Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x - 3) + \ln (x + 1) = \ln (x + 7)$

Étape 1

Soustrayez $\ln (x + 7)$ des deux côtés de l’équation.

$\ln (x - 3) + \ln (x + 1) - \ln (x + 7) = 0$

Étape 2

Simplifiez $\ln (x - 3) + \ln (x + 1) - \ln (x + 7)$ .

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Étape 2.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 3) (x + 1)) - \ln (x + 7) = 0$

Étape 2.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{(x - 3) (x + 1)}{x + 7}) = 0$

Étape 3

Réécrivez $\ln (\frac{(x - 3) (x + 1)}{x + 7}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{(x - 3) (x + 1)}{x + 7}$

Étape 4

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$(x - 3) (x + 1) = e^{0} (x + 7)$

Étape 5

Simplifiez $e^{0} (x + 7)$ .

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Étape 5.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$(x - 3) (x + 1) = 1 (x + 7)$

Étape 5.2

Multipliez $x + 7$ par $1$ .

$(x - 3) (x + 1) = x + 7$

Étape 6

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$(x - 3) (x + 1) - x = 7$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Développez $(x - 3) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x + 1) - 3 (x + 1) - x = 7$

Étape 6.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 1 - 3 (x + 1) - x = 7$

Étape 6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1 - x = 7$

Étape 6.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1 - x = 7$

Étape 6.2.2.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} + x - 3 x - 3 \cdot 1 - x = 7$

Étape 6.2.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$x^{2} + x - 3 x - 3 - x = 7$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $3 x$ de $x$ .

$x^{2} - 2 x - 3 - x = 7$

Étape 6.3

Soustrayez $x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} - 3 x - 3 = 7$

Étape 7

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 3 x = 7 + 3$

Étape 7.2

Additionnez $7$ et $3$ .

$x^{2} - 3 x = 10$

Étape 8

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 3 x - 10 = 0$

Étape 9

Factorisez $x^{2} - 3 x - 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 10$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 5, 2$

Étape 9.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 5) (x + 2) = 0$

Étape 10

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 11

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 11.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 12

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 12.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 13

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 5) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 5, - 2$