Calcul infinitésimal Exemples

$x e^{- \frac{x}{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- \frac{x}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - \frac{x}{2}$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{x}{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{x}{2}$ .

$x (e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Associez les fractions.

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Étape 1.1.3.2.1

Associez $e^{- \frac{x}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2.2

Associez $x$ et $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \cdot 1 + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1$

Étape 1.1.3.6

Multipliez $e^{- \frac{x}{2}}$ par $1$ .

$f' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $e^{- \frac{x}{2}}$ à partir de $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $e^{- \frac{x}{2}}$ à partir de $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2}) + e^{- \frac{x}{2}} = 0$

Étape 2.2.2

Multipliez par $1$ .

$e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2}) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $e^{- \frac{x}{2}}$ à partir de $e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2}) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1$ .

$e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2} + 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{- \frac{x}{2}} = 0$

$- \frac{x}{2} + 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $e^{- \frac{x}{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $e^{- \frac{x}{2}}$ égal à $0$ .

$e^{- \frac{x}{2}} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $e^{- \frac{x}{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- \frac{x}{2}}) = \ln (0)$

Étape 2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- \frac{x}{2}} = 0$

Aucune solution

Étape 2.5

Définissez $- \frac{x}{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $- \frac{x}{2} + 1$ égal à $0$ .

$- \frac{x}{2} + 1 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $- \frac{x}{2} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{x}{2} = - 1$

Étape 2.5.2.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 2$ .

$- 2 (- \frac{x}{2}) = - 2 \cdot - 1$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.5.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.3.1.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{x}{2})$ .

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Étape 2.5.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.3.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

Étape 2.5.2.3.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

Étape 2.5.2.3.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

Étape 2.5.2.3.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - x = - 2 \cdot - 1$

Étape 2.5.2.3.1.1.2

Multipliez.

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Étape 2.5.2.3.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 x = - 2 \cdot - 1$

Étape 2.5.2.3.1.1.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = - 2 \cdot - 1$

Étape 2.5.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.3.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$x = 2$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2} + 1) = 0$ vraie.

$x = 2$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x e^{- \frac{x}{2}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$(2) \cdot e^{- \frac{2}{2}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot e^{- \frac{2}{2}}$

Étape 4.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot e^{- 1 \cdot 1}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \cdot e^{- 1}$

Étape 4.1.2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \cdot \frac{1}{e}$

Étape 4.1.2.4

Associez $2$ et $\frac{1}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(2, \frac{2}{e})$

Étape 5