Calcul infinitésimal Exemples

${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\int \sqrt{{(25 - x^{2})}^{1}} d x$

Étape 2

Laissez $x = 5 \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 5 \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $5 \cos (t)$ est positif.

$\int \sqrt{{(25 - {(5 \sin (t))}^{2})}^{1}} (5 \cos (t)) d t$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez $\sqrt{{(25 - {(5 \sin (t))}^{2})}^{1}}$ .

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Étape 3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $5 \sin (t)$ .

$\int \sqrt{{(25 - (5^{2} \sin^{2} (t)))}^{1}} (5 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\int \sqrt{{(25 - (25 \sin^{2} (t)))}^{1}} (5 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.1.3

Multipliez $25$ par $- 1$ .

$\int \sqrt{{(25 - 25 \sin^{2} (t))}^{1}} (5 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.2

Factorisez $25$ à partir de $25$ .

$\int \sqrt{{(25 (1) - 25 \sin^{2} (t))}^{1}} (5 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.3

Factorisez $25$ à partir de $- 25 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{{(25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t)))}^{1}} (5 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.4

Factorisez $25$ à partir de $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{{(25 (1 - \sin^{2} (t)))}^{1}} (5 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \sqrt{{(25 \cos^{2} (t))}^{1}} (5 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.6

Simplifiez

$\int \sqrt{25 \cos^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.7

Réécrivez $25 \cos^{2} (t)$ comme ${(5 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t$

Étape 3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int 5 \cos (t) (5 \cos (t)) d t$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$\int 25 \cos (t) \cos (t) d t$

Étape 3.2.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Étape 3.2.3

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Étape 3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 25 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Étape 3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int 25 \cos^{2} (t) d t$

Étape 4

Comme $25$ est constant par rapport à $t$ , placez $25$ en dehors de l’intégrale.

$25 \int \cos^{2} (t) d t$

Étape 5

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (t)$ en $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$25 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$25 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Étape 7

Associez $\frac{1}{2}$ et $25$ .

$\frac{25}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{25}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{25}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Étape 10

Laissez $u = 2 t$ . Alors $d u = 2 d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 10.1

Laissez $u = 2 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 10.1.1

Différenciez $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Étape 10.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 10.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{25}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 11

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 12

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{25}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Étape 13

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{25}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Étape 14

Simplifiez

$\frac{25}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Étape 15

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 15.1

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (\frac{x}{5})$ .

$\frac{25}{2} (\arcsin (\frac{x}{5}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Étape 15.2

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 t$ .

$\frac{25}{2} (\arcsin (\frac{x}{5}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Étape 15.3

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (\frac{x}{5})$ .

$\frac{25}{2} (\arcsin (\frac{x}{5}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{5}))) + C$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 \arcsin (\frac{x}{5}))$ .

$\frac{25}{2} (\arcsin (\frac{x}{5}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{5}))}{2}) + C$

Étape 16.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{25}{2} \arcsin (\frac{x}{5}) + \frac{25}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{5}))}{2} + C$

Étape 16.3

Associez $\frac{25}{2}$ et $\arcsin (\frac{x}{5})$ .

$\frac{25 \arcsin (\frac{x}{5})}{2} + \frac{25}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{5}))}{2} + C$

Étape 16.4

Multipliez $\frac{25}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{5}))}{2}$ .

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Étape 16.4.1

Multipliez $\frac{25}{2}$ par $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{5}))}{2}$ .

$\frac{25 \arcsin (\frac{x}{5})}{2} + \frac{25 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{5}))}{2 \cdot 2} + C$

Étape 16.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{25 \arcsin (\frac{x}{5})}{2} + \frac{25 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{5}))}{4} + C$

Étape 17

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{25}{2} \arcsin (\frac{1}{5} x) + \frac{25}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{5} x)) + C$