Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos^{3} (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos^{3} (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$2 (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 1.2.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 1.2.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$2 (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 1.2.5

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x))$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos^{2} (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Étape 2.2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 2.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Étape 2.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Étape 2.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Étape 2.2.5

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Étape 2.2.6

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ .

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Étape 2.2.6.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Étape 2.2.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 6 ({\cos (x)}^{2 + 1} + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Étape 2.2.6.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) (- \sin (x)))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Étape 2.2.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (- 2 \cos (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Étape 2.2.8

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Étape 2.2.9

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Étape 2.2.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Étape 2.2.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 6 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \cos (x)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - 6 \cos^{3} (x) - 6 (- 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \cos (x)$

Étape 2.4.2

Multipliez $- 2$ par $- 6$ .

$f'' (x) = - 6 \cos^{3} (x) + 12 \cos (x) \sin^{2} (x) - 3 \cos (x)$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 12 \sin^{2} (x) \cos (x) - 6 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x) = 0$

Étape 4

Factorisez $3 \sin (x)$ à partir de $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ .

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Étape 4.1

Factorisez $3 \sin (x)$ à partir de $- 6 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x) = 0$

Étape 4.2

Factorisez $3 \sin (x)$ à partir de $- 3 \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Étape 4.3

Factorisez $3 \sin (x)$ à partir de $3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1$ .

$3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 6

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 6.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 6.2.5

La solution de l’équation est $x = 0$ .

$x = 0, π$

Étape 7

Définissez $- 2 \cos^{2} (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $- 2 \cos^{2} (x) - 1$ égal à $0$ .

$- 2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $- 2 \cos^{2} (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 \cos^{2} (x) = 1$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 \cos^{2} (x) = 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \cos^{2} (x) = 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{- 2}$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos^{2} (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 7.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Étape 7.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 7.2.4.1

Réécrivez $- \frac{1}{2}$ comme $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

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Étape 7.2.4.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Étape 7.2.4.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Étape 7.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\cos (x) = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Étape 7.2.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\cos (x) = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 7.2.4.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 7.2.4.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 7.2.4.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 7.2.4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.4.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 7.2.4.7.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 7.2.4.7.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 7.2.4.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 7.2.4.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 7.2.4.7.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 7.2.4.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.2.4.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.2.4.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.2.4.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.4.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.2.4.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 7.2.4.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 7.2.4.8

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.2.6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.2.7

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 7.2.7.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{i \sqrt{2}}{2})$

Étape 7.2.7.2

Le cosinus inverse de $\arccos (\frac{i \sqrt{2}}{2})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 7.2.8

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 7.2.8.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Étape 7.2.8.2

Le cosinus inverse de $\arccos (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 7.2.9

Indiquez toutes les solutions.

Aucune solution

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 \sin (x) (- 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, π$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 \sin^{2} (0) \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$12 \cdot 0^{2} \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Étape 10.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$12 \cdot 0 \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Étape 10.1.3

Multipliez $12$ par $0$ .

$0 \cos (0) - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Étape 10.1.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$0 \cdot 1 - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Étape 10.1.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 - 6 \cos^{3} (0) - 3 \cos (0)$

Étape 10.1.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$0 - 6 \cdot 1^{3} - 3 \cos (0)$

Étape 10.1.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$0 - 6 \cdot 1 - 3 \cos (0)$

Étape 10.1.8

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$0 - 6 - 3 \cos (0)$

Étape 10.1.9

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$0 - 6 - 3 \cdot 1$

Étape 10.1.10

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$0 - 6 - 3$

Étape 10.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 10.2.1

Soustrayez $6$ de $0$ .

$- 6 - 3$

Étape 10.2.2

Soustrayez $3$ de $- 6$ .

$- 9$

Étape 11

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 2 \cos^{3} (0) + 3 \cos (0)$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1^{3} + 3 \cos (0)$

Étape 12.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (0) = 2 \cdot 1 + 3 \cos (0)$

Étape 12.2.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (0) = 2 + 3 \cos (0)$

Étape 12.2.1.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (0) = 2 + 3 \cdot 1$

Étape 12.2.1.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (0) = 2 + 3$

Étape 12.2.2

Additionnez $2$ et $3$ .

$f (0) = 5$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $5$ .

$y = 5$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = π$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 \sin^{2} (π) \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$12 \sin^{2} (0) \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Étape 14.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$12 \cdot 0^{2} \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Étape 14.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$12 \cdot 0 \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Étape 14.1.4

Multipliez $12$ par $0$ .

$0 \cos (π) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Étape 14.1.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$0 (- \cos (0)) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Étape 14.1.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Étape 14.1.7

Multipliez $0 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 14.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 \cdot - 1 - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Étape 14.1.7.2

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0 - 6 \cos^{3} (π) - 3 \cos (π)$

Étape 14.1.8

$0 - 6 {(- \cos (0))}^{3} - 3 \cos (π)$

Étape 14.1.9

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$0 - 6 {(- 1 \cdot 1)}^{3} - 3 \cos (π)$

Étape 14.1.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - 6 {(- 1)}^{3} - 3 \cos (π)$

Étape 14.1.11

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$0 - 6 \cdot - 1 - 3 \cos (π)$

Étape 14.1.12

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$0 + 6 - 3 \cos (π)$

Étape 14.1.13

$0 + 6 - 3 (- \cos (0))$

Étape 14.1.14

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$0 + 6 - 3 (- 1 \cdot 1)$

Étape 14.1.15

Multipliez $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 14.1.15.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 + 6 - 3 \cdot - 1$

Étape 14.1.15.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$0 + 6 + 3$

Étape 14.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 14.2.1

Additionnez $0$ et $6$ .

$6 + 3$

Étape 14.2.2

Additionnez $6$ et $3$ .

$9$

Étape 15

$x = π$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = π$ est un minimum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = π$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $π$ dans l’expression.

$f (π) = 2 \cos^{3} (π) + 3 \cos (π)$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.1

$f (π) = 2 {(- \cos (0))}^{3} + 3 \cos (π)$

Étape 16.2.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (π) = 2 {(- 1 \cdot 1)}^{3} + 3 \cos (π)$

Étape 16.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (π) = 2 {(- 1)}^{3} + 3 \cos (π)$

Étape 16.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (π) = 2 \cdot - 1 + 3 \cos (π)$

Étape 16.2.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (π) = - 2 + 3 \cos (π)$

Étape 16.2.1.6

$f (π) = - 2 + 3 (- \cos (0))$

Étape 16.2.1.7

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (π) = - 2 + 3 (- 1 \cdot 1)$

Étape 16.2.1.8

Multipliez $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 16.2.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (π) = - 2 + 3 \cdot - 1$

Étape 16.2.1.8.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (π) = - 2 - 3$

Étape 16.2.2

Soustrayez $3$ de $- 2$ .

$f (π) = - 5$

Étape 16.2.3

La réponse finale est $- 5$ .

$y = - 5$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 \cos^{3} (x) + 3 \cos (x)$ .

$(0, 5)$ est un maximum local

$(π, - 5)$ est un minimum local

Étape 18