Calcul infinitésimal Exemples

$2 \sec (θ) + \tan (θ)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \sec (θ) + \tan (θ)$ par rapport à $θ$ est $\frac{d}{d θ} [2 \sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$ .

$f' (θ) = \frac{d}{d θ} (2 \sec (θ)) + \frac{d}{d θ} (\tan (θ))$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d θ} [2 \sec (θ)]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $2 \sec (θ)$ par rapport à $θ$ est $2 \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$ .

$f' (θ) = 2 \frac{d}{d θ} (\sec (θ)) + \frac{d}{d θ} (\tan (θ))$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\sec (θ)$ par rapport à $θ$ est $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$f' (θ) = 2 \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d θ} (\tan (θ))$

Étape 1.1.3

La dérivée de $\tan (θ)$ par rapport à $θ$ est $\sec^{2} (θ)$ .

$f' (θ) = 2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ)$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (θ)$ par rapport à $θ$ est $2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ)$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) = 0$

Étape 2.2

Remplacez le $\sec^{2} (θ)$ par $1 + \tan^{2} (θ)$ d’après l’identité $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) (1 + \tan^{2} (θ)) = 0$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \sec (θ) \tan (θ) \cdot 1 + 2 \sec (θ) \tan (θ) \tan^{2} (θ) = 0$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ) \tan^{2} (θ) = 0$

Étape 2.5

Multipliez $\tan (θ)$ par $\tan^{2} (θ)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.1

Déplacez $\tan^{2} (θ)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) (\tan^{2} (θ) \tan (θ)) = 0$

Étape 2.5.2

Multipliez $\tan^{2} (θ)$ par $\tan (θ)$ .

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Étape 2.5.2.1

Élevez $\tan (θ)$ à la puissance $1$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) (\tan^{2} (θ) \tan (θ)) = 0$

Étape 2.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) {\tan (θ)}^{2 + 1} = 0$

Étape 2.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) + 2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) = 0$

Étape 2.6

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ) = 0$

Étape 2.7

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.7.1

Simplifiez $2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ)$ .

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Étape 2.7.1.1

Factorisez $2 \sec (θ) \tan (θ)$ à partir de $2 \sec (θ) \tan^{3} (θ) + 2 \sec (θ) \tan (θ)$ .

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Étape 2.7.1.1.1

Factorisez $2 \sec (θ) \tan (θ)$ à partir de $2 \sec (θ) \tan^{3} (θ)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ)) + 2 \sec (θ) \tan (θ) = 0$

Étape 2.7.1.1.2

Factorisez $2 \sec (θ) \tan (θ)$ à partir de $2 \sec (θ) \tan (θ)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ)) + 2 \sec (θ) \tan (θ) (1) = 0$

Étape 2.7.1.1.3

Factorisez $2 \sec (θ) \tan (θ)$ à partir de $2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ)) + 2 \sec (θ) \tan (θ) (1)$ .

$2 \sec (θ) \tan (θ) (\tan^{2} (θ) + 1) = 0$

Étape 2.7.1.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$2 \sec (θ) \tan (θ) \sec^{2} (θ) = 0$

Étape 2.7.1.3

Multipliez $\sec (θ)$ par $\sec^{2} (θ)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.7.1.3.1

Déplacez $\sec^{2} (θ)$ .

$2 (\sec^{2} (θ) \sec (θ)) \tan (θ) = 0$

Étape 2.7.1.3.2

Multipliez $\sec^{2} (θ)$ par $\sec (θ)$ .

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Étape 2.7.1.3.2.1

Élevez $\sec (θ)$ à la puissance $1$ .

$2 (\sec^{2} (θ) \sec^{1} (θ)) \tan (θ) = 0$

Étape 2.7.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 {\sec (θ)}^{2 + 1} \tan (θ) = 0$

Étape 2.7.1.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 \sec^{3} (θ) \tan (θ) = 0$

Étape 2.8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sec^{3} (θ) = 0$

$\tan (θ) = 0$

Étape 2.9

Définissez $\sec^{3} (θ)$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 2.9.1

Définissez $\sec^{3} (θ)$ égal à $0$ .

$\sec^{3} (θ) = 0$

Étape 2.9.2

Résolvez $\sec^{3} (θ) = 0$ pour $θ$ .

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Étape 2.9.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (θ) = \sqrt[3]{0}$

Étape 2.9.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 2.9.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\sec (θ) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 2.9.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\sec (θ) = 0$

Étape 2.9.2.3

La plage de la sécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $0$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 2.10

Définissez $\tan (θ)$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 2.10.1

Définissez $\tan (θ)$ égal à $0$ .

$\tan (θ) = 0$

Étape 2.10.2

Résolvez $\tan (θ) = 0$ pour $θ$ .

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Étape 2.10.2.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$θ = \arctan (0)$

Étape 2.10.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.10.2.2.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$θ = 0$

Étape 2.10.2.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = π + 0$

Étape 2.10.2.4

Additionnez $π$ et $0$ .

$θ = π$

Étape 2.10.2.5

Déterminez la période de $\tan (θ)$ .

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Étape 2.10.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 2.10.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 2.10.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 2.10.2.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.10.2.6

La période de la fonction $\tan (θ)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$θ = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 \sec^{3} (θ) \tan (θ) = 0$ vraie.

$θ = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.12

Consolidez les réponses.

$θ = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\sec (θ)$ égal à $\frac{π}{2} + π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$θ = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.2

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

${θ | θ = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Évaluez $2 \sec (θ) + \tan (θ)$ sur chaque valeur $θ$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $θ = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $θ$ par $0$ .

$2 \sec (0) + \tan (0)$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$2 \cdot 1 + \tan (0)$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \tan (0)$

Étape 4.1.2.1.3

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 4.2

Évaluez sur $θ = π$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $θ$ par $π$ .

$2 \sec (π) + \tan (π)$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la sécante est négative dans le deuxième quadrant.

$2 (- \sec (0)) + \tan (π)$

Étape 4.2.2.1.2

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) + \tan (π)$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 4.2.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \cdot - 1 + \tan (π)$

Étape 4.2.2.1.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 + \tan (π)$

Étape 4.2.2.1.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la tangente est négative dans le deuxième quadrant.

$- 2 - \tan (0)$

Étape 4.2.2.1.5

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$- 2 - 0$

Étape 4.2.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- 2 + 0$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$- 2$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(0 + 2 π n, 2), (π + 2 π n, - 2)$ , pour tout entier $n$

Étape 5