Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$ par rapport à $t$ est $4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{3 t^{2} + 27}]$ .

$f' (t) = 4 \frac{d}{d t} (\frac{t}{3 t^{2} + 27})$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t$ et $g (t) = 3 t^{2} + 27$ .

$f' (t) = 4 (\frac{(3 t^{2} + 27) \frac{d}{d t} (t) - t \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{(3 t^{2} + 27) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $3 t^{2} + 27$ par $1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Étape 1.1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 t^{2} + 27$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [27]$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (\frac{d}{d t} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Étape 1.1.3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t^{2}$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (3 \frac{d}{d t} (t^{2}) + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Étape 1.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (3 (2 t) + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Étape 1.1.3.6

Multipliez $2$ par $3$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t + \frac{d}{d t} (27))}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Étape 1.1.3.7

Comme $27$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $27$ par rapport à $t$ est $0$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Étape 1.1.3.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.8.1

Additionnez $6 t$ et $0$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Étape 1.1.3.8.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 t \cdot t}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Étape 1.1.4

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 (t \cdot t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Étape 1.1.5

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 (t \cdot t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Étape 1.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 t^{1 + 1}}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Étape 1.1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (t) = 4 (\frac{3 t^{2} + 27 - 6 t^{2}}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Étape 1.1.8

Soustrayez $6 t^{2}$ de $3 t^{2}$ .

$f' (t) = 4 (\frac{- 3 t^{2} + 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}})$

Étape 1.1.9

Associez $4$ et $\frac{- 3 t^{2} + 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$ .

$f' (t) = \frac{4 (- 3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 1.1.10

Simplifiez

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Étape 1.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (t) = \frac{4 (- 3 t^{2}) + 4 \cdot 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 1.1.10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.10.2.1

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$f' (t) = \frac{- 12 t^{2} + 4 \cdot 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 1.1.10.2.2

Multipliez $4$ par $27$ .

$f' (t) = \frac{- 12 t^{2} + 108}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 1.1.10.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.10.3.1

Factorisez $12$ à partir de $- 12 t^{2} + 108$ .

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Étape 1.1.10.3.1.1

Factorisez $12$ à partir de $- 12 t^{2}$ .

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2}) + 108}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 1.1.10.3.1.2

Factorisez $12$ à partir de $108$ .

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2}) + 12 (9)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 1.1.10.3.1.3

Factorisez $12$ à partir de $12 (- t^{2}) + 12 (9)$ .

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2} + 9)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 1.1.10.3.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f' (t) = \frac{12 (- t^{2} + 3^{2})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 1.1.10.3.3

Remettez dans l’ordre $- t^{2}$ et $3^{2}$ .

$f' (t) = \frac{12 (3^{2} - t^{2})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 1.1.10.3.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3$ et $b = t$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 1.1.10.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.10.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 t^{2} + 27$ .

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Étape 1.1.10.4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 t^{2}$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 (t^{2}) + 27)}^{2}}$

Étape 1.1.10.4.1.2

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 t^{2} + 3 \cdot 9)}^{2}}$

Étape 1.1.10.4.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 t^{2} + 3 \cdot 9$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 (t^{2} + 9))}^{2}}$

Étape 1.1.10.4.2

Appliquez la règle de produit à $3 (t^{2} + 9)$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{3^{2} {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.10.4.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f' (t) = \frac{12 (3 + t) (3 - t)}{9 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.10.5

Annulez le facteur commun à $12$ et $9$ .

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Étape 1.1.10.5.1

Factorisez $3$ à partir de $12 (3 + t) (3 - t)$ .

$f' (t) = \frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{9 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 1.1.10.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.10.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9 {(t^{2} + 9)}^{2}$ .

$f' (t) = \frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{3 (3 {(t^{2} + 9)}^{2})}$

Étape 1.1.10.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (t) = \frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{3 (3 {(t^{2} + 9)}^{2})}$

Étape 1.1.10.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (t) = \frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 (3 + t) (3 - t) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $t$ .

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Étape 2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 + t = 0$

$3 - t = 0$

Étape 2.3.2

Définissez $3 + t$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 2.3.2.1

Définissez $3 + t$ égal à $0$ .

$3 + t = 0$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$t = - 3$

Étape 2.3.3

Définissez $3 - t$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 2.3.3.1

Définissez $3 - t$ égal à $0$ .

$3 - t = 0$

Étape 2.3.3.2

Résolvez $3 - t = 0$ pour $t$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- t = - 3$

Étape 2.3.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- t = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.3.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- t = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- t}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{t}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.3.3.2.2.2.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.3.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.2.2.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$t = 3$

Étape 2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 (3 + t) (3 - t) = 0$ vraie.

$t = - 3, 3$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$ sur chaque valeur $t$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $t = - 3$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $t$ par $- 3$ .

$\frac{4 (- 3)}{3 {(- 3)}^{2} + 27}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3 {(- 3)}^{2} + 27$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $4 (- 3)$ .

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 {(- 3)}^{2} + 27}$

Étape 4.1.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(- 3)}^{2}$ .

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 ({(- 3)}^{2}) + 27}$

Étape 4.1.2.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 {(- 3)}^{2} + 3 \cdot 9}$

Étape 4.1.2.1.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 {(- 3)}^{2} + 3 \cdot 9$ .

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 ({(- 3)}^{2} + 9)}$

Étape 4.1.2.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (4 \cdot (- 1))}{3 ({(- 3)}^{2} + 9)}$

Étape 4.1.2.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \cdot (- 1)}{{(- 3)}^{2} + 9}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{- 4}{{(- 3)}^{2} + 9}$

Étape 4.1.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.3.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 4}{9 + 9}$

Étape 4.1.2.3.2

Additionnez $9$ et $9$ .

$\frac{- 4}{18}$

Étape 4.1.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.4.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $18$ .

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Étape 4.1.2.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{2 (- 2)}{18}$

Étape 4.1.2.4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.4.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 9}$

Étape 4.1.2.4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 9}$

Étape 4.1.2.4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{9}$

Étape 4.1.2.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{9}$

Étape 4.2

Évaluez sur $t = 3$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $t$ par $3$ .

$\frac{4 (3)}{3 {(3)}^{2} + 27}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun à $3$ et $3 {(3)}^{2} + 27$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $4 (3)$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(3)}^{2} + 27}$

Étape 4.2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {(3)}^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(3)}^{2}) + 27}$

Étape 4.2.2.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(3)}^{2} + 3 \cdot 9}$

Étape 4.2.2.1.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 {(3)}^{2} + 3 \cdot 9$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(3)}^{2} + 9)}$

Étape 4.2.2.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(3)}^{2} + 9)}$

Étape 4.2.2.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{{(3)}^{2} + 9}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.2.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{4}{9 + 9}$

Étape 4.2.2.2.2

Additionnez $9$ et $9$ .

$\frac{4}{18}$

Étape 4.2.2.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $18$ .

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Étape 4.2.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (2)}{18}$

Étape 4.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9}$

Étape 4.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9}$

Étape 4.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{9}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(- 3, - \frac{2}{9}), (3, \frac{2}{9})$

Étape 5