Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 x - \ln (x)$

Étape 1

Écrivez $y = 4 x - \ln (x)$ comme une fonction.

$f (x) = 4 x - \ln (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 2.1.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$4 - \frac{1}{x}$

Étape 2.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 4$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{1}{x} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.2.6

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.2.7

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $0$ .

$x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.2.8

Additionnez $x^{- 2}$ et $0$ .

$x^{- 2} + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.2.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Étape 2.2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 0$

Étape 2.2.4.2

Additionnez $\frac{1}{x^{2}}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1}{x^{2}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 3.3

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 4

Aucune valeur trouvée qui peut rendre la dérivée seconde égale à $0$ .

Aucun point d’inflexion