Calcul infinitésimal Exemples

$C (t) = 3 t e^{- \frac{t}{3}}$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int t e^{- \frac{t}{3}} d t$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = t$ et $d v = e^{- \frac{t}{3}}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{1}{3} t}) - \int - 3 e^{- \frac{1}{3} t} d t)$

Étape 3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{1}{3} t}) - (- 3 \int e^{- \frac{1}{3} t} d t))$

Étape 4

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Étape 4.1

Associez $t$ et $\frac{1}{3}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - (- 3 \int e^{- \frac{1}{3} t} d t))$

Étape 4.2

Associez $t$ et $\frac{1}{3}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - (- 3 \int e^{- \frac{t}{3}} d t))$

Étape 4.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int e^{- \frac{t}{3}} d t)$

Étape 5

Laissez $u = - \frac{t}{3}$ . Alors $d u = - \frac{1}{3} d t$ , donc $- 3 d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = - \frac{t}{3}$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $- \frac{t}{3}$ .

$\frac{d}{d t} [- \frac{t}{3}]$

Étape 5.1.2

Comme $- \frac{1}{3}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \frac{t}{3}$ par rapport à $t$ est $- \frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{3}$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{3}} d u)$

Étape 6

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Étape 6.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u)$

Étape 6.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{3}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} (1 \cdot 3) d u)$

Étape 6.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} \cdot 3 d u)$

Étape 6.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - 3 e^{u} d u)$

Étape 7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 (- 3 \int e^{u} d u))$

Étape 8

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - 9 \int e^{u} d u)$

Étape 9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - 9 (e^{u} + C))$

Étape 10

Réécrivez $3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - 9 (e^{u} + C))$ comme $3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}} - 9 e^{u}) + C$ .

$3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}} - 9 e^{u}) + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{t}{3}$ .

$3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}} - 9 e^{- \frac{t}{3}}) + C$

Étape 12

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}}) + 3 (- 9 e^{- \frac{t}{3}}) + C$

Étape 12.2

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$- 9 (t e^{- \frac{t}{3}}) + 3 (- 9 e^{- \frac{t}{3}}) + C$

Étape 12.3

Multipliez $- 9$ par $3$ .

$- 9 t e^{- \frac{t}{3}} - 27 e^{- \frac{t}{3}} + C$

Étape 13

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 9 t e^{- \frac{1}{3} t} - 27 e^{- \frac{1}{3} t} + C$