Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(5 x + 30)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Écrivez $y = {(5 x + 30)}^{\frac{2}{3}}$ comme une fonction.

$f (x) = {(5 x + 30)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = 5 x + 30$ .

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Étape 2.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x + 30$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [5 x + 30]$

Étape 2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 30]$

Étape 2.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x + 30$ .

$\frac{2}{3} {(5 x + 30)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 30]$

Étape 2.1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(5 x + 30)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x + 30]$

Étape 2.1.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(5 x + 30)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x + 30]$

Étape 2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} {(5 x + 30)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x + 30]$

Étape 2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2}{3} {(5 x + 30)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x + 30]$

Étape 2.1.5.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(5 x + 30)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [5 x + 30]$

Étape 2.1.6

Associez les fractions.

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Étape 2.1.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} {(5 x + 30)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [5 x + 30]$

Étape 2.1.6.2

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(5 x + 30)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(5 x + 30)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [5 x + 30]$

Étape 2.1.6.3

Placez ${(5 x + 30)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x + 30]$

Étape 2.1.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x + 30$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [30]$ .

$\frac{2}{3 {(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [30])$

Étape 2.1.8

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3 {(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [30])$

Étape 2.1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [30])$

Étape 2.1.10

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{2}{3 {(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}}} (5 + \frac{d}{d x} [30])$

Étape 2.1.11

Comme $30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $30$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2}{3 {(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}}} (5 + 0)$

Étape 2.1.12

Associez les fractions.

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Étape 2.1.12.1

Additionnez $5$ et $0$ .

$\frac{2}{3 {(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 5$

Étape 2.1.12.2

Associez $\frac{2}{3 {(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}}}$ et $5$ .

$\frac{2 \cdot 5}{3 {(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.1.12.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$f' (x) = \frac{10}{3 {(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.2.1.1

Comme $\frac{10}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{10}{3 {(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 2.2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}}}$ comme ${({(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [{({(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(5 x + 30)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [{(5 x + 30)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Étape 2.2.1.2.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [{(5 x + 30)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Étape 2.2.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [{(5 x + 30)}^{- \frac{1}{3}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ et $g (x) = 5 x + 30$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x + 30$ .

$\frac{10}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [5 x + 30])$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{3}$ .

$\frac{10}{3} (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 30])$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x + 30$ .

$\frac{10}{3} (- \frac{1}{3} {(5 x + 30)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 30])$

Étape 2.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} (- \frac{1}{3} {(5 x + 30)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x + 30])$

Étape 2.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{3} (- \frac{1}{3} {(5 x + 30)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x + 30])$

Étape 2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{10}{3} (- \frac{1}{3} {(5 x + 30)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x + 30])$

Étape 2.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{10}{3} (- \frac{1}{3} {(5 x + 30)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x + 30])$

Étape 2.2.6.2

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$\frac{10}{3} (- \frac{1}{3} {(5 x + 30)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [5 x + 30])$

Étape 2.2.7

Associez les fractions.

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Étape 2.2.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{10}{3} (- \frac{1}{3} {(5 x + 30)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [5 x + 30])$

Étape 2.2.7.2

Associez ${(5 x + 30)}^{- \frac{4}{3}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{10}{3} (- \frac{{(5 x + 30)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [5 x + 30])$

Étape 2.2.7.3

Placez ${(5 x + 30)}^{- \frac{4}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{10}{3} (- \frac{1}{3 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x + 30])$

Étape 2.2.7.4

Multipliez $\frac{10}{3}$ par $\frac{1}{3 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{10}{3 (3 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}})} \frac{d}{d x} [5 x + 30]$

Étape 2.2.7.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{10}{9 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x + 30]$

Étape 2.2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x + 30$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [30]$ .

$- \frac{10}{9 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [30])$

Étape 2.2.9

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{10}{9 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [30])$

Étape 2.2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{10}{9 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [30])$

Étape 2.2.11

Multipliez $5$ par $1$ .

$- \frac{10}{9 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}} (5 + \frac{d}{d x} [30])$

Étape 2.2.12

Comme $30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $30$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{10}{9 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}} (5 + 0)$

Étape 2.2.13

Associez les fractions.

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Étape 2.2.13.1

Additionnez $5$ et $0$ .

$- \frac{10}{9 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 5$

Étape 2.2.13.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 \frac{10}{9 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.13.3

Associez $- 5$ et $\frac{10}{9 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{- 5 \cdot 10}{9 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.13.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.13.4.1

Multipliez $- 5$ par $10$ .

$\frac{- 50}{9 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.2.13.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{50}{9 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{50}{9 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{50}{9 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{50}{9 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{50}{9 {(5 x + 30)}^{\frac{4}{3}}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$50 = 0$

Étape 3.3

Comme $50 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 4

Aucune valeur trouvée qui peut rendre la dérivée seconde égale à $0$ .

Aucun point d’inflexion