Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} e^{6 x}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{6 x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{6 x}] + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 6 x$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [6 x]) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [6 x]) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x$ .

$x^{2} (e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x])) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (e^{6 x} (6 \cdot 1)) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.3.3.1

Multipliez $6$ par $1$ .

$x^{2} (e^{6 x} \cdot 6) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.3.3.2

Déplacez $6$ à gauche de $e^{6 x}$ .

$x^{2} (6 \cdot e^{6 x}) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (6 e^{6 x}) + e^{6 x} (2 x)$

Étape 1.1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 e^{6 x} x^{2} + 2 e^{6 x} x$

Étape 1.1.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $6 e^{6 x} x^{2} + 2 e^{6 x} x$ .

$f' (x) = 6 x^{2} e^{6 x} + 2 x e^{6 x}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{2} e^{6 x} + 2 x e^{6 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{6 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{6 x}]$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{6 x}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2} e^{6 x}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{6 x}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{6 x}]$

Étape 1.1.2.2.2

$6 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{6 x}] + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{6 x}]$

Étape 1.1.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 6 x$ .

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Étape 1.1.2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $6 x$ .

$6 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [6 x]) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{6 x}]$

Étape 1.1.2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$6 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [6 x]) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{6 x}]$

Étape 1.1.2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $6 x$ .

$6 (x^{2} (e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{6 x}]$

Étape 1.1.2.2.4

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 (x^{2} (e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x])) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{6 x}]$

Étape 1.1.2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 (x^{2} (e^{6 x} (6 \cdot 1)) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{6 x}]$

Étape 1.1.2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 (x^{2} (e^{6 x} (6 \cdot 1)) + e^{6 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{6 x}]$

Étape 1.1.2.2.7

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 (x^{2} (e^{6 x} \cdot 6) + e^{6 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{6 x}]$

Étape 1.1.2.2.8

Déplacez $6$ à gauche de $e^{6 x}$ .

$6 (x^{2} (6 e^{6 x}) + e^{6 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{6 x}]$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x e^{6 x}]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x e^{6 x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x e^{6 x}]$ .

$6 (x^{2} (6 e^{6 x}) + e^{6 x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} [x e^{6 x}]$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{6 x}$ .

$6 (x^{2} (6 e^{6 x}) + e^{6 x} (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} [e^{6 x}] + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 6 x$ .

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Étape 1.1.2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $6 x$ .

$6 (x^{2} (6 e^{6 x}) + e^{6 x} (2 x)) + 2 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [6 x]) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$6 (x^{2} (6 e^{6 x}) + e^{6 x} (2 x)) + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [6 x]) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $6 x$ .

$6 (x^{2} (6 e^{6 x}) + e^{6 x} (2 x)) + 2 (x (e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.2.3.4

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 (x^{2} (6 e^{6 x}) + e^{6 x} (2 x)) + 2 (x (e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x])) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 (x^{2} (6 e^{6 x}) + e^{6 x} (2 x)) + 2 (x (e^{6 x} (6 \cdot 1)) + e^{6 x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 (x^{2} (6 e^{6 x}) + e^{6 x} (2 x)) + 2 (x (e^{6 x} (6 \cdot 1)) + e^{6 x} \cdot 1)$

Étape 1.1.2.3.7

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 (x^{2} (6 e^{6 x}) + e^{6 x} (2 x)) + 2 (x (e^{6 x} \cdot 6) + e^{6 x} \cdot 1)$

Étape 1.1.2.3.8

Déplacez $6$ à gauche de $e^{6 x}$ .

$6 (x^{2} (6 e^{6 x}) + e^{6 x} (2 x)) + 2 (x (6 \cdot e^{6 x}) + e^{6 x} \cdot 1)$

Étape 1.1.2.3.9

Multipliez $e^{6 x}$ par $1$ .

$6 (x^{2} (6 e^{6 x}) + e^{6 x} (2 x)) + 2 (x (6 e^{6 x}) + e^{6 x})$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez

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Étape 1.1.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 (x^{2} (6 e^{6 x})) + 6 (e^{6 x} (2 x)) + 2 (x (6 e^{6 x}) + e^{6 x})$

Étape 1.1.2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$6 (x^{2} (6 e^{6 x})) + 6 (e^{6 x} (2 x)) + 2 (x (6 e^{6 x})) + 2 e^{6 x}$

Étape 1.1.2.4.3

Associez des termes.

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Étape 1.1.2.4.3.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$36 (x^{2} (e^{6 x})) + 6 (e^{6 x} (2 x)) + 2 (x (6 e^{6 x})) + 2 e^{6 x}$

Étape 1.1.2.4.3.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$36 x^{2} e^{6 x} + 12 (e^{6 x} (x)) + 2 (x (6 e^{6 x})) + 2 e^{6 x}$

Étape 1.1.2.4.3.3

Multipliez $6$ par $2$ .

$36 x^{2} e^{6 x} + 12 e^{6 x} x + 12 (x (e^{6 x})) + 2 e^{6 x}$

Étape 1.1.2.4.3.4

Additionnez $12 e^{6 x} x$ et $12 x e^{6 x}$ .

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Étape 1.1.2.4.3.4.1

Déplacez $e^{6 x}$ .

$36 x^{2} e^{6 x} + 12 x e^{6 x} + 12 x e^{6 x} + 2 e^{6 x}$

Étape 1.1.2.4.3.4.2

Additionnez $12 x e^{6 x}$ et $12 x e^{6 x}$ .

$36 x^{2} e^{6 x} + 24 x e^{6 x} + 2 e^{6 x}$

Étape 1.1.2.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$36 e^{6 x} x^{2} + 24 e^{6 x} x + 2 e^{6 x}$

Étape 1.1.2.4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $36 e^{6 x} x^{2} + 24 e^{6 x} x + 2 e^{6 x}$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} e^{6 x} + 24 x e^{6 x} + 2 e^{6 x}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $36 x^{2} e^{6 x} + 24 x e^{6 x} + 2 e^{6 x}$ .

$36 x^{2} e^{6 x} + 24 x e^{6 x} + 2 e^{6 x}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $36 x^{2} e^{6 x} + 24 x e^{6 x} + 2 e^{6 x} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$36 x^{2} e^{6 x} + 24 x e^{6 x} + 2 e^{6 x} = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $2 e^{6 x}$ à partir de $36 x^{2} e^{6 x} + 24 x e^{6 x} + 2 e^{6 x}$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $2 e^{6 x}$ à partir de $36 x^{2} e^{6 x}$ .

$2 e^{6 x} (18 x^{2}) + 24 x e^{6 x} + 2 e^{6 x} = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $2 e^{6 x}$ à partir de $24 x e^{6 x}$ .

$2 e^{6 x} (18 x^{2}) + 2 e^{6 x} (12 x) + 2 e^{6 x} = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $2 e^{6 x}$ à partir de $2 e^{6 x}$ .

$2 e^{6 x} (18 x^{2}) + 2 e^{6 x} (12 x) + 2 e^{6 x} (1) = 0$

Étape 1.2.2.4

Factorisez $2 e^{6 x}$ à partir de $2 e^{6 x} (18 x^{2}) + 2 e^{6 x} (12 x)$ .

$2 e^{6 x} (18 x^{2} + 12 x) + 2 e^{6 x} (1) = 0$

Étape 1.2.2.5

Factorisez $2 e^{6 x}$ à partir de $2 e^{6 x} (18 x^{2} + 12 x) + 2 e^{6 x} (1)$ .

$2 e^{6 x} (18 x^{2} + 12 x + 1) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{6 x} = 0$

$18 x^{2} + 12 x + 1 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $e^{6 x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $e^{6 x}$ égal à $0$ .

$e^{6 x} = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $e^{6 x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{6 x}) = \ln (0)$

Étape 1.2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 1.2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{6 x} = 0$

Aucune solution

Étape 1.2.5

Définissez $18 x^{2} + 12 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $18 x^{2} + 12 x + 1$ égal à $0$ .

$18 x^{2} + 12 x + 1 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $18 x^{2} + 12 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 18$ , $b = 12$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (18 \cdot 1)}}{2 \cdot 18}$

Étape 1.2.5.2.3

Simplifiez

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Étape 1.2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.3.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 18 \cdot 1}}{2 \cdot 18}$

Étape 1.2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 18 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $18$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 72 \cdot 1}}{2 \cdot 18}$

Étape 1.2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 72$ par $1$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 72}}{2 \cdot 18}$

Étape 1.2.5.2.3.1.3

Soustrayez $72$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot 18}$

Étape 1.2.5.2.3.1.4

Réécrivez $72$ comme $6^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.2.5.2.3.1.4.1

Factorisez $36$ à partir de $72$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{36 (2)}}{2 \cdot 18}$

Étape 1.2.5.2.3.1.4.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 18}$

Étape 1.2.5.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{2}}{2 \cdot 18}$

Étape 1.2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $18$ .

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{2}}{36}$

Étape 1.2.5.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm 6 \sqrt{2}}{36}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2}}{6}$

Étape 1.2.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.4.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 18 \cdot 1}}{2 \cdot 18}$

Étape 1.2.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 18 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $18$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 72 \cdot 1}}{2 \cdot 18}$

Étape 1.2.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 72$ par $1$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 72}}{2 \cdot 18}$

Étape 1.2.5.2.4.1.3

Soustrayez $72$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot 18}$

Étape 1.2.5.2.4.1.4

Réécrivez $72$ comme $6^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.2.5.2.4.1.4.1

Factorisez $36$ à partir de $72$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{36 (2)}}{2 \cdot 18}$

Étape 1.2.5.2.4.1.4.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 18}$

Étape 1.2.5.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{2}}{2 \cdot 18}$

Étape 1.2.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $18$ .

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{2}}{36}$

Étape 1.2.5.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm 6 \sqrt{2}}{36}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2}}{6}$

Étape 1.2.5.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 2 + \sqrt{2}}{6}$

Étape 1.2.5.2.4.5

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{2}}{6}$

Étape 1.2.5.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{2}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{2})}{6}$

Étape 1.2.5.2.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{2})$ .

$x = \frac{- 1 (2 - \sqrt{2})}{6}$

Étape 1.2.5.2.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2 - \sqrt{2}}{6}$

Étape 1.2.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.5.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 18 \cdot 1}}{2 \cdot 18}$

Étape 1.2.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 18 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $18$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 72 \cdot 1}}{2 \cdot 18}$

Étape 1.2.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 72$ par $1$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 72}}{2 \cdot 18}$

Étape 1.2.5.2.5.1.3

Soustrayez $72$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot 18}$

Étape 1.2.5.2.5.1.4

Réécrivez $72$ comme $6^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.2.5.2.5.1.4.1

Factorisez $36$ à partir de $72$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{36 (2)}}{2 \cdot 18}$

Étape 1.2.5.2.5.1.4.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 18}$

Étape 1.2.5.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{2}}{2 \cdot 18}$

Étape 1.2.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $18$ .

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{2}}{36}$

Étape 1.2.5.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm 6 \sqrt{2}}{36}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2}}{6}$

Étape 1.2.5.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 2 - \sqrt{2}}{6}$

Étape 1.2.5.2.5.5

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{2}}{6}$

Étape 1.2.5.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{2}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{2})}{6}$

Étape 1.2.5.2.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2) - (\sqrt{2})$ .

$x = \frac{- 1 (2 + \sqrt{2})}{6}$

Étape 1.2.5.2.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2 + \sqrt{2}}{6}$

Étape 1.2.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{2 - \sqrt{2}}{6}, - \frac{2 + \sqrt{2}}{6}$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 e^{6 x} (18 x^{2} + 12 x + 1) = 0$ vraie.

$x = - \frac{2 - \sqrt{2}}{6}, - \frac{2 + \sqrt{2}}{6}$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{2 + \sqrt{2}}{6}) \cup (- \frac{2 + \sqrt{2}}{6}, - \frac{2 - \sqrt{2}}{6}) \cup (- \frac{2 - \sqrt{2}}{6}, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - \frac{2 + \sqrt{2}}{6})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f'' (- 3) = 36 {(- 3)}^{2} e^{6 (- 3)} + 24 (- 3) \cdot e^{6 (- 3)} + 2 e^{6 (- 3)}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 3) = 36 \cdot (9 e^{6 (- 3)}) + 24 (- 3) \cdot e^{6 (- 3)} + 2 e^{6 (- 3)}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $36$ par $9$ .

$f'' (- 3) = 324 e^{6 (- 3)} + 24 (- 3) \cdot e^{6 (- 3)} + 2 e^{6 (- 3)}$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $6$ par $- 3$ .

$f'' (- 3) = 324 e^{- 18} + 24 (- 3) \cdot e^{6 (- 3)} + 2 e^{6 (- 3)}$

Étape 4.2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 3) = 324 (\frac{1}{e^{18}}) + 24 (- 3) \cdot e^{6 (- 3)} + 2 e^{6 (- 3)}$

Étape 4.2.1.5

Associez $324$ et $\frac{1}{e^{18}}$ .

$f'' (- 3) = \frac{324}{e^{18}} + 24 (- 3) \cdot e^{6 (- 3)} + 2 e^{6 (- 3)}$

Étape 4.2.1.6

Multipliez $24$ par $- 3$ .

$f'' (- 3) = \frac{324}{e^{18}} - 72 \cdot e^{6 (- 3)} + 2 e^{6 (- 3)}$

Étape 4.2.1.7

Multipliez $6$ par $- 3$ .

$f'' (- 3) = \frac{324}{e^{18}} - 72 \cdot e^{- 18} + 2 e^{6 (- 3)}$

Étape 4.2.1.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 3) = \frac{324}{e^{18}} - 72 \cdot \frac{1}{e^{18}} + 2 e^{6 (- 3)}$

Étape 4.2.1.9

Associez $- 72$ et $\frac{1}{e^{18}}$ .

$f'' (- 3) = \frac{324}{e^{18}} + \frac{- 72}{e^{18}} + 2 e^{6 (- 3)}$

Étape 4.2.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 3) = \frac{324}{e^{18}} - \frac{72}{e^{18}} + 2 e^{6 (- 3)}$

Étape 4.2.1.11

Multipliez $6$ par $- 3$ .

$f'' (- 3) = \frac{324}{e^{18}} - \frac{72}{e^{18}} + 2 e^{- 18}$

Étape 4.2.1.12

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 3) = \frac{324}{e^{18}} - \frac{72}{e^{18}} + 2 (\frac{1}{e^{18}})$

Étape 4.2.1.13

Associez $2$ et $\frac{1}{e^{18}}$ .

$f'' (- 3) = \frac{324}{e^{18}} - \frac{72}{e^{18}} + \frac{2}{e^{18}}$

Étape 4.2.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (- 3) = \frac{324 - 72 + 2}{e^{18}}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.2.1

Soustrayez $72$ de $324$ .

$f'' (- 3) = \frac{252 + 2}{e^{18}}$

Étape 4.2.2.2.2

Additionnez $252$ et $2$ .

$f'' (- 3) = \frac{254}{e^{18}}$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $\frac{254}{e^{18}}$ .

$\frac{254}{e^{18}}$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, - \frac{2 + \sqrt{2}}{6})$ car $f'' (- 3)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - \frac{2 + \sqrt{2}}{6})$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \frac{2 + \sqrt{2}}{6}, - \frac{2 - \sqrt{2}}{6})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.33$ dans l’expression.

$f'' (- 0.33) = 36 {(- 0.33)}^{2} e^{6 (- 0.33)} + 24 (- 0.33) \cdot e^{6 (- 0.33)} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 0.33$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.33) = 36 \cdot (0.1089 e^{6 (- 0.33)}) + 24 (- 0.33) \cdot e^{6 (- 0.33)} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $36$ par $0.1089$ .

$f'' (- 0.33) = 3.9204 e^{6 (- 0.33)} + 24 (- 0.33) \cdot e^{6 (- 0.33)} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $6$ par $- 0.33$ .

$f'' (- 0.33) = 3.9204 e^{- 1.98} + 24 (- 0.33) \cdot e^{6 (- 0.33)} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Étape 5.2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.33) = 3.9204 (\frac{1}{e^{1.98}}) + 24 (- 0.33) \cdot e^{6 (- 0.33)} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Étape 5.2.1.5

Associez $3.9204$ et $\frac{1}{e^{1.98}}$ .

$f'' (- 0.33) = \frac{3.9204}{e^{1.98}} + 24 (- 0.33) \cdot e^{6 (- 0.33)} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Étape 5.2.1.6

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (- 0.33) = \frac{3.9204}{{2.71828182}^{1.98}} + 24 (- 0.33) \cdot e^{6 (- 0.33)} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Étape 5.2.1.7

Élevez $2.71828182$ à la puissance $1.98$ .

$f'' (- 0.33) = \frac{3.9204}{7.24274298} + 24 (- 0.33) \cdot e^{6 (- 0.33)} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Étape 5.2.1.8

Divisez $3.9204$ par $7.24274298$ .

$f'' (- 0.33) = 0.54128663 + 24 (- 0.33) \cdot e^{6 (- 0.33)} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Étape 5.2.1.9

Multipliez $24$ par $- 0.33$ .

$f'' (- 0.33) = 0.54128663 - 7.92 \cdot e^{6 (- 0.33)} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Étape 5.2.1.10

Multipliez $6$ par $- 0.33$ .

$f'' (- 0.33) = 0.54128663 - 7.92 \cdot e^{- 1.98} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Étape 5.2.1.11

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.33) = 0.54128663 - 7.92 \cdot \frac{1}{e^{1.98}} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Étape 5.2.1.12

Associez $- 7.92$ et $\frac{1}{e^{1.98}}$ .

$f'' (- 0.33) = 0.54128663 + \frac{- 7.92}{e^{1.98}} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Étape 5.2.1.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (- 0.33) = 0.54128663 - \frac{7.92}{e^{1.98}} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Étape 5.2.1.14

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (- 0.33) = 0.54128663 - \frac{7.92}{{2.71828182}^{1.98}} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Étape 5.2.1.15

Élevez $2.71828182$ à la puissance $1.98$ .

$f'' (- 0.33) = 0.54128663 - \frac{7.92}{7.24274298} + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Étape 5.2.1.16

Divisez $7.92$ par $7.24274298$ .

$f'' (- 0.33) = 0.54128663 - 1 \cdot 1.09350835 + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Étape 5.2.1.17

Multipliez $- 1$ par $1.09350835$ .

$f'' (- 0.33) = 0.54128663 - 1.09350835 + 2 e^{6 (- 0.33)}$

Étape 5.2.1.18

Multipliez $6$ par $- 0.33$ .

$f'' (- 0.33) = 0.54128663 - 1.09350835 + 2 e^{- 1.98}$

Étape 5.2.1.19

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.33) = 0.54128663 - 1.09350835 + 2 (\frac{1}{e^{1.98}})$

Étape 5.2.1.20

Associez $2$ et $\frac{1}{e^{1.98}}$ .

$f'' (- 0.33) = 0.54128663 - 1.09350835 + \frac{2}{e^{1.98}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $1.09350835$ de $0.54128663$ .

$f'' (- 0.33) = - 0.55222172 + \frac{2}{e^{1.98}}$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 0.55222172$ et $\frac{2}{e^{1.98}}$ .

$f'' (- 0.33) = - 0.27608324$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 0.27608324$ .

$- 0.27608324$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \frac{2 + \sqrt{2}}{6}, - \frac{2 - \sqrt{2}}{6})$ car $f'' (- 0.33)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \frac{2 + \sqrt{2}}{6}, - \frac{2 - \sqrt{2}}{6})$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \frac{2 - \sqrt{2}}{6}, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} e^{6 (0)} + 24 (0) \cdot e^{6 (0)} + 2 e^{6 (0)}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = 36 \cdot (0 e^{6 (0)}) + 24 (0) \cdot e^{6 (0)} + 2 e^{6 (0)}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $36$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{6 (0)} + 24 (0) \cdot e^{6 (0)} + 2 e^{6 (0)}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $6$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{0} + 24 (0) \cdot e^{6 (0)} + 2 e^{6 (0)}$

Étape 6.2.1.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 + 24 (0) \cdot e^{6 (0)} + 2 e^{6 (0)}$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$f'' (0) = 0 + 24 (0) \cdot e^{6 (0)} + 2 e^{6 (0)}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $24$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 \cdot e^{6 (0)} + 2 e^{6 (0)}$

Étape 6.2.1.7

Multipliez $6$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 \cdot e^{0} + 2 e^{6 (0)}$

Étape 6.2.1.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f'' (0) = 0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{6 (0)}$

Étape 6.2.1.9

Multipliez $0$ par $1$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 2 e^{6 (0)}$

Étape 6.2.1.10

Multipliez $6$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 2 e^{0}$

Étape 6.2.1.11

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 2 \cdot 1$

Étape 6.2.1.12

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 2$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f'' (0) = 0 + 2$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$f'' (0) = 2$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \frac{2 - \sqrt{2}}{6}, \infty)$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \frac{2 - \sqrt{2}}{6}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - \frac{2 + \sqrt{2}}{6})$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- \frac{2 + \sqrt{2}}{6}, - \frac{2 - \sqrt{2}}{6})$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- \frac{2 - \sqrt{2}}{6}, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8