Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{1 + t^{3}} d t$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{1^{3} + t^{3}} d t]$

Étape 1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = t$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{(1 + t) (1^{2} - 1 t + t^{2})} d t]$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{(1 + t) (1 - 1 t + t^{2})} d t]$

Étape 1.3.2

Réécrivez $- 1 t$ comme $- t$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t]$

Étape 2

Prenez la dérivée de $\int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t$ par rapport à $x$ en utilisant le théorème fondamental de l’analyse.

$\frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$