Calcul infinitésimal Exemples

$6 x + \sin (6 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x + \sin (6 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$ .

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Étape 1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 6 x$ .

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Étape 1.1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 x$ .

$6 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 1.1.3.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$6 + \cos (u) \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 1.1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x$ .

$6 + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 1.1.3.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 + \cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 + \cos (6 x) (6 \cdot 1)$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 + \cos (6 x) \cdot 6$

Étape 1.1.3.5

Déplacez $6$ à gauche de $\cos (6 x)$ .

$f' (x) = 6 + 6 \cos (6 x)$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 + 6 \cos (6 x)$ .

$6 + 6 \cos (6 x)$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 + 6 \cos (6 x) = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 + 6 \cos (6 x) = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$6 \cos (6 x) = - 6$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $6 \cos (6 x) = - 6$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $6 \cos (6 x) = - 6$ par $6$ .

$\frac{6 \cos (6 x)}{6} = \frac{- 6}{6}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 \cos (6 x)}{6} = \frac{- 6}{6}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $\cos (6 x)$ par $1$ .

$\cos (6 x) = \frac{- 6}{6}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $- 6$ par $6$ .

$\cos (6 x) = - 1$

Étape 2.4

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$6 x = \arccos (- 1)$

Étape 2.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $π$ .

$6 x = π$

Étape 2.6

Divisez chaque terme dans $6 x = π$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 2.6.1

Divisez chaque terme dans $6 x = π$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{π}{6}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 2.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{π}{6}$

Étape 2.6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 2.7

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$6 x = 2 π - π$

Étape 2.8

Résolvez $x$ .

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Étape 2.8.1

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$6 x = π$

Étape 2.8.2

Divisez chaque terme dans $6 x = π$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 2.8.2.1

Divisez chaque terme dans $6 x = π$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{π}{6}$

Étape 2.8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 2.8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{π}{6}$

Étape 2.8.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 2.9

Déterminez la période de $\cos (6 x)$ .

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Étape 2.9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.9.2

Remplacez $b$ par $6$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 6 |}$

Étape 2.9.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $6$ est $6$ .

$\frac{2 π}{6}$

Étape 2.9.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 2.9.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{6}$

Étape 2.9.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.9.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Étape 2.9.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Étape 2.9.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{3}$

Étape 2.10

La période de la fonction $\cos (6 x)$ est $\frac{π}{3}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{π}{3}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $6 x + \sin (6 x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{π}{6}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{π}{6}$ .

$6 (\frac{π}{6}) + \sin (6 (\frac{π}{6}))$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 4.1.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$6 \frac{π}{6} + \sin (6 (\frac{π}{6}))$

Étape 4.1.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$π + \sin (6 (\frac{π}{6}))$

Étape 4.1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 4.1.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$π + \sin (6 \frac{π}{6})$

Étape 4.1.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$π + \sin (π)$

Étape 4.1.2.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$π + \sin (0)$

Étape 4.1.2.1.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$π + 0$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$π$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{π}{2}$ .

$6 (\frac{π}{2}) + \sin (6 (\frac{π}{2}))$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 (3) \frac{π}{2} + \sin (6 (\frac{π}{2}))$

Étape 4.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 3 \frac{π}{2} + \sin (6 (\frac{π}{2}))$

Étape 4.2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$3 π + \sin (6 (\frac{π}{2}))$

Étape 4.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$3 π + \sin (2 (3) \frac{π}{2})$

Étape 4.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 π + \sin (2 \cdot 3 \frac{π}{2})$

Étape 4.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 π + \sin (3 π)$

Étape 4.2.2.1.3

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$3 π + \sin (π)$

Étape 4.2.2.1.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$3 π + \sin (0)$

Étape 4.2.2.1.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$3 π + 0$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $3 π$ et $0$ .

$3 π$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = \frac{5 π}{6}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $\frac{5 π}{6}$ .

$6 (\frac{5 π}{6}) + \sin (6 (\frac{5 π}{6}))$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$6 \frac{5 π}{6} + \sin (6 (\frac{5 π}{6}))$

Étape 4.3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$5 π + \sin (6 (\frac{5 π}{6}))$

Étape 4.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 4.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$5 π + \sin (6 \frac{5 π}{6})$

Étape 4.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$5 π + \sin (5 π)$

Étape 4.3.2.1.3

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$5 π + \sin (π)$

Étape 4.3.2.1.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$5 π + \sin (0)$

Étape 4.3.2.1.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$5 π + 0$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $5 π$ et $0$ .

$5 π$

Étape 4.4

Évaluez sur $x = \frac{7 π}{6}$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez $x$ par $\frac{7 π}{6}$ .

$6 (\frac{7 π}{6}) + \sin (6 (\frac{7 π}{6}))$

Étape 4.4.2

Simplifiez

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Étape 4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 4.4.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$6 \frac{7 π}{6} + \sin (6 (\frac{7 π}{6}))$

Étape 4.4.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$7 π + \sin (6 (\frac{7 π}{6}))$

Étape 4.4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 4.4.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$7 π + \sin (6 \frac{7 π}{6})$

Étape 4.4.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$7 π + \sin (7 π)$

Étape 4.4.2.1.3

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$7 π + \sin (π)$

Étape 4.4.2.1.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$7 π + \sin (0)$

Étape 4.4.2.1.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$7 π + 0$

Étape 4.4.2.2

Additionnez $7 π$ et $0$ .

$7 π$

Étape 4.5

Évaluez sur $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Étape 4.5.1

Remplacez $x$ par $\frac{3 π}{2}$ .

$6 (\frac{3 π}{2}) + \sin (6 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 4.5.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 (3) \frac{3 π}{2} + \sin (6 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 4.5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 3 \frac{3 π}{2} + \sin (6 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 4.5.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$3 (3 π) + \sin (6 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 4.5.2.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 π + \sin (6 (\frac{3 π}{2}))$

Étape 4.5.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.2.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$9 π + \sin (2 (3) \frac{3 π}{2})$

Étape 4.5.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$9 π + \sin (2 \cdot 3 \frac{3 π}{2})$

Étape 4.5.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$9 π + \sin (3 (3 π))$

Étape 4.5.2.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 π + \sin (9 π)$

Étape 4.5.2.1.5

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$9 π + \sin (π)$

Étape 4.5.2.1.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$9 π + \sin (0)$

Étape 4.5.2.1.7

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$9 π + 0$

Étape 4.5.2.2

Additionnez $9 π$ et $0$ .

$9 π$

Étape 4.6

Indiquez tous les points.

$(\frac{π}{6}, π), (\frac{π}{2}, 3 π), (\frac{5 π}{6}, 5 π), (\frac{7 π}{6}, 7 π), (\frac{3 π}{2}, 9 π)$

Étape 5