Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- k}^{k} \sqrt{k^{2} - x^{2}} d x$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{k^{2} - x^{2}}$ comme ${(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Étape 2

Séparez l’intégrale en deux intégrales où $c$ est une valeur comprise entre $- k$ et $k$ .

$\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x + \int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Étape 3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x + \int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$ par rapport à $k$ est $\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x] + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$ .

$\frac{d}{d k} [\int_{- k}^{c} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x] + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Étape 4

Permutez les bornes de l’intégration.

$\frac{d}{d k} [- \int_{c}^{- k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x] + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Étape 5

Prenez la dérivée de $- \int_{c}^{- k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$ par rapport à $k$ en utilisant le théorème fondamental de l’analyse et la règle d’enchaînement.

$\frac{d}{d k} [- k] (- {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $k$ , la dérivée de $- k$ par rapport à $k$ est $- \frac{d}{d k} [k]$ .

$- \frac{d}{d k} [k] (- {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ est $n k^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 (- {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Étape 6.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- - {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d k} [\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x]$

Étape 7

Prenez la dérivée de $\int_{c}^{k} {(k^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$ par rapport à $k$ en utilisant le théorème fondamental de l’analyse.

$- - {(k^{2} - {(- k)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 8

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- k$ .

$- - {(k^{2} - {(- (k))}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.1

Appliquez la règle de produit à $- (k)$ .

$- - {(k^{2} - ({(- 1)}^{2} k^{2}))}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 8.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- - {(k^{2} - (1 k^{2}))}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 8.2.3

Multipliez $k^{2}$ par $1$ .

$- - {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 8.3

Soustrayez $k^{2}$ de $k^{2}$ .

$- - 0^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 8.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.4.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$- - {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 8.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- - 0^{2 (\frac{1}{2})} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 8.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.5.1

Annulez le facteur commun.

$- - 0^{2 (\frac{1}{2})} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 8.5.2

Réécrivez l’expression.

$- - 0^{1} + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 8.6

Évaluez l’exposant.

$- - 0 + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 8.7

Multipliez par zéro.

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Étape 8.7.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- 0 + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 8.7.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + {(k^{2} - k^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 8.8

Soustrayez $k^{2}$ de $k^{2}$ .

$0 + 0^{\frac{1}{2}}$

Étape 8.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.9.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$0 + {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 8.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 8.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.10.1

Annulez le facteur commun.

$0 + 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 8.10.2

Réécrivez l’expression.

$0 + 0^{1}$

Étape 8.11

Évaluez l’exposant.

$0 + 0$

Étape 8.12

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$