Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 1}^{50} (2 i - 1) (2 i + 1)$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Développez $(2 i - 1) (2 i + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 i (2 i + 1) - 1 (2 i + 1)$

Étape 1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 i (2 i) + 2 i \cdot 1 - 1 (2 i + 1)$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 i (2 i) + 2 i \cdot 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot 1$

Étape 1.2

Associez les termes opposés dans $2 i (2 i) + 2 i \cdot 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $2 i \cdot 1$ et $- 1 (2 i)$ .

$2 i (2 i) + 1 \cdot 2 i - 1 \cdot 2 i - 1 \cdot 1$

Étape 1.2.2

Soustrayez $2 i$ de $1 \cdot 2 i$ .

$2 i (2 i) + 0 - 1 \cdot 1$

Étape 1.2.3

Additionnez $2 i (2 i)$ et $0$ .

$2 i (2 i) - 1 \cdot 1$

Étape 1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot 2 i \cdot i - 1 \cdot 1$

Étape 1.3.2

Multipliez $i$ par $i$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.2.1

Déplacez $i$ .

$2 \cdot 2 (i \cdot i) - 1 \cdot 1$

Étape 1.3.2.2

Multipliez $i$ par $i$ .

$2 \cdot 2 i^{2} - 1 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 i^{2} - 1 \cdot 1$

Étape 1.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 i^{2} - 1$

Étape 1.4

Réécrivez l’addition.

$\sum_{i = 1}^{50} 4 i^{2} - 1$

Étape 2

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{i = 1}^{50} 4 i^{2} - 1 = 4 \sum_{i = 1}^{50} i^{2} + \sum_{i = 1}^{50} - 1$

Étape 3

Évaluez $4 \sum_{i = 1}^{50} i^{2}$ .

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Étape 3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(4) (\frac{50 (50 + 1) (2 \cdot 50 + 1)}{6})$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1.1

Additionnez $50$ et $1$ .

$4 \frac{50 \cdot 51 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Étape 3.3.1.2

Associez les exposants.

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Étape 3.3.1.2.1

Multipliez $50$ par $51$ .

$4 \frac{2550 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $50$ .

$4 \frac{2550 (100 + 1)}{6}$

Étape 3.3.1.3

Additionnez $100$ et $1$ .

$4 \frac{2550 \cdot 101}{6}$

Étape 3.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $2550$ par $101$ .

$4 (\frac{257550}{6})$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 (2) \frac{257550}{6}$

Étape 3.3.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 \cdot 2 \frac{257550}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 2 \frac{257550}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{257550}{3})$

Étape 3.3.2.3

Associez $2$ et $\frac{257550}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 257550}{3}$

Étape 3.3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.2.4.1

Multipliez $2$ par $257550$ .

$\frac{515100}{3}$

Étape 3.3.2.4.2

Divisez $515100$ par $3$ .

$171700$

Étape 4

Évaluez $\sum_{i = 1}^{50} - 1$ .

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Étape 4.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(- 1) (50)$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $50$ .

$- 50$

Étape 5

Additionnez les résultats des additions.

$171700 - 50$

Étape 6

Soustrayez $50$ de $171700$ .

$171650$