument dans $\ln (\frac{x}{2})$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\frac{x}{2} \leq 0$

Étape 7.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Multipliez les deux côtés par $2$ .

$\frac{x}{2} \cdot 2 \leq 0 \cdot 2$

Étape 7.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{2} \cdot 2 \leq 0 \cdot 2$

Étape 7.2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x \leq 0 \cdot 2$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.2.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$x \leq 0$

Étape 7.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$10 \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2}) + 15$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$10 \ln (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}) + 15$

Étape 10.1.2

Associez.

$10 \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}) + 15$

Étape 10.1.3

Réduisez l’expression $\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 10.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$10 \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}) + 15$

Étape 10.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$10 \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) + 15$

Étape 10.1.4

Placez $e^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$10 \ln (e^{- \frac{1}{2}}) + 15$

Étape 10.1.5

Développez $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ en déplaçant $- \frac{1}{2}$ hors du logarithme.

$10 (- \frac{1}{2} \ln (e)) + 15$

Étape 10.1.6

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$10 (- \frac{1}{2} \cdot 1) + 15$

Étape 10.1.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$10 (- \frac{1}{2}) + 15$

Étape 10.1.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.1.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$10 (\frac{- 1}{2}) + 15$

Étape 10.1.8.2

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$2 (5) \frac{- 1}{2} + 15$

Étape 10.1.8.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 5 \frac{- 1}{2} + 15$

Étape 10.1.8.4

Réécrivez l’expression.

$5 \cdot - 1 + 15$

Étape 10.1.9

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 + 15$

Étape 10.2

Additionnez $- 5$ et $15$ .

$10$

Étape 11

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ dans l’expression.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 {(\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{2^{2}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Étape 12.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Étape 12.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 12.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Étape 12.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Étape 12.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Étape 12.2.2.2

Simplifiez

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Étape 12.2.3

Multipliez $5 \frac{4}{e}$ .

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Étape 12.2.3.1

Associez $5$ et $\frac{4}{e}$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{5 \cdot 4}{e} \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Étape 12.2.3.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

Étape 12.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 12.2.5

Associez.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2})$

Étape 12.2.6

Réduisez l’expression $\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$ en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2})$

Étape 12.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 12.2.7

Placez $e^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{2}})$

Étape 12.2.8

Développez $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ en déplaçant $- \frac{1}{2}$ hors du logarithme.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot \ln (e))$

Étape 12.2.9

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

Étape 12.2.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot (- \frac{1}{2})$

Étape 12.2.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.11.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \frac{- 1}{2}$

Étape 12.2.11.2

Factorisez $2$ à partir de $20$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{2 (10)}{e} \cdot \frac{- 1}{2}$

Étape 12.2.11.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{2 \cdot 10}{e} \cdot \frac{- 1}{2}$

Étape 12.2.11.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{10}{e} \cdot - 1$

Étape 12.2.12

Associez $\frac{10}{e}$ et $- 1$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{10 \cdot - 1}{e}$

Étape 12.2.13

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.13.1

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{- 10}{e}$

Étape 12.2.13.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{10}{e}$

Étape 12.2.14

La réponse finale est $- \frac{10}{e}$ .

$y = - \frac{10}{e}$

Étape 13

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$ .

$(\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{10}{e})$ est un minimum local

Étape 14