Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x + 4)}^{2}$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{({(x + 4)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.1.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.1.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.1.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 1.1.3.3

Multipliez ${(x + 4)}^{2}$ par $1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + 4$ .

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Étape 1.1.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 4$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 1.1.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 4$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 1.1.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2

Factorisez $x + 4$ à partir de ${(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

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Étape 1.1.5.2.1

Factorisez $x + 4$ à partir de ${(x + 4)}^{2}$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4) - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.2

Factorisez $x + 4$ à partir de $- 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 1.1.5.2.3

Factorisez $x + 4$ à partir de $(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Étape 1.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.6.1

Factorisez $x + 4$ à partir de ${(x + 4)}^{4}$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$4 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.9

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.10

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x \cdot 1}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.10.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.10.3

Soustrayez $2 x$ de $x$ .

$4 \frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.10.4

Associez $4$ et $\frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.11

Simplifiez

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Étape 1.1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (- x) + 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.11.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.11.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{- 4 x + 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.11.2.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{- 4 x + 16}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.11.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x + 16$ .

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Étape 1.1.11.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) + 16}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.11.3.2

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.11.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x) + 4 (4)$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.11.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{4 (- (x) + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.11.5

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.11.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{4 (- (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.11.7

Réécrivez $- (x - 4)$ comme $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{4 (- 1 (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.1.11.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 (x - 4) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $4 (x - 4) = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $4 (x - 4) = 0$ par $4$ .

$\frac{4 (x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.3.1.2.1.2

Divisez $x - 4$ par $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{4}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x - 4 = 0$

Étape 2.3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 4)}^{3} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Définissez le $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 3.2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 4

Évaluez $\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$\frac{4 (4)}{{((4) + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{16}{{(4 + 4)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{16}{8^{2}}$

Étape 4.1.2.2.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{16}{64}$

Étape 4.1.2.3

Annulez le facteur commun à $16$ et $64$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Factorisez $16$ à partir de $16$ .

$\frac{16 (1)}{64}$

Étape 4.1.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.3.2.1

Factorisez $16$ à partir de $64$ .

$\frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

Étape 4.1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

Étape 4.1.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 4$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 4$ .

$\frac{4 (- 4)}{{((- 4) + 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$\frac{4 (- 4)}{0^{2}}$

Étape 4.2.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{4 (- 4)}{0}$

Étape 4.2.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(4, \frac{1}{4})$

Étape 5