Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 10 x - 10 e^{- x}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 x - 10 e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $10$ par $1$ .

$10 + \frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 e^{- x}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 e^{- x}$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$10 - 10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 1.1.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$10 - 10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.1.1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$10 - 10 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.1.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$10 - 10 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.1.1.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 - 10 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 - 10 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Étape 1.1.1.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$10 - 10 (e^{- x} \cdot - 1)$

Étape 1.1.1.3.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$10 - 10 (- 1 \cdot e^{- x})$

Étape 1.1.1.3.7

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$10 - 10 (- e^{- x})$

Étape 1.1.1.3.8

Multipliez $- 1$ par $- 10$ .

$10 + 10 e^{- x}$

Étape 1.1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 10 e^{- x} + 10$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 e^{- x} + 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [10 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 e^{- x}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 e^{- x}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 1.1.2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.1.2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$10 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.1.2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$10 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.1.2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.1.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.1.2.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$10 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.1.2.2.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$10 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.1.2.2.7

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$10 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.1.2.2.8

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$- 10 e^{- x} + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 10 e^{- x} + 0$

Étape 1.1.2.3.2

Additionnez $- 10 e^{- x}$ et $0$ .

$f'' (x) = - 10 e^{- x}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 10 e^{- x}$ .

$- 10 e^{- x}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 10 e^{- x} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 10 e^{- x} = 0$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $- 10 e^{- x} = 0$ par $- 10$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 10 e^{- x} = 0$ par $- 10$ .

$\frac{- 10 e^{- x}}{- 10} = \frac{0}{- 10}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 10$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 10 e^{- x}}{- 10} = \frac{0}{- 10}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Divisez $e^{- x}$ par $1$ .

$e^{- x} = \frac{0}{- 10}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Divisez $0$ par $- 10$ .

$e^{- x} = 0$

Étape 1.2.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Étape 1.2.4

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 1.2.5

Il n’y a pas de solution pour $e^{- x} = 0$

Aucune solution

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Le graphe est concave vers le bas car la dérivée seconde est négative.

Le graphe est concave vers le bas

Étape 4