Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x}{6} \tan^{2} (\frac{x}{6})$

Étape 1

Associez $\frac{x}{6}$ et $\tan^{2} (\frac{x}{6})$ .

$\int \frac{x \tan^{2} (\frac{x}{6})}{6} d x$

Étape 2

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} \int x \tan^{2} (\frac{x}{6}) d x$

Étape 3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \tan^{2} (\frac{x}{6})$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{1}{6} x)) - \int - x + 6 \tan (\frac{1}{6} x) d x)$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{1}{6} x)) - (\int - x d x + \int 6 \tan (\frac{1}{6} x) d x))$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{1}{6} x)) - (- \int x d x + \int 6 \tan (\frac{1}{6} x) d x))$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{1}{6} x)) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 6 \tan (\frac{1}{6} x) d x))$

Étape 7

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{1}{6} x)) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 \int \tan (\frac{1}{6} x) d x))$

Étape 8

Laissez $u = \frac{1}{6} x$ . Alors $d u = \frac{1}{6} d x$ , donc $6 d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Laissez $u = \frac{1}{6} x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Différenciez $\frac{1}{6} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x]$

Étape 8.1.2

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{6} x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1$

Étape 8.1.4

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $1$ .

$\frac{1}{6}$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{1}{6} x)) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 \int \tan (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u))$

Étape 9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $x$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 \int \tan (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u))$

Étape 9.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 \int \tan (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u))$

Étape 9.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 \int \tan (u) (1 \cdot 6) d u))$

Étape 9.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 \int \tan (u) \cdot 6 d u))$

Étape 9.5

Déplacez $6$ à gauche de $\tan (u)$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 \int 6 \tan (u) d u))$

Étape 10

Comme $6$ est constant par rapport à $u$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 (6 \int \tan (u) d u)))$

Étape 11

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 36 \int \tan (u) d u))$

Étape 12

L’intégrale de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\frac{1}{6} (x (- x + 6 \tan (\frac{x}{6})) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + 36 (\ln (| \sec (u) |) + C)))$

Étape 13

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Simplifiez

$\frac{1}{6} (- x^{2} + 6 x \tan (\frac{x}{6}) + \frac{x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

Étape 13.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Pour écrire $- x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) - x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

Étape 13.2.2

Associez $- x^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) + \frac{- x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

Étape 13.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) + \frac{- x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

Étape 13.2.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) + \frac{- 2 x^{2} + x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

Étape 13.2.5

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) + \frac{- x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

Étape 13.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (u) |)) + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{6} x$ .

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (\frac{1}{6} x) |)) + C$

Étape 15

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $x$ .

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{2} - 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

Étape 15.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{6} (6 x \tan (\frac{x}{6})) + \frac{1}{6} (- \frac{x^{2}}{2}) + \frac{1}{6} (- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

Étape 15.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.3.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.3.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x \tan (\frac{x}{6})$ .

$\frac{1}{6} (6 (x \tan (\frac{x}{6}))) + \frac{1}{6} (- \frac{x^{2}}{2}) + \frac{1}{6} (- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

Étape 15.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{6} (6 (x \tan (\frac{x}{6}))) + \frac{1}{6} (- \frac{x^{2}}{2}) + \frac{1}{6} (- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

Étape 15.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$x \tan (\frac{x}{6}) + \frac{1}{6} (- \frac{x^{2}}{2}) + \frac{1}{6} (- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

Étape 15.3.2

Multipliez $\frac{1}{6} (- \frac{x^{2}}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{6 \cdot 2} + \frac{1}{6} (- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

Étape 15.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{6} (- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)) + C$

Étape 15.3.3

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.3.3.1

Factorisez $6$ à partir de $- 36 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |)$ .

$x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{6} (6 (- 6 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |))) + C$

Étape 15.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{12} + \frac{1}{6} (6 (- 6 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |))) + C$

Étape 15.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$x \tan (\frac{x}{6}) - \frac{x^{2}}{12} - 6 \ln (| \sec (\frac{x}{6}) |) + C$

Étape 16

Remettez les termes dans l’ordre.

$x \tan (\frac{1}{6} x) - \frac{1}{12} x^{2} - 6 \ln (| \sec (\frac{1}{6} x) |) + C$