Calcul infinitésimal Exemples

$x e^{- \frac{x^{2}}{162}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{162}}] + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - \frac{x^{2}}{162}$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{162}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{162}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{162}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $- \frac{1}{162}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{2}}{162}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{1}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Associez les fractions.

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Étape 1.1.3.2.1

Associez $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ et $\frac{1}{162}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.4

Associez les fractions.

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Étape 1.1.3.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} x + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.4.2

Associez $- 2$ et $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162}$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} x + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.4.3

Associez $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162}$ et $x$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{162}}) x}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.7

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.1.7.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.7.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $162$ .

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Étape 1.1.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $162$ .

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{2 (81)} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{2 \cdot 81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot 1$

Étape 1.1.9

Multipliez $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ par $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ à partir de $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ à partir de $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x^{2}}{81}) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

Étape 2.2.1.2

Multipliez par $1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x^{2}}{81}) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot 1 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ à partir de $e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x^{2}}{81}) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot 1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x^{2}}{81} + 1) = 0$

Étape 2.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x^{2}}{81} + 1^{2}) = 0$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{x^{2}}{81}$ comme ${(\frac{x}{9})}^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- {(\frac{x}{9})}^{2} + 1^{2}) = 0$

Étape 2.2.4

Remettez dans l’ordre $- {(\frac{x}{9})}^{2}$ et $1^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (1^{2} - {(\frac{x}{9})}^{2}) = 0$

Étape 2.2.5

Factorisez.

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Étape 2.2.5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \frac{x}{9}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} ((1 + \frac{x}{9}) (1 - \frac{x}{9})) = 0$

Étape 2.2.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (1 + \frac{x}{9}) (1 - \frac{x}{9}) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

$1 + \frac{x}{9} = 0$

$1 - \frac{x}{9} = 0$

Étape 2.4

Définissez $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ égal à $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- \frac{x^{2}}{162}}) = \ln (0)$

Étape 2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

Aucune solution

Étape 2.5

Définissez $1 + \frac{x}{9}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $1 + \frac{x}{9}$ égal à $0$ .

$1 + \frac{x}{9} = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $1 + \frac{x}{9} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{9} = - 1$

Étape 2.5.2.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $9$ .

$9 \frac{x}{9} = 9 \cdot - 1$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.5.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 2.5.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$9 \frac{x}{9} = 9 \cdot - 1$

Étape 2.5.2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 9 \cdot - 1$

Étape 2.5.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.3.2.1

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$x = - 9$

Étape 2.6

Définissez $1 - \frac{x}{9}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $1 - \frac{x}{9}$ égal à $0$ .

$1 - \frac{x}{9} = 0$

Étape 2.6.2

Résolvez $1 - \frac{x}{9} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{x}{9} = - 1$

Étape 2.6.2.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 9$ .

$- 9 (- \frac{x}{9}) = - 9 \cdot - 1$

Étape 2.6.2.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.6.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.3.1.1

Simplifiez $- 9 (- \frac{x}{9})$ .

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Étape 2.6.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 2.6.2.3.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{9}$ dans le numérateur.

$- 9 \frac{- x}{9} = - 9 \cdot - 1$

Étape 2.6.2.3.1.1.1.2

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$9 (- 1) \frac{- x}{9} = - 9 \cdot - 1$

Étape 2.6.2.3.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$9 \cdot - 1 \frac{- x}{9} = - 9 \cdot - 1$

Étape 2.6.2.3.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - x = - 9 \cdot - 1$

Étape 2.6.2.3.1.1.2

Multipliez.

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Étape 2.6.2.3.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 x = - 9 \cdot - 1$

Étape 2.6.2.3.1.1.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = - 9 \cdot - 1$

Étape 2.6.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.2.3.2.1

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$x = 9$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{- \frac{x^{2}}{162}} (1 + \frac{x}{9}) (1 - \frac{x}{9}) = 0$ vraie.

$x = - 9, 9$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - 9$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- 9$ .

$(- 9) \cdot e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Élevez $- 9$ à la puissance $2$ .

$- 9 \cdot e^{- \frac{81}{162}}$

Étape 4.1.2.2

Annulez le facteur commun à $81$ et $162$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Factorisez $81$ à partir de $81$ .

$- 9 \cdot e^{- \frac{81 (1)}{162}}$

Étape 4.1.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.2.2.1

Factorisez $81$ à partir de $162$ .

$- 9 \cdot e^{- \frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}$

Étape 4.1.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 9 \cdot e^{- \frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}$

Étape 4.1.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 9 \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 4.1.2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.2.4

Associez $- 9$ et $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 9}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 9$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $9$ .

$(9) \cdot e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$9 \cdot e^{- \frac{81}{162}}$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun à $81$ et $162$ .

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Étape 4.2.2.2.1

Factorisez $81$ à partir de $81$ .

$9 \cdot e^{- \frac{81 (1)}{162}}$

Étape 4.2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.2.2.1

Factorisez $81$ à partir de $162$ .

$9 \cdot e^{- \frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}$

Étape 4.2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$9 \cdot e^{- \frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}$

Étape 4.2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$9 \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2.2.4

Associez $9$ et $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{9}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(- 9, - \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}}), (9, \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 5