Calcul infinitésimal Exemples

$3 {(6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4})}^{2} (- 5 - 4 x + 28 x^{3})$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int {(6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4})}^{2} (- 5 - 4 x + 28 x^{3}) d x$

Étape 2

Laissez $u = 6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4}$ . Alors $d u = (- 5 - 4 x + 28 x^{3}) d x$ , donc $\frac{1}{- 5 - 4 x + 28 x^{3}} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4}]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Étape 2.1.2.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$0 - 5 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Étape 2.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 5 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Étape 2.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 5 - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Étape 2.1.4.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$0 - 5 - 4 x + \frac{d}{d x} [7 x^{4}]$

Étape 2.1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x^{4}]$ .

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Étape 2.1.5.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{4}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 - 5 - 4 x + 7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$0 - 5 - 4 x + 7 (4 x^{3})$

Étape 2.1.5.3

Multipliez $4$ par $7$ .

$0 - 5 - 4 x + 28 x^{3}$

Étape 2.1.6

Simplifiez

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Étape 2.1.6.1

Soustrayez $5$ de $0$ .

$- 5 - 4 x + 28 x^{3}$

Étape 2.1.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$28 x^{3} - 4 x - 5$

Étape 2.1.7

Réorganisez les termes.

$- 4 x - 5 + 28 x^{3}$

Étape 2.1.8

Réorganisez les termes.

$- 5 - 4 x + 28 x^{3}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$3 \int u^{2} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez $3 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ comme $3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$ .

$3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{3} u^{3} + C$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 u^{3} + C$

Étape 4.2.3

Multipliez $u^{3}$ par $1$ .

$u^{3} + C$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4}$ .

${(6 - 5 x - 2 x^{2} + 7 x^{4})}^{3} + C$