Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2} + 4}{2 x^{2} - 18} < 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} + 4 = 0$

$2 x^{2} - 18 = 0$

Étape 2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 4$

Étape 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Étape 4

Simplifiez $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Étape 4.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Étape 4.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Étape 4.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Étape 4.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 2$

Étape 4.6

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 i$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 i$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 i, - 2 i$

Étape 6

Ajoutez $18$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} = 18$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 18$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 18$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{18}{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{18}{2}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{18}{2}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Divisez $18$ par $2$ .

$x^{2} = 9$

Étape 8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 9

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 9.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 9.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 10

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 10.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 10.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 10.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 11

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 2 i, - 2 i$

$x = 3, - 3$

Étape 12

Consolidez les solutions.

$x = 3, - 3$

Étape 13

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2} + 4}{2 x^{2} - 18}$ .

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Étape 13.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} + 4}{2 x^{2} - 18}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 x^{2} - 18 = 0$

Étape 13.2

Résolvez $x$ .

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Étape 13.2.1

Ajoutez $18$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} = 18$

Étape 13.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 18$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 13.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 18$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{18}{2}$

Étape 13.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{18}{2}$

Étape 13.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{18}{2}$

Étape 13.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.2.2.3.1

Divisez $18$ par $2$ .

$x^{2} = 9$

Étape 13.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 13.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 13.2.4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 13.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 13.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 13.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 13.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 13.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 13.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 14

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Étape 15

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 15.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 15.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 6)}^{2} + 4}{2 {(- 6)}^{2} - 18} < 0$

Étape 15.1.3

Le côté gauche $0.\overline{740}$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 15.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 15.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(0)}^{2} + 4}{2 {(0)}^{2} - 18} < 0$

Étape 15.2.3

Le côté gauche $- 0.\overline{2}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 15.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 15.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(6)}^{2} + 4}{2 {(6)}^{2} - 18} < 0$

Étape 15.3.3

Le côté gauche $0.\overline{740}$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 15.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

$x < - 3$ Faux

$- 3 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

Étape 16

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 3 < x < 3$

Étape 17

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 3, 3)$

Étape 18