Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 1}^{125} \frac{i + 1}{15625}$

Étape 1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{125} \frac{i}{15625} + \frac{1}{15625} = \sum_{k = 1}^{125} \frac{i}{15625} + \sum_{k = 1}^{125} \frac{1}{15625}$

Étape 2

Évaluez $\sum_{k = 1}^{125} \frac{i}{15625}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $\frac{1}{15625}$ dans l’addition.

$\frac{1}{15625} \sum_{k = 1}^{125} i$

Étape 2.2

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 2.3

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(\frac{1}{15625}) (\frac{125 (125 + 1)}{2})$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1.1

Additionnez $125$ et $1$ .

$\frac{1}{15625} \cdot \frac{125 \cdot 126}{2}$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $125$ par $126$ .

$\frac{1}{15625} \cdot \frac{15750}{2}$

Étape 2.4.2

Annulez le facteur commun de $125$ .

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $125$ à partir de $15625$ .

$\frac{1}{125 (125)} \cdot \frac{15750}{2}$

Étape 2.4.2.2

Factorisez $125$ à partir de $15750$ .

$\frac{1}{125 \cdot 125} \cdot \frac{125 \cdot 126}{2}$

Étape 2.4.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{125 \cdot 125} \cdot \frac{125 \cdot 126}{2}$

Étape 2.4.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{125} \cdot \frac{126}{2}$

Étape 2.4.3

Multipliez $\frac{1}{125}$ par $\frac{126}{2}$ .

$\frac{126}{125 \cdot 2}$

Étape 2.4.4

Multipliez $125$ par $2$ .

$\frac{126}{250}$

Étape 2.4.5

Annulez le facteur commun à $126$ et $250$ .

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Étape 2.4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $126$ .

$\frac{2 (63)}{250}$

Étape 2.4.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $250$ .

$\frac{2 \cdot 63}{2 \cdot 125}$

Étape 2.4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 63}{2 \cdot 125}$

Étape 2.4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{63}{125}$

Étape 3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{125} \frac{1}{15625}$ .

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Étape 3.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(\frac{1}{15625}) (125)$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $125$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $125$ à partir de $15625$ .

$\frac{1}{125 (125)} \cdot 125$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{125 \cdot 125} \cdot 125$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{125}$

Étape 4

Additionnez les résultats des additions.

$\frac{63}{125} + \frac{1}{125}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{63 + 1}{125}$

Étape 5.2

Additionnez $63$ et $1$ .

$\frac{64}{125}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{64}{125}$

Forme décimale :

$0.512$