Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt[3]{| 25 - x^{2} |} + 6$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt[3]{| 25 - x^{2} |} + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{| 25 - x^{2} |}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{| 25 - x^{2} |}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{| 25 - x^{2} |}]$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{| 25 - x^{2} |}$ comme ${| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = | 25 - x^{2} |$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $| 25 - x^{2} |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [| 25 - x^{2} |] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} {u_{1}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [| 25 - x^{2} |] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $| 25 - x^{2} |$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [| 25 - x^{2} |] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = 25 - x^{2}$ .

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Étape 1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $25 - x^{2}$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.3.2

La dérivée de $| u_{2} |$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $25 - x^{2}$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{25 - x^{2}}{| 25 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $25 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{25 - x^{2}}{| 25 - x^{2} |} (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.5

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{25 - x^{2}}{| 25 - x^{2} |} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{25 - x^{2}}{| 25 - x^{2} |} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{25 - x^{2}}{| 25 - x^{2} |} (0 - (2 x))) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (\frac{25 - x^{2}}{| 25 - x^{2} |} (0 - (2 x))) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.9

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (\frac{25 - x^{2}}{| 25 - x^{2} |} (0 - (2 x))) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (\frac{25 - x^{2}}{| 25 - x^{2} |} (0 - (2 x))) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.11.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1 - 3}{3}} (\frac{25 - x^{2}}{| 25 - x^{2} |} (0 - (2 x))) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.11.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{- 2}{3}} (\frac{25 - x^{2}}{| 25 - x^{2} |} (0 - (2 x))) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{- \frac{2}{3}} (\frac{25 - x^{2}}{| 25 - x^{2} |} (0 - (2 x))) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.13

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{- \frac{2}{3}} (\frac{25 - x^{2}}{| 25 - x^{2} |} (0 - 2 x)) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.14

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{- \frac{2}{3}} (\frac{25 - x^{2}}{| 25 - x^{2} |} (- 2 x)) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.15

Associez $- 2$ et $\frac{25 - x^{2}}{| 25 - x^{2} |}$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{- \frac{2}{3}} (\frac{- 2 (25 - x^{2})}{| 25 - x^{2} |} x) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.16

Associez $\frac{- 2 (25 - x^{2})}{| 25 - x^{2} |}$ et $x$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{- \frac{2}{3}} \frac{- 2 (25 - x^{2}) x}{| 25 - x^{2} |} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{- \frac{2}{3}} (- \frac{(2 (25 - x^{2})) x}{| 25 - x^{2} |}) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.18

Associez $\frac{1}{3}$ et ${| 25 - x^{2} |}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{| 25 - x^{2} |}^{- \frac{2}{3}}}{3} (- \frac{(2 (25 - x^{2})) x}{| 25 - x^{2} |}) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.19

Multipliez $\frac{{| 25 - x^{2} |}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ par $\frac{(2 (25 - x^{2})) x}{| 25 - x^{2} |}$ .

$- \frac{{| 25 - x^{2} |}^{- \frac{2}{3}} ((2 (25 - x^{2})) x)}{3 | 25 - x^{2} |} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.20

Placez ${| 25 - x^{2} |}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{(2 (25 - x^{2})) x}{3 | 25 - x^{2} | {| 25 - x^{2} |}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.21

Multipliez $| 25 - x^{2} |$ par ${| 25 - x^{2} |}^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.21.1

Déplacez ${| 25 - x^{2} |}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{(2 (25 - x^{2})) x}{3 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{2}{3}} | 25 - x^{2} |)} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.21.2

Multipliez ${| 25 - x^{2} |}^{\frac{2}{3}}$ par $| 25 - x^{2} |$ .

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Étape 1.2.21.2.1

Élevez $| 25 - x^{2} |$ à la puissance $1$ .

$- \frac{(2 (25 - x^{2})) x}{3 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{2}{3}} {| 25 - x^{2} |}^{1})} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.21.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{(2 (25 - x^{2})) x}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{2}{3} + 1}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.21.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{(2 (25 - x^{2})) x}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.21.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{(2 (25 - x^{2})) x}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{2 + 3}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.2.21.5

Additionnez $2$ et $3$ .

$- \frac{(2 (25 - x^{2})) x}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{(2 (25 - x^{2})) x}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{(2 \cdot 25 + 2 (- x^{2})) x}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Étape 1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 \cdot 25 x + 2 (- x^{2}) x}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Étape 1.4.3

Associez des termes.

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Étape 1.4.3.1

Multipliez $2$ par $25$ .

$- \frac{50 x + 2 (- x^{2}) x}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Étape 1.4.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{50 x - 2 x^{2} x}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Étape 1.4.3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{50 x - 2 (x^{1} x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Étape 1.4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{50 x - 2 x^{1 + 2}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Étape 1.4.3.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{50 x - 2 x^{3}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Étape 1.4.3.6

Additionnez $- \frac{50 x - 2 x^{3}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$ et $0$ .

$- \frac{50 x - 2 x^{3}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 1.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.4.1

Factorisez $2 x$ à partir de $50 x - 2 x^{3}$ .

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Étape 1.4.4.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $50 x$ .

$- \frac{2 x (25) - 2 x^{3}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 1.4.4.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$- \frac{2 x (25) + 2 x (- x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 1.4.4.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (25) + 2 x (- x^{2})$ .

$- \frac{2 x (25 - x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 1.4.4.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$- \frac{2 x (5^{2} - x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 1.4.4.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5$ et $b = x$ .

$- \frac{2 x (5 + x) (5 - x)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- \frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2 x (5 + x) (5 - x)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{(x (5 + x)) (5 - x)}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{(x (5 + x)) (5 - x)}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x (5 + x) (5 - x)$ et $g (x) = {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} \frac{d}{d x} (x (5 + x) (5 - x)) - x (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}{{({| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}})}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${({| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} \frac{d}{d x} (x (5 + x) (5 - x)) - x (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3} \cdot 2}}$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{5}{3} \cdot 2$ .

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Étape 2.3.2.1

Associez $\frac{5}{3}$ et $2$ .

Étape 2.3.2.2

Multipliez $5$ par $2$ .

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x (5 + x)$ et $g (x) = 5 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (x (5 + x) \frac{d}{d x} (5 - x) + (5 - x) \frac{d}{d x} (x (5 + x))) - x (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (x (5 + x) (\frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- x)) + (5 - x) \frac{d}{d x} (x (5 + x))) - x (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.5.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (x (5 + x) (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + (5 - x) \frac{d}{d x} (x (5 + x))) - x (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.5.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (x (5 + x) \frac{d}{d x} (- x) + (5 - x) \frac{d}{d x} (x (5 + x))) - x (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.5.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (x (5 + x) (- \frac{d}{d x} x) + (5 - x) \frac{d}{d x} (x (5 + x))) - x (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (x (5 + x) (- 1 \cdot 1) + (5 - x) \frac{d}{d x} (x (5 + x))) - x (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (x (5 + x) \cdot - 1 + (5 - x) \frac{d}{d x} (x (5 + x))) - x (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.5.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x (5 + x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- 1 \cdot (x (5 + x)) + (5 - x) \frac{d}{d x} (x (5 + x))) - x (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.5.6.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) \frac{d}{d x} (x (5 + x))) - x (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 5 + x$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (x \frac{d}{d x} (5 + x) + (5 + x) \frac{d}{d x} (x))) - x (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.7

Différenciez.

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Étape 2.7.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (x (\frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (x)) + (5 + x) \frac{d}{d x} (x))) - x (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.7.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (x (0 + \frac{d}{d x} (x)) + (5 + x) \frac{d}{d x} (x))) - x (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.7.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (x \frac{d}{d x} (x) + (5 + x) \frac{d}{d x} (x))) - x (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.7.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (x \cdot 1 + (5 + x) \frac{d}{d x} (x))) - x (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.7.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (x + (5 + x) \frac{d}{d x} (x))) - x (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.7.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (x + (5 + x) \cdot 1)) - x (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.7.7

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.7.7.1

Multipliez $5 + x$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (x + 5 + x)) - x (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.7.7.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) - x (5 + x) (5 - x) \frac{d}{d x} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{5}{3}}$ et $g (x) = | 25 - x^{2} |$ .

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Étape 2.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $| 25 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) - x (5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{5}{3}}) \frac{d}{d x} (| 25 - x^{2} |))}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) - x (5 + x) (5 - x) (\frac{5}{3} {u_{1}}^{\frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} (| 25 - x^{2} |))}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $| 25 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) - x (5 + x) (5 - x) (\frac{5}{3} \cdot {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} (| 25 - x^{2} |))}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.9

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) - x (5 + x) (5 - x) (\frac{5}{3} \cdot {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (| 25 - x^{2} |))}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.10

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) - x (5 + x) (5 - x) (\frac{5}{3} \cdot {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (| 25 - x^{2} |))}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) - x (5 + x) (5 - x) (\frac{5}{3} \cdot {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (| 25 - x^{2} |))}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.12.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) - x (5 + x) (5 - x) (\frac{5}{3} \cdot {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (| 25 - x^{2} |))}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.12.2

Soustrayez $3$ de $5$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) - x (5 + x) (5 - x) (\frac{5}{3} \cdot {| 25 - x^{2} |}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (| 25 - x^{2} |))}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.13

Associez les fractions.

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Étape 2.13.1

Associez $\frac{5}{3}$ et ${| 25 - x^{2} |}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) - x (5 + x) (5 - x) (\frac{5 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (| 25 - x^{2} |))}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.13.2

Associez $\frac{5 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{2}{3}}}{3}$ et $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) - \frac{5 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{2}{3}} x}{3} \cdot ((5 + x) (5 - x)) \frac{d}{d x} | 25 - x^{2} |}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.14

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = 25 - x^{2}$ .

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Étape 2.14.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $25 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) - \frac{5 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{2}{3}} x}{3} \cdot ((5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d u (2)} (| u_{2} |) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})))}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.14.2

La dérivée de $| u_{2} |$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) - \frac{5 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{2}{3}} x}{3} \cdot ((5 + x) (5 - x) (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (25 - x^{2})))}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.14.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $25 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) - \frac{5 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{2}{3}} x}{3} \cdot ((5 + x) (5 - x) (\frac{25 - x^{2}}{| 25 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (25 - x^{2})))}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.15

Associez les fractions.

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Étape 2.15.1

Multipliez $\frac{25 - x^{2}}{| 25 - x^{2} |}$ par $\frac{5 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{2}{3}} x}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) - \frac{(25 - x^{2}) (5 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{2}{3}} x)}{| 25 - x^{2} | \cdot 3} \cdot ((5 + x) (5 - x)) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.15.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.15.2.1

Déplacez $5$ à gauche de $25 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) - \frac{5 \cdot ((25 - x^{2}) {| 25 - x^{2} |}^{\frac{2}{3}} x)}{| 25 - x^{2} | \cdot 3} \cdot ((5 + x) (5 - x)) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.15.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $| 25 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) - \frac{5 (25 - x^{2}) {| 25 - x^{2} |}^{\frac{2}{3}} x}{3 \cdot | 25 - x^{2} |} \cdot ((5 + x) (5 - x)) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.15.2.3

Placez ${| 25 - x^{2} |}^{\frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) - \frac{5 (25 - x^{2}) x}{3 | 25 - x^{2} | {| 25 - x^{2} |}^{- \frac{2}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.16

Multipliez $| 25 - x^{2} |$ par ${| 25 - x^{2} |}^{- \frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.16.1

Déplacez ${| 25 - x^{2} |}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) - \frac{5 (25 - x^{2}) x}{3 ({| 25 - x^{2} |}^{- \frac{2}{3}} | 25 - x^{2} |)} \cdot ((5 + x) (5 - x)) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.16.2

Multipliez ${| 25 - x^{2} |}^{- \frac{2}{3}}$ par $| 25 - x^{2} |$ .

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Étape 2.16.2.1

Élevez $| 25 - x^{2} |$ à la puissance $1$ .

Étape 2.16.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) - \frac{5 (25 - x^{2}) x}{3 {| 25 - x^{2} |}^{- \frac{2}{3} + 1}} \cdot ((5 + x) (5 - x)) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.16.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) - \frac{5 (25 - x^{2}) x}{3 {| 25 - x^{2} |}^{- \frac{2}{3} + \frac{3}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.16.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) - \frac{5 (25 - x^{2}) x}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{- 2 + 3}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.16.5

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) - \frac{5 (25 - x^{2}) x}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.17

Selon la règle de la somme, la dérivée de $25 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) - \frac{5 (25 - x^{2}) x}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x) (\frac{d}{d x} (25) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.18

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) - \frac{5 (25 - x^{2}) x}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.19

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Étape 2.20

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) - \frac{5 (25 - x^{2}) x}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x) (- \frac{d}{d x} x^{2}))}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.21

Multipliez.

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Étape 2.21.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) + 1 (\frac{5 (25 - x^{2}) x}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}) \cdot ((5 + x) (5 - x)) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.21.2

Multipliez $\frac{5 (25 - x^{2}) x}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) + \frac{5 (25 - x^{2}) x}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.22

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) + \frac{5 (25 - x^{2}) x}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x) (2 x))}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.23

Associez les fractions.

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Étape 2.23.1

Associez $2$ et $\frac{5 (25 - x^{2}) x}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) + \frac{2 (5 (25 - x^{2}) x)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x) x)}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.23.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) + \frac{10 ((25 - x^{2}) x)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x) x)}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.23.3

Associez $x$ et $\frac{10 ((25 - x^{2}) x)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) + \frac{x (10 ((25 - x^{2}) x))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x))}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.24

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) + \frac{x \cdot x (10 (25 - x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x))}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.25

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 2.26

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) + \frac{x^{1 + 1} (10 (25 - x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x))}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.27

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) + \frac{x^{2} (10 (25 - x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x))}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.28

Multipliez $\frac{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) + \frac{x^{2} (10 (25 - x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} (5 + x) (5 - x)}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$ par $\frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{({| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) + \frac{x^{2} (10 (25 - x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x))) \cdot 2}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}} \cdot 3}$

Étape 2.29

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.29.1

Déplacez $2$ à gauche de ${| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) + \frac{x^{2} (10 (25 - x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} (5 + x) (5 - x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) + \frac{x^{2} (10 (25 - x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{{| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}} \cdot 3}$

Étape 2.29.2

Déplacez $3$ à gauche de ${| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x (5 + x) + (5 - x) (2 x + 5)) + \frac{x^{2} (10 (25 - x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 \cdot {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30

Simplifiez

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Étape 2.30.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x \cdot 5 - x \cdot x + (5 - x) (2 x + 5)) + \frac{x^{2} (10 (25 - x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x \cdot 5 - x \cdot x + (5 - x) (2 x + 5)) + \frac{x^{2} (10 \cdot 25 + 10 (- x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x \cdot 5 - x \cdot x + (5 - x) (2 x + 5)) + \frac{x^{2} (10 \cdot 25) + x^{2} (10 (- x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x \cdot 5 - x \cdot x + (5 - x) (2 x + 5))) + 2 (\frac{x^{2} (10 \cdot 25) + x^{2} (10 (- x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.30.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.30.5.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.30.5.1.1.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- 5 x - x \cdot x + (5 - x) (2 x + 5))) + 2 (\frac{x^{2} (10 \cdot 25) + x^{2} (10 (- x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.30.5.1.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- 5 x - (x \cdot x) + (5 - x) (2 x + 5))) + 2 (\frac{x^{2} (10 \cdot 25) + x^{2} (10 (- x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- 5 x - x^{2} + (5 - x) (2 x + 5))) + 2 (\frac{x^{2} (10 \cdot 25) + x^{2} (10 (- x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.1.3

Développez $(5 - x) (2 x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.30.5.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- 5 x - x^{2} + 5 (2 x + 5) - x (2 x + 5))) + 2 (\frac{x^{2} (10 \cdot 25) + x^{2} (10 (- x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- 5 x - x^{2} + 5 (2 x) + 5 \cdot 5 - x (2 x + 5))) + 2 (\frac{x^{2} (10 \cdot 25) + x^{2} (10 (- x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- 5 x - x^{2} + 5 (2 x) + 5 \cdot 5 - x (2 x) - x \cdot 5)) + 2 (\frac{x^{2} (10 \cdot 25) + x^{2} (10 (- x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.30.5.1.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.30.5.1.1.4.1.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- 5 x - x^{2} + 10 x + 5 \cdot 5 - x (2 x) - x \cdot 5)) + 2 (\frac{x^{2} (10 \cdot 25) + x^{2} (10 (- x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.1.4.1.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- 5 x - x^{2} + 10 x + 25 - x (2 x) - x \cdot 5)) + 2 (\frac{x^{2} (10 \cdot 25) + x^{2} (10 (- x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.1.4.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{2 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- 5 x - x^{2} + 10 x + 25 - 1 \cdot (2 x \cdot x) - x \cdot 5)) + 2 (\frac{x^{2} (10 \cdot 25) + x^{2} (10 (- x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.1.4.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.30.5.1.1.4.1.4.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- 5 x - x^{2} + 10 x + 25 - 1 \cdot (2 (x \cdot x)) - x \cdot 5)) + 2 (\frac{x^{2} (10 \cdot 25) + x^{2} (10 (- x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.1.4.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- 5 x - x^{2} + 10 x + 25 - 1 \cdot (2 x^{2}) - x \cdot 5)) + 2 (\frac{x^{2} (10 \cdot 25) + x^{2} (10 (- x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.1.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- 5 x - x^{2} + 10 x + 25 - 2 x^{2} - x \cdot 5)) + 2 (\frac{x^{2} (10 \cdot 25) + x^{2} (10 (- x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.1.4.1.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- 5 x - x^{2} + 10 x + 25 - 2 x^{2} - 5 x)) + 2 (\frac{x^{2} (10 \cdot 25) + x^{2} (10 (- x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.1.4.2

Soustrayez $5 x$ de $10 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- 5 x - x^{2} + 5 x + 25 - 2 x^{2})) + 2 (\frac{x^{2} (10 \cdot 25) + x^{2} (10 (- x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.2

Associez les termes opposés dans $- 5 x - x^{2} + 5 x + 25 - 2 x^{2}$ .

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Étape 2.30.5.1.2.1

Additionnez $- 5 x$ et $5 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x^{2} + 0 + 25 - 2 x^{2})) + 2 (\frac{x^{2} (10 \cdot 25) + x^{2} (10 (- x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.2.2

Additionnez $- x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- x^{2} + 25 - 2 x^{2})) + 2 (\frac{x^{2} (10 \cdot 25) + x^{2} (10 (- x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.3

Soustrayez $2 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- 3 x^{2} + 25)) + 2 (\frac{x^{2} (10 \cdot 25) + x^{2} (10 (- x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (- 3 x^{2}) + {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} \cdot 25) + 2 (\frac{x^{2} (10 \cdot 25) + x^{2} (10 (- x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2} + {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} \cdot 25) + 2 (\frac{x^{2} (10 \cdot 25) + x^{2} (10 (- x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.6

Déplacez $25$ à gauche de ${| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2} + 25 \cdot {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}) + 2 (\frac{x^{2} (10 \cdot 25) + x^{2} (10 (- x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2}) + 2 (25 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}) + 2 (\frac{x^{2} (10 \cdot 25) + x^{2} (10 (- x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.8

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2}) + 2 (25 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}) + 2 (\frac{x^{2} (10 \cdot 25) + x^{2} (10 (- x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.9

Multipliez $25$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2}) + 50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{x^{2} (10 \cdot 25) + x^{2} (10 (- x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.30.5.1.10.1

Multipliez $10$ par $25$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2} + 50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{x^{2} \cdot 250 + x^{2} (10 (- x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.10.2

Déplacez $250$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2} + 50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{250 \cdot x^{2} + x^{2} (10 (- x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.10.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{- 6 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2} + 50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{250 x^{2} + 10 \cdot (- 1 x^{2} x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.10.4

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.30.5.1.10.4.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2} + 50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{250 x^{2} + 10 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.10.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{- 6 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2} + 50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{250 x^{2} + 10 \cdot (- 1 x^{2 + 2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.10.4.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2} + 50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{250 x^{2} + 10 \cdot (- 1 x^{4})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.10.5

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2} + 50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{250 x^{2} - 10 x^{4}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.10.6

Réécrivez $250 x^{2} - 10 x^{4}$ en forme factorisée.

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Étape 2.30.5.1.10.6.1

Factorisez $10 x^{2}$ à partir de $250 x^{2} - 10 x^{4}$ .

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Étape 2.30.5.1.10.6.1.1

Factorisez $10 x^{2}$ à partir de $250 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2} + 50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{10 x^{2} (25) - 10 x^{4}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.10.6.1.2

Factorisez $10 x^{2}$ à partir de $- 10 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2} + 50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{10 x^{2} (25) + 10 x^{2} (- x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.10.6.1.3

Factorisez $10 x^{2}$ à partir de $10 x^{2} (25) + 10 x^{2} (- x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2} + 50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{10 x^{2} (25 - x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.10.6.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2} + 50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{10 x^{2} (5^{2} - x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.10.6.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5$ et $b = x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2} + 50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{10 x^{2} (5 + x) (5 - x)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((5 + x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.11

Multipliez $\frac{10 x^{2} (5 + x) (5 - x)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}$ par $5 + x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2} + 50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{10 x^{2} (5 + x) (5 - x) (5 + x)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot (5 - x))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.30.5.1.12.1

Élevez $5 + x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2} + 50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{10 x^{2} ((5 + x) (5 + x)) (5 - x)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot (5 - x))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.12.2

Élevez $5 + x$ à la puissance $1$ .

Étape 2.30.5.1.12.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{- 6 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2} + 50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{10 x^{2} {(5 + x)}^{1 + 1} (5 - x)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot (5 - x))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.12.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2} + 50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{10 x^{2} {(5 + x)}^{2} (5 - x)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot (5 - x))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.13

Multipliez $\frac{10 x^{2} {(5 + x)}^{2} (5 - x)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}$ par $5 - x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2} + 50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{10 x^{2} {(5 + x)}^{2} (5 - x) (5 - x)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.30.5.1.14.1

Élevez $5 - x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2} + 50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{10 x^{2} {(5 + x)}^{2} ((5 - x) (5 - x))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.14.2

Élevez $5 - x$ à la puissance $1$ .

Étape 2.30.5.1.14.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{- 6 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2} + 50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{10 x^{2} {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{1 + 1}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.14.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2} + 50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{10 x^{2} {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.15

Multipliez $2 \frac{10 x^{2} {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}$ .

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Étape 2.30.5.1.15.1

Associez $2$ et $\frac{10 x^{2} {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2} + 50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 (10 x^{2} {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.1.15.2

Multipliez $10$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2} + 50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{20 (x^{2} {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

$f'' (x) = - \frac{- 6 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2} + 50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{20 x^{2} {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.2

Pour écrire $- 6 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} - 6 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2} \cdot \frac{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} + \frac{20 x^{2} {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.3

Associez $- 6 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2}$ et $\frac{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{- 6 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2} (3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} + \frac{20 x^{2} {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{- 6 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2} (3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}) + 20 x^{2} {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.30.5.5.1

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $- 6 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2} (3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}) + 20 x^{2} {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2}$ .

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Étape 2.30.5.5.1.1

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $- 6 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} x^{2} (3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}})$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}})) + 20 x^{2} {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.1.2

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $20 x^{2} {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}})) + 2 x^{2} (10 {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.1.3

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $2 x^{2} (- 3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}})) + 2 x^{2} (10 {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}) + 10 {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.2

Associez les exposants.

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Étape 2.30.5.5.2.1

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 9 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}} + 10 {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.2.2

Multipliez ${| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}$ par ${| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.30.5.5.2.2.1

Déplacez ${| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 9 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}) + 10 {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 9 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3} + \frac{5}{3}} + 10 {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 9 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1 + 5}{3}} + 10 {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.2.2.4

Additionnez $1$ et $5$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 9 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{6}{3}} + 10 {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.2.2.5

Divisez $6$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 9 {| 25 - x^{2} |}^{2} + 10 {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.30.5.5.3.1

Retirez la valeur absolue dans ${| 25 - x^{2} |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 9 {(25 - x^{2})}^{2} + 10 {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.2

Réécrivez ${(25 - x^{2})}^{2}$ comme $(25 - x^{2}) (25 - x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 9 ((25 - x^{2}) (25 - x^{2})) + 10 {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.3

Développez $(25 - x^{2}) (25 - x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.5.5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 9 (25 (25 - x^{2}) - x^{2} (25 - x^{2})) + 10 {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 9 (25 \cdot 25 + 25 (- x^{2}) - x^{2} (25 - x^{2})) + 10 {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 9 (25 \cdot 25 + 25 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 25 - x^{2} (- x^{2})) + 10 {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.30.5.5.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.30.5.5.3.4.1.1

Multipliez $25$ par $25$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 9 (625 + 25 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 25 - x^{2} (- x^{2})) + 10 {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 9 (625 - 25 x^{2} - x^{2} \cdot 25 - x^{2} (- x^{2})) + 10 {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.4.1.3

Multipliez $25$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 9 (625 - 25 x^{2} - 25 x^{2} - x^{2} (- x^{2})) + 10 {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.4.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 9 (625 - 25 x^{2} - 25 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2})) + 10 {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.4.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.30.5.5.3.4.1.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 9 (625 - 25 x^{2} - 25 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2}))) + 10 {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.4.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 9 (625 - 25 x^{2} - 25 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2})) + 10 {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.4.1.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 9 (625 - 25 x^{2} - 25 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4})) + 10 {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.4.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 9 (625 - 25 x^{2} - 25 x^{2} + 1 x^{4}) + 10 {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.4.1.7

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 9 (625 - 25 x^{2} - 25 x^{2} + x^{4}) + 10 {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.4.2

Soustrayez $25 x^{2}$ de $- 25 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 9 (625 - 50 x^{2} + x^{4}) + 10 {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 9 \cdot 625 - 9 (- 50 x^{2}) - 9 x^{4} + 10 {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.6

Simplifiez

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Étape 2.30.5.5.3.6.1

Multipliez $- 9$ par $625$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 - 9 (- 50 x^{2}) - 9 x^{4} + 10 {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.6.2

Multipliez $- 50$ par $- 9$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 10 {(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.7

Réécrivez ${(5 + x)}^{2}$ comme $(5 + x) (5 + x)$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 10 ((5 + x) (5 + x)) {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.8

Développez $(5 + x) (5 + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.30.5.5.3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 10 (5 (5 + x) + x (5 + x)) {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 10 (5 \cdot 5 + 5 x + x (5 + x)) {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 10 (5 \cdot 5 + 5 x + x \cdot 5 + x \cdot x) {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.5.5.3.9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.5.5.3.9.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 10 (25 + 5 x + x \cdot 5 + x \cdot x) {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.9.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 10 (25 + 5 x + 5 \cdot x + x \cdot x) {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.9.1.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 10 (25 + 5 x + 5 x + x^{2}) {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.9.2

Additionnez $5 x$ et $5 x$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 10 (25 + 10 x + x^{2}) {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.10

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + (10 \cdot 25 + 10 (10 x) + 10 x^{2}) {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.11

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.5.5.3.11.1

Multipliez $10$ par $25$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + (250 + 10 (10 x) + 10 x^{2}) {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.11.2

Multipliez $10$ par $10$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + (250 + 100 x + 10 x^{2}) {(5 - x)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.12

Réécrivez ${(5 - x)}^{2}$ comme $(5 - x) (5 - x)$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + (250 + 100 x + 10 x^{2}) ((5 - x) (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.13

Développez $(5 - x) (5 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.30.5.5.3.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + (250 + 100 x + 10 x^{2}) (5 (5 - x) - x (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + (250 + 100 x + 10 x^{2}) (5 \cdot 5 + 5 (- x) - x (5 - x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.13.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + (250 + 100 x + 10 x^{2}) (5 \cdot 5 + 5 (- x) - x \cdot 5 - x (- x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.14

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.30.5.5.3.14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.30.5.5.3.14.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + (250 + 100 x + 10 x^{2}) (25 + 5 (- x) - x \cdot 5 - x (- x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.14.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + (250 + 100 x + 10 x^{2}) (25 - 5 x - x \cdot 5 - x (- x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.14.1.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + (250 + 100 x + 10 x^{2}) (25 - 5 x - 5 x - x (- x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.14.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + (250 + 100 x + 10 x^{2}) (25 - 5 x - 5 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.14.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.30.5.5.3.14.1.5.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + (250 + 100 x + 10 x^{2}) (25 - 5 x - 5 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.14.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + (250 + 100 x + 10 x^{2}) (25 - 5 x - 5 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.14.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + (250 + 100 x + 10 x^{2}) (25 - 5 x - 5 x + 1 x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.14.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + (250 + 100 x + 10 x^{2}) (25 - 5 x - 5 x + x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.14.2

Soustrayez $5 x$ de $- 5 x$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + (250 + 100 x + 10 x^{2}) (25 - 10 x + x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.15

Développez $(250 + 100 x + 10 x^{2}) (25 - 10 x + x^{2})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 250 \cdot 25 + 250 (- 10 x) + 250 x^{2} + 100 x \cdot 25 + 100 x (- 10 x) + 100 x \cdot x^{2} + 10 x^{2} \cdot 25 + 10 x^{2} (- 10 x) + 10 x^{2} x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.16

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.30.5.5.3.16.1

Multipliez $250$ par $25$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 6250 + 250 (- 10 x) + 250 x^{2} + 100 x \cdot 25 + 100 x (- 10 x) + 100 x \cdot x^{2} + 10 x^{2} \cdot 25 + 10 x^{2} (- 10 x) + 10 x^{2} x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.16.2

Multipliez $- 10$ par $250$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 6250 - 2500 x + 250 x^{2} + 100 x \cdot 25 + 100 x (- 10 x) + 100 x \cdot x^{2} + 10 x^{2} \cdot 25 + 10 x^{2} (- 10 x) + 10 x^{2} x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.16.3

Multipliez $25$ par $100$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 6250 - 2500 x + 250 x^{2} + 2500 x + 100 x (- 10 x) + 100 x \cdot x^{2} + 10 x^{2} \cdot 25 + 10 x^{2} (- 10 x) + 10 x^{2} x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.16.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 6250 - 2500 x + 250 x^{2} + 2500 x + 100 \cdot (- 10 x \cdot x) + 100 x \cdot x^{2} + 10 x^{2} \cdot 25 + 10 x^{2} (- 10 x) + 10 x^{2} x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.16.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.30.5.5.3.16.5.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 6250 - 2500 x + 250 x^{2} + 2500 x + 100 \cdot (- 10 (x \cdot x)) + 100 x \cdot x^{2} + 10 x^{2} \cdot 25 + 10 x^{2} (- 10 x) + 10 x^{2} x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.16.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 6250 - 2500 x + 250 x^{2} + 2500 x + 100 \cdot (- 10 x^{2}) + 100 x \cdot x^{2} + 10 x^{2} \cdot 25 + 10 x^{2} (- 10 x) + 10 x^{2} x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.16.6

Multipliez $100$ par $- 10$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 6250 - 2500 x + 250 x^{2} + 2500 x - 1000 x^{2} + 100 x \cdot x^{2} + 10 x^{2} \cdot 25 + 10 x^{2} (- 10 x) + 10 x^{2} x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.16.7

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.5.5.3.16.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 6250 - 2500 x + 250 x^{2} + 2500 x - 1000 x^{2} + 100 (x^{2} x) + 10 x^{2} \cdot 25 + 10 x^{2} (- 10 x) + 10 x^{2} x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.16.7.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.5.5.3.16.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 2.30.5.5.3.16.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 6250 - 2500 x + 250 x^{2} + 2500 x - 1000 x^{2} + 100 x^{2 + 1} + 10 x^{2} \cdot 25 + 10 x^{2} (- 10 x) + 10 x^{2} x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.16.7.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 6250 - 2500 x + 250 x^{2} + 2500 x - 1000 x^{2} + 100 x^{3} + 10 x^{2} \cdot 25 + 10 x^{2} (- 10 x) + 10 x^{2} x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.16.8

Multipliez $25$ par $10$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 6250 - 2500 x + 250 x^{2} + 2500 x - 1000 x^{2} + 100 x^{3} + 250 x^{2} + 10 x^{2} (- 10 x) + 10 x^{2} x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.16.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 6250 - 2500 x + 250 x^{2} + 2500 x - 1000 x^{2} + 100 x^{3} + 250 x^{2} + 10 \cdot (- 10 x^{2} x) + 10 x^{2} x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.16.10

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.30.5.5.3.16.10.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 6250 - 2500 x + 250 x^{2} + 2500 x - 1000 x^{2} + 100 x^{3} + 250 x^{2} + 10 \cdot (- 10 (x \cdot x^{2})) + 10 x^{2} x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.16.10.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.5.5.3.16.10.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 2.30.5.5.3.16.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 6250 - 2500 x + 250 x^{2} + 2500 x - 1000 x^{2} + 100 x^{3} + 250 x^{2} + 10 \cdot (- 10 x^{1 + 2}) + 10 x^{2} x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.16.10.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 6250 - 2500 x + 250 x^{2} + 2500 x - 1000 x^{2} + 100 x^{3} + 250 x^{2} + 10 \cdot (- 10 x^{3}) + 10 x^{2} x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.16.11

Multipliez $10$ par $- 10$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 6250 - 2500 x + 250 x^{2} + 2500 x - 1000 x^{2} + 100 x^{3} + 250 x^{2} - 100 x^{3} + 10 x^{2} x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.16.12

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.30.5.5.3.16.12.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 6250 - 2500 x + 250 x^{2} + 2500 x - 1000 x^{2} + 100 x^{3} + 250 x^{2} - 100 x^{3} + 10 (x^{2} x^{2}))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.16.12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 6250 - 2500 x + 250 x^{2} + 2500 x - 1000 x^{2} + 100 x^{3} + 250 x^{2} - 100 x^{3} + 10 x^{2 + 2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.16.12.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 6250 - 2500 x + 250 x^{2} + 2500 x - 1000 x^{2} + 100 x^{3} + 250 x^{2} - 100 x^{3} + 10 x^{4})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.17

Associez les termes opposés dans $6250 - 2500 x + 250 x^{2} + 2500 x - 1000 x^{2} + 100 x^{3} + 250 x^{2} - 100 x^{3} + 10 x^{4}$ .

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Étape 2.30.5.5.3.17.1

Additionnez $- 2500 x$ et $2500 x$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 6250 + 250 x^{2} + 0 - 1000 x^{2} + 100 x^{3} + 250 x^{2} - 100 x^{3} + 10 x^{4})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.17.2

Additionnez $6250 + 250 x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 6250 + 250 x^{2} - 1000 x^{2} + 100 x^{3} + 250 x^{2} - 100 x^{3} + 10 x^{4})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.17.3

Soustrayez $100 x^{3}$ de $100 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 6250 + 250 x^{2} - 1000 x^{2} + 250 x^{2} + 0 + 10 x^{4})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.17.4

Additionnez $6250 + 250 x^{2} - 1000 x^{2} + 250 x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 6250 + 250 x^{2} - 1000 x^{2} + 250 x^{2} + 10 x^{4})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.18

Soustrayez $1000 x^{2}$ de $250 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 6250 - 750 x^{2} + 250 x^{2} + 10 x^{4})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.3.19

Additionnez $- 750 x^{2}$ et $250 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 5625 + 450 x^{2} - 9 x^{4} + 6250 - 500 x^{2} + 10 x^{4})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.4

Additionnez $- 5625$ et $6250$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (450 x^{2} - 9 x^{4} + 625 - 500 x^{2} + 10 x^{4})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.5

Soustrayez $500 x^{2}$ de $450 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 50 x^{2} - 9 x^{4} + 625 + 10 x^{4})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.6

Additionnez $- 9 x^{4}$ et $10 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (- 50 x^{2} + x^{4} + 625)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.7

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.30.5.5.7.1

Réorganisez les termes.

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} (x^{4} - 50 x^{2} + 625)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.7.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 50 x^{2} + 625)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.7.3

Réécrivez $625$ comme $25^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 50 x^{2} + 25^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.7.4

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$50 x^{2} = 2 \cdot x^{2} \cdot 25$

Étape 2.30.5.5.7.5

Réécrivez le polynôme.

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 2 \cdot x^{2} \cdot 25 + 25^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.7.6

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x^{2}$ et $b = 25$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} {(x^{2} - 25)}^{2}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.8

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} {(x^{2} - 5^{2})}^{2}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.9

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} {((x + 5) (x - 5))}^{2}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.5.10

Appliquez la règle de produit à $(x + 5) (x - 5)$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.6

Pour écrire $50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} \cdot \frac{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.7

Associez $50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}$ et $\frac{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{\frac{50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}) + 2 x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.30.5.9.1

Factorisez $2$ à partir de $50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}) + 2 x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}$ .

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Étape 2.30.5.9.1.1

Factorisez $2$ à partir de $50 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (25 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}})) + 2 x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (25 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}})) + 2 (x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (25 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}})) + 2 (x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (25 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} (3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}) + x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (25 \cdot (3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}) + x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.3

Multipliez ${| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}$ par ${| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.30.5.9.3.1

Déplacez ${| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (25 \cdot (3 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}})) + x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (25 \cdot (3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3} + \frac{5}{3}}) + x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (25 \cdot (3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1 + 5}{3}}) + x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.3.4

Additionnez $1$ et $5$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (25 \cdot (3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{6}{3}}) + x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.3.5

Divisez $6$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (25 \cdot (3 {| 25 - x^{2} |}^{2}) + x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.4

Multipliez $25$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (75 {| 25 - x^{2} |}^{2} + x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.5

Retirez la valeur absolue dans ${| 25 - x^{2} |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (75 {(25 - x^{2})}^{2} + x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.6

Réécrivez ${(25 - x^{2})}^{2}$ comme $(25 - x^{2}) (25 - x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (75 ((25 - x^{2}) (25 - x^{2})) + x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.7

Développez $(25 - x^{2}) (25 - x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.30.5.9.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (75 (25 (25 - x^{2}) - x^{2} (25 - x^{2})) + x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (75 (25 \cdot 25 + 25 (- x^{2}) - x^{2} (25 - x^{2})) + x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (75 (25 \cdot 25 + 25 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 25 - x^{2} (- x^{2})) + x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.30.5.9.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.30.5.9.8.1.1

Multipliez $25$ par $25$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (75 (625 + 25 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 25 - x^{2} (- x^{2})) + x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.8.1.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (75 (625 - 25 x^{2} - x^{2} \cdot 25 - x^{2} (- x^{2})) + x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.8.1.3

Multipliez $25$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (75 (625 - 25 x^{2} - 25 x^{2} - x^{2} (- x^{2})) + x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.8.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (75 (625 - 25 x^{2} - 25 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2})) + x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.8.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.30.5.9.8.1.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (75 (625 - 25 x^{2} - 25 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2}))) + x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.8.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (75 (625 - 25 x^{2} - 25 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2})) + x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.8.1.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (75 (625 - 25 x^{2} - 25 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4})) + x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.8.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (75 (625 - 25 x^{2} - 25 x^{2} + 1 x^{4}) + x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.8.1.7

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (75 (625 - 25 x^{2} - 25 x^{2} + x^{4}) + x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.8.2

Soustrayez $25 x^{2}$ de $- 25 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (75 (625 - 50 x^{2} + x^{4}) + x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.9

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (75 \cdot 625 + 75 (- 50 x^{2}) + 75 x^{4} + x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.5.9.10.1

Multipliez $75$ par $625$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 + 75 (- 50 x^{2}) + 75 x^{4} + x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.10.2

Multipliez $- 50$ par $75$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{2} {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.11

Réécrivez ${(x + 5)}^{2}$ comme $(x + 5) (x + 5)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{2} ((x + 5) (x + 5)) {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.12

Développez $(x + 5) (x + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.5.9.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{2} (x (x + 5) + 5 (x + 5)) {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{2} (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{2} (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.5.9.13.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.5.9.13.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{2} (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.13.1.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{2} (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.13.1.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{2} (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.13.2

Additionnez $5 x$ et $5 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{2} (x^{2} + 10 x + 25) {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.14

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + (x^{2} x^{2} + x^{2} (10 x) + x^{2} \cdot 25) {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.15

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.5.9.15.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.5.9.15.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + (x^{2 + 2} + x^{2} (10 x) + x^{2} \cdot 25) {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.15.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + (x^{4} + x^{2} (10 x) + x^{2} \cdot 25) {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.15.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + (x^{4} + 10 x^{2} x + x^{2} \cdot 25) {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.15.3

Déplacez $25$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + (x^{4} + 10 x^{2} x + 25 \cdot x^{2}) {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.16

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.5.9.16.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + (x^{4} + 10 (x \cdot x^{2}) + 25 \cdot x^{2}) {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.16.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.5.9.16.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + (x^{4} + 10 (x \cdot x^{2}) + 25 \cdot x^{2}) {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.16.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + (x^{4} + 10 x^{1 + 2} + 25 \cdot x^{2}) {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.16.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + (x^{4} + 10 x^{3} + 25 \cdot x^{2}) {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + (x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2}) {(x - 5)}^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.17

Réécrivez ${(x - 5)}^{2}$ comme $(x - 5) (x - 5)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + (x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2}) ((x - 5) (x - 5)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.18

Développez $(x - 5) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.5.9.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + (x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2}) (x (x - 5) - 5 (x - 5)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.18.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + (x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2}) (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.18.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + (x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2}) (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.19

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.5.9.19.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.5.9.19.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + (x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2}) (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.19.1.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + (x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2}) (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.19.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + (x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2}) (x^{2} - 5 x - 5 x + 25))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.19.2

Soustrayez $5 x$ de $- 5 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + (x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2}) (x^{2} - 10 x + 25))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.20

Développez $(x^{4} + 10 x^{3} + 25 x^{2}) (x^{2} - 10 x + 25)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{4} x^{2} + x^{4} (- 10 x) + x^{4} \cdot 25 + 10 x^{3} x^{2} + 10 x^{3} (- 10 x) + 10 x^{3} \cdot 25 + 25 x^{2} x^{2} + 25 x^{2} (- 10 x) + 25 x^{2} \cdot 25)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.21

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.5.9.21.1

Multipliez $x^{4}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.5.9.21.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{4 + 2} + x^{4} (- 10 x) + x^{4} \cdot 25 + 10 x^{3} x^{2} + 10 x^{3} (- 10 x) + 10 x^{3} \cdot 25 + 25 x^{2} x^{2} + 25 x^{2} (- 10 x) + 25 x^{2} \cdot 25)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.21.1.2

Additionnez $4$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{6} + x^{4} (- 10 x) + x^{4} \cdot 25 + 10 x^{3} x^{2} + 10 x^{3} (- 10 x) + 10 x^{3} \cdot 25 + 25 x^{2} x^{2} + 25 x^{2} (- 10 x) + 25 x^{2} \cdot 25)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.21.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{6} - 10 x^{4} x + x^{4} \cdot 25 + 10 x^{3} x^{2} + 10 x^{3} (- 10 x) + 10 x^{3} \cdot 25 + 25 x^{2} x^{2} + 25 x^{2} (- 10 x) + 25 x^{2} \cdot 25)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.21.3

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.5.9.21.3.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{6} - 10 (x \cdot x^{4}) + x^{4} \cdot 25 + 10 x^{3} x^{2} + 10 x^{3} (- 10 x) + 10 x^{3} \cdot 25 + 25 x^{2} x^{2} + 25 x^{2} (- 10 x) + 25 x^{2} \cdot 25)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.21.3.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.5.9.21.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 2.30.5.9.21.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{6} - 10 x^{1 + 4} + x^{4} \cdot 25 + 10 x^{3} x^{2} + 10 x^{3} (- 10 x) + 10 x^{3} \cdot 25 + 25 x^{2} x^{2} + 25 x^{2} (- 10 x) + 25 x^{2} \cdot 25)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.21.3.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{6} - 10 x^{5} + x^{4} \cdot 25 + 10 x^{3} x^{2} + 10 x^{3} (- 10 x) + 10 x^{3} \cdot 25 + 25 x^{2} x^{2} + 25 x^{2} (- 10 x) + 25 x^{2} \cdot 25)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.21.4

Déplacez $25$ à gauche de $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{6} - 10 x^{5} + 25 \cdot x^{4} + 10 x^{3} x^{2} + 10 x^{3} (- 10 x) + 10 x^{3} \cdot 25 + 25 x^{2} x^{2} + 25 x^{2} (- 10 x) + 25 x^{2} \cdot 25)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.21.5

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.5.9.21.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{6} - 10 x^{5} + 25 x^{4} + 10 (x^{2} x^{3}) + 10 x^{3} (- 10 x) + 10 x^{3} \cdot 25 + 25 x^{2} x^{2} + 25 x^{2} (- 10 x) + 25 x^{2} \cdot 25)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.21.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{6} - 10 x^{5} + 25 x^{4} + 10 x^{2 + 3} + 10 x^{3} (- 10 x) + 10 x^{3} \cdot 25 + 25 x^{2} x^{2} + 25 x^{2} (- 10 x) + 25 x^{2} \cdot 25)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.21.5.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{6} - 10 x^{5} + 25 x^{4} + 10 x^{5} + 10 x^{3} (- 10 x) + 10 x^{3} \cdot 25 + 25 x^{2} x^{2} + 25 x^{2} (- 10 x) + 25 x^{2} \cdot 25)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.21.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{6} - 10 x^{5} + 25 x^{4} + 10 x^{5} + 10 \cdot (- 10 x^{3} x) + 10 x^{3} \cdot 25 + 25 x^{2} x^{2} + 25 x^{2} (- 10 x) + 25 x^{2} \cdot 25)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.21.7

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.5.9.21.7.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{6} - 10 x^{5} + 25 x^{4} + 10 x^{5} + 10 \cdot (- 10 (x \cdot x^{3})) + 10 x^{3} \cdot 25 + 25 x^{2} x^{2} + 25 x^{2} (- 10 x) + 25 x^{2} \cdot 25)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.21.7.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.5.9.21.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 2.30.5.9.21.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{6} - 10 x^{5} + 25 x^{4} + 10 x^{5} + 10 \cdot (- 10 x^{1 + 3}) + 10 x^{3} \cdot 25 + 25 x^{2} x^{2} + 25 x^{2} (- 10 x) + 25 x^{2} \cdot 25)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.21.7.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{6} - 10 x^{5} + 25 x^{4} + 10 x^{5} + 10 \cdot (- 10 x^{4}) + 10 x^{3} \cdot 25 + 25 x^{2} x^{2} + 25 x^{2} (- 10 x) + 25 x^{2} \cdot 25)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.21.8

Multipliez $10$ par $- 10$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{6} - 10 x^{5} + 25 x^{4} + 10 x^{5} - 100 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 25 + 25 x^{2} x^{2} + 25 x^{2} (- 10 x) + 25 x^{2} \cdot 25)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.21.9

Multipliez $25$ par $10$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{6} - 10 x^{5} + 25 x^{4} + 10 x^{5} - 100 x^{4} + 250 x^{3} + 25 x^{2} x^{2} + 25 x^{2} (- 10 x) + 25 x^{2} \cdot 25)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.21.10

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.30.5.9.21.10.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{6} - 10 x^{5} + 25 x^{4} + 10 x^{5} - 100 x^{4} + 250 x^{3} + 25 (x^{2} x^{2}) + 25 x^{2} (- 10 x) + 25 x^{2} \cdot 25)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.21.10.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{6} - 10 x^{5} + 25 x^{4} + 10 x^{5} - 100 x^{4} + 250 x^{3} + 25 x^{2 + 2} + 25 x^{2} (- 10 x) + 25 x^{2} \cdot 25)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.21.10.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{6} - 10 x^{5} + 25 x^{4} + 10 x^{5} - 100 x^{4} + 250 x^{3} + 25 x^{4} + 25 x^{2} (- 10 x) + 25 x^{2} \cdot 25)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.21.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{6} - 10 x^{5} + 25 x^{4} + 10 x^{5} - 100 x^{4} + 250 x^{3} + 25 x^{4} + 25 \cdot (- 10 x^{2} x) + 25 x^{2} \cdot 25)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.21.12

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.30.5.9.21.12.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{6} - 10 x^{5} + 25 x^{4} + 10 x^{5} - 100 x^{4} + 250 x^{3} + 25 x^{4} + 25 \cdot (- 10 (x \cdot x^{2})) + 25 x^{2} \cdot 25)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.21.12.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.30.5.9.21.12.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 2.30.5.9.21.12.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{6} - 10 x^{5} + 25 x^{4} + 10 x^{5} - 100 x^{4} + 250 x^{3} + 25 x^{4} + 25 \cdot (- 10 x^{1 + 2}) + 25 x^{2} \cdot 25)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.21.12.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{6} - 10 x^{5} + 25 x^{4} + 10 x^{5} - 100 x^{4} + 250 x^{3} + 25 x^{4} + 25 \cdot (- 10 x^{3}) + 25 x^{2} \cdot 25)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.21.13

Multipliez $25$ par $- 10$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{6} - 10 x^{5} + 25 x^{4} + 10 x^{5} - 100 x^{4} + 250 x^{3} + 25 x^{4} - 250 x^{3} + 25 x^{2} \cdot 25)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.21.14

Multipliez $25$ par $25$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{6} - 10 x^{5} + 25 x^{4} + 10 x^{5} - 100 x^{4} + 250 x^{3} + 25 x^{4} - 250 x^{3} + 625 x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.22

Associez les termes opposés dans $x^{6} - 10 x^{5} + 25 x^{4} + 10 x^{5} - 100 x^{4} + 250 x^{3} + 25 x^{4} - 250 x^{3} + 625 x^{2}$ .

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Étape 2.30.5.9.22.1

Additionnez $- 10 x^{5}$ et $10 x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{6} + 25 x^{4} + 0 - 100 x^{4} + 250 x^{3} + 25 x^{4} - 250 x^{3} + 625 x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.22.2

Additionnez $x^{6} + 25 x^{4}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{6} + 25 x^{4} - 100 x^{4} + 250 x^{3} + 25 x^{4} - 250 x^{3} + 625 x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.22.3

Soustrayez $250 x^{3}$ de $250 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{6} + 25 x^{4} - 100 x^{4} + 25 x^{4} + 0 + 625 x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.22.4

Additionnez $x^{6} + 25 x^{4} - 100 x^{4} + 25 x^{4}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{6} + 25 x^{4} - 100 x^{4} + 25 x^{4} + 625 x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.23

Soustrayez $100 x^{4}$ de $25 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{6} - 75 x^{4} + 25 x^{4} + 625 x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.24

Additionnez $- 75 x^{4}$ et $25 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 - 3750 x^{2} + 75 x^{4} + x^{6} - 50 x^{4} + 625 x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.25

Additionnez $- 3750 x^{2}$ et $625 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 + 75 x^{4} + x^{6} - 50 x^{4} - 3125 x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.26

Soustrayez $50 x^{4}$ de $75 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (46875 + x^{6} + 25 x^{4} - 3125 x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.27

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (x^{6} + 25 x^{4} - 3125 x^{2} + 46875)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28

Réécrivez $x^{6} + 25 x^{4} - 3125 x^{2} + 46875$ en forme factorisée.

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Étape 2.30.5.9.28.1

Factorisez $x^{6} + 25 x^{4} - 3125 x^{2} + 46875$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.30.5.9.28.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 46875, \pm 3, \pm 15625, \pm 5, \pm 9375, \pm 15, \pm 3125, \pm 25, \pm 1875, \pm 75, \pm 625, \pm 125, \pm 375$

$q = \pm 1$

Étape 2.30.5.9.28.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 46875, \pm 3, \pm 15625, \pm 5, \pm 9375, \pm 15, \pm 3125, \pm 25, \pm 1875, \pm 75, \pm 625, \pm 125, \pm 375$

Étape 2.30.5.9.28.1.3

Remplacez $- 5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 5$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.30.5.9.28.1.3.1

Remplacez $- 5$ dans le polynôme.

${(- 5)}^{6} + 25 {(- 5)}^{4} - 3125 {(- 5)}^{2} + 46875$

Étape 2.30.5.9.28.1.3.2

Élevez $- 5$ à la puissance $6$ .

$15625 + 25 {(- 5)}^{4} - 3125 {(- 5)}^{2} + 46875$

Étape 2.30.5.9.28.1.3.3

Élevez $- 5$ à la puissance $4$ .

$15625 + 25 \cdot 625 - 3125 {(- 5)}^{2} + 46875$

Étape 2.30.5.9.28.1.3.4

Multipliez $25$ par $625$ .

$15625 + 15625 - 3125 {(- 5)}^{2} + 46875$

Étape 2.30.5.9.28.1.3.5

Additionnez $15625$ et $15625$ .

$31250 - 3125 {(- 5)}^{2} + 46875$

Étape 2.30.5.9.28.1.3.6

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$31250 - 3125 \cdot 25 + 46875$

Étape 2.30.5.9.28.1.3.7

Multipliez $- 3125$ par $25$ .

$31250 - 78125 + 46875$

Étape 2.30.5.9.28.1.3.8

Soustrayez $78125$ de $31250$ .

$- 46875 + 46875$

Étape 2.30.5.9.28.1.3.9

Additionnez $- 46875$ et $46875$ .

$0$

Étape 2.30.5.9.28.1.4

Comme $- 5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 5$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{6} + 25 x^{4} - 3125 x^{2} + 46875}{x + 5}$

Étape 2.30.5.9.28.1.5

Divisez $x^{6} + 25 x^{4} - 3125 x^{2} + 46875$ par $x + 5$ .

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Étape 2.30.5.9.28.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$25 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$0 x$

$46875$

Étape 2.30.5.9.28.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{6}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{5}$

$x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$25 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$0 x$

$46875$

Étape 2.30.5.9.28.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{5}$

$x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$25 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$0 x$

$46875$

$x^{6}$

$5 x^{5}$

Étape 2.30.5.9.28.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{6} + 5 x^{5}$

$x^{5}$

$x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$25 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$0 x$

$46875$

$x^{6}$

$5 x^{5}$

Étape 2.30.5.9.28.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{5}$

$x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$25 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$0 x$

$46875$

$x^{6}$

$5 x^{5}$

Étape 2.30.5.9.28.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{5}$

$x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$25 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$0 x$

$46875$

$x^{6}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

Étape 2.30.5.9.28.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 5 x^{5}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$25 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$0 x$

$46875$

$x^{6}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

Étape 2.30.5.9.28.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$25 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$0 x$

$46875$

$x^{6}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

Étape 2.30.5.9.28.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 5 x^{5} - 25 x^{4}$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$25 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$0 x$

$46875$

$x^{6}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

Étape 2.30.5.9.28.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$25 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$0 x$

$46875$

$x^{6}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$50 x^{4}$

Étape 2.30.5.9.28.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$25 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$0 x$

$46875$

$x^{6}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$50 x^{4}$

$0 x^{3}$

Étape 2.30.5.9.28.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $50 x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$50 x^{3}$

$x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$25 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$0 x$

$46875$

$x^{6}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$50 x^{4}$

$0 x^{3}$

Étape 2.30.5.9.28.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$50 x^{3}$

$x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$25 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$0 x$

$46875$

$x^{6}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$50 x^{4}$

$0 x^{3}$

$50 x^{4}$

$250 x^{3}$

Étape 2.30.5.9.28.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $50 x^{4} + 250 x^{3}$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$50 x^{3}$

$x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$25 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$0 x$

$46875$

$x^{6}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$50 x^{4}$

$0 x^{3}$

$50 x^{4}$

$250 x^{3}$

Étape 2.30.5.9.28.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$50 x^{3}$

$x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$25 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$0 x$

$46875$

$x^{6}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$50 x^{4}$

$0 x^{3}$

$50 x^{4}$

$250 x^{3}$

Étape 2.30.5.9.28.1.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$50 x^{3}$

$x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$25 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$0 x$

$46875$

$x^{6}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$50 x^{4}$

$0 x^{3}$

$50 x^{4}$

$250 x^{3}$

$3125 x^{2}$

Étape 2.30.5.9.28.1.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 250 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$50 x^{3}$

$250 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$25 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$0 x$

$46875$

$x^{6}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$50 x^{4}$

$0 x^{3}$

$50 x^{4}$

$250 x^{3}$

$3125 x^{2}$

Étape 2.30.5.9.28.1.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$50 x^{3}$

$250 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$25 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$0 x$

$46875$

$x^{6}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$50 x^{4}$

$0 x^{3}$

$50 x^{4}$

$250 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$250 x^{3}$

$1250 x^{2}$

Étape 2.30.5.9.28.1.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 250 x^{3} - 1250 x^{2}$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$50 x^{3}$

$250 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$25 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$0 x$

$46875$

$x^{6}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$50 x^{4}$

$0 x^{3}$

$50 x^{4}$

$250 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$250 x^{3}$

$1250 x^{2}$

Étape 2.30.5.9.28.1.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$50 x^{3}$

$250 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$25 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$0 x$

$46875$

$x^{6}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$50 x^{4}$

$0 x^{3}$

$50 x^{4}$

$250 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$250 x^{3}$

$1250 x^{2}$

$1875 x^{2}$

Étape 2.30.5.9.28.1.5.21

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$50 x^{3}$

$250 x^{2}$

$x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$25 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$0 x$

$46875$

$x^{6}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$50 x^{4}$

$0 x^{3}$

$50 x^{4}$

$250 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$250 x^{3}$

$1250 x^{2}$

$1875 x^{2}$

$0 x$

Étape 2.30.5.9.28.1.5.22

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 1875 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$50 x^{3}$

$250 x^{2}$

$1875 x$

$x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$25 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$0 x$

$46875$

$x^{6}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$50 x^{4}$

$0 x^{3}$

$50 x^{4}$

$250 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$250 x^{3}$

$1250 x^{2}$

$1875 x^{2}$

$0 x$

Étape 2.30.5.9.28.1.5.23

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$50 x^{3}$

$250 x^{2}$

$1875 x$

$x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$25 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$0 x$

$46875$

$x^{6}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$50 x^{4}$

$0 x^{3}$

$50 x^{4}$

$250 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$250 x^{3}$

$1250 x^{2}$

$1875 x^{2}$

$0 x$

$1875 x^{2}$

$9375 x$

Étape 2.30.5.9.28.1.5.24

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 1875 x^{2} - 9375 x$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$50 x^{3}$

$250 x^{2}$

$1875 x$

$x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$25 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$0 x$

$46875$

$x^{6}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$50 x^{4}$

$0 x^{3}$

$50 x^{4}$

$250 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$250 x^{3}$

$1250 x^{2}$

$1875 x^{2}$

$0 x$

$1875 x^{2}$

$9375 x$

Étape 2.30.5.9.28.1.5.25

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$50 x^{3}$

$250 x^{2}$

$1875 x$

$x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$25 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$0 x$

$46875$

$x^{6}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$50 x^{4}$

$0 x^{3}$

$50 x^{4}$

$250 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$250 x^{3}$

$1250 x^{2}$

$1875 x^{2}$

$0 x$

$1875 x^{2}$

$9375 x$

Étape 2.30.5.9.28.1.5.26

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$50 x^{3}$

$250 x^{2}$

$1875 x$

$x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$25 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$0 x$

$46875$

$x^{6}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$50 x^{4}$

$0 x^{3}$

$50 x^{4}$

$250 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$250 x^{3}$

$1250 x^{2}$

$1875 x^{2}$

$0 x$

$1875 x^{2}$

$9375 x$

$46875$

Étape 2.30.5.9.28.1.5.27

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $9375 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$50 x^{3}$

$250 x^{2}$

$1875 x$

$9375$

$x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$25 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$0 x$

$46875$

$x^{6}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$50 x^{4}$

$0 x^{3}$

$50 x^{4}$

$250 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$250 x^{3}$

$1250 x^{2}$

$1875 x^{2}$

$0 x$

$1875 x^{2}$

$9375 x$

$46875$

Étape 2.30.5.9.28.1.5.28

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$50 x^{3}$

$250 x^{2}$

$1875 x$

$9375$

$x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$25 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$0 x$

$46875$

$x^{6}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$50 x^{4}$

$0 x^{3}$

$50 x^{4}$

$250 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$250 x^{3}$

$1250 x^{2}$

$1875 x^{2}$

$0 x$

$1875 x^{2}$

$9375 x$

$46875$

$9375 x$

$46875$

Étape 2.30.5.9.28.1.5.29

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $9375 x + 46875$

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$50 x^{3}$

$250 x^{2}$

$1875 x$

$9375$

$x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$25 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$0 x$

$46875$

$x^{6}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$50 x^{4}$

$0 x^{3}$

$50 x^{4}$

$250 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$250 x^{3}$

$1250 x^{2}$

$1875 x^{2}$

$0 x$

$1875 x^{2}$

$9375 x$

$46875$

$9375 x$

$46875$

Étape 2.30.5.9.28.1.5.30

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$50 x^{3}$

$250 x^{2}$

$1875 x$

$9375$

$x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$25 x^{4}$

$0 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$0 x$

$46875$

$x^{6}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$5 x^{5}$

$25 x^{4}$

$50 x^{4}$

$0 x^{3}$

$50 x^{4}$

$250 x^{3}$

$3125 x^{2}$

$250 x^{3}$

$1250 x^{2}$

$1875 x^{2}$

$0 x$

$1875 x^{2}$

$9375 x$

$46875$

$9375 x$

$46875$

$0$

Étape 2.30.5.9.28.1.5.31

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{5} - 5 x^{4} + 50 x^{3} - 250 x^{2} - 1875 x + 9375$

Étape 2.30.5.9.28.1.6

Écrivez $x^{6} + 25 x^{4} - 3125 x^{2} + 46875$ comme un ensemble de facteurs.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x^{5} - 5 x^{4} + 50 x^{3} - 250 x^{2} - 1875 x + 9375))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.2

Regroupez les termes.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x^{5} + 50 x^{3} - 1875 x - 5 x^{4} - 250 x^{2} + 9375))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{5} + 50 x^{3} - 1875 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.5.9.28.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x \cdot x^{4} + 50 x^{3} - 1875 x - 5 x^{4} - 250 x^{2} + 9375))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.3.2

Factorisez $x$ à partir de $50 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x \cdot x^{4} + x (50 x^{2}) - 1875 x - 5 x^{4} - 250 x^{2} + 9375))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.3.3

Factorisez $x$ à partir de $- 1875 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x \cdot x^{4} + x (50 x^{2}) + x \cdot - 1875 - 5 x^{4} - 250 x^{2} + 9375))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.3.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{4} + x (50 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x (x^{4} + 50 x^{2}) + x \cdot - 1875 - 5 x^{4} - 250 x^{2} + 9375))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.3.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{4} + 50 x^{2}) + x \cdot - 1875$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x (x^{4} + 50 x^{2} - 1875) - 5 x^{4} - 250 x^{2} + 9375))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.4

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x ({(x^{2})}^{2} + 50 x^{2} - 1875) - 5 x^{4} - 250 x^{2} + 9375))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.5

Laissez $u_{3} = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u_{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x ({u_{3}}^{2} + 50 u_{3} - 1875) - 5 x^{4} - 250 x^{2} + 9375))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.6

Factorisez ${u_{3}}^{2} + 50 u_{3} - 1875$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.30.5.9.28.6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 1875$ et dont la somme est $50$ .

$- 25, 75$

Étape 2.30.5.9.28.6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x ((u_{3} - 25) (u_{3} + 75)) - 5 x^{4} - 250 x^{2} + 9375))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x ((x^{2} - 25) (x^{2} + 75)) - 5 x^{4} - 250 x^{2} + 9375))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.8

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x ((x^{2} - 5^{2}) (x^{2} + 75)) - 5 x^{4} - 250 x^{2} + 9375))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.9

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75) - 5 x^{4} - 250 x^{2} + 9375))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.10

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x^{4} - 250 x^{2} + 9375$ .

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Étape 2.30.5.9.28.10.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75) + 5 (- x^{4}) - 250 x^{2} + 9375))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.10.2

Factorisez $5$ à partir de $- 250 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75) + 5 (- x^{4}) + 5 (- 50 x^{2}) + 9375))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.10.3

Factorisez $5$ à partir de $9375$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75) + 5 (- x^{4}) + 5 (- 50 x^{2}) + 5 (1875)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.10.4

Factorisez $5$ à partir de $5 (- x^{4}) + 5 (- 50 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75) + 5 (- x^{4} - 50 x^{2}) + 5 (1875)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.10.5

Factorisez $5$ à partir de $5 (- x^{4} - 50 x^{2}) + 5 (1875)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75) + 5 (- x^{4} - 50 x^{2} + 1875)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.11

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75) + 5 (- {(x^{2})}^{2} - 50 x^{2} + 1875)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.12

Laissez $u_{4} = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u_{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75) + 5 (- {u_{4}}^{2} - 50 u_{4} + 1875)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.13

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.30.5.9.28.13.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 1875 = - 1875$ et dont la somme est $b = - 50$ .

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Étape 2.30.5.9.28.13.1.1

Factorisez $- 50$ à partir de $- 50 u_{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75) + 5 (- {u_{4}}^{2} - 50 u_{4} + 1875)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.13.1.2

Réécrivez $- 50$ comme $25$ plus $- 75$

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75) + 5 (- {u_{4}}^{2} + (25 - 75) u_{4} + 1875)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.13.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75) + 5 (- {u_{4}}^{2} + 25 u_{4} - 75 u_{4} + 1875)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.13.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.30.5.9.28.13.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75) + 5 ((- {u_{4}}^{2} + 25 u_{4}) - 75 u_{4} + 1875)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.13.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75) + 5 (u_{4} (- u_{4} + 25) + 75 (- u_{4} + 25))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.13.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- u_{4} + 25$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75) + 5 ((- u_{4} + 25) (u_{4} + 75))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.14

Remplacez toutes les occurrences de $u_{4}$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75) + 5 ((- x^{2} + 25) (x^{2} + 75))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.15

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75) + 5 ((- x^{2} + 5^{2}) (x^{2} + 75))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.16

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $5^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75) + 5 ((5^{2} - x^{2}) (x^{2} + 75))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.17

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5$ et $b = x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75) + 5 (5 + x) (5 - x) (x^{2} + 75)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.18

Factorisez $x^{2} + 75$ à partir de $x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75) + 5 (5 + x) (5 - x) (x^{2} + 75)$ .

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Étape 2.30.5.9.28.18.1

Factorisez $x^{2} + 75$ à partir de $x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) (x (x + 5) (x - 5)) + 5 (5 + x) (5 - x) (x^{2} + 75)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.18.2

Factorisez $x^{2} + 75$ à partir de $5 (5 + x) (5 - x) (x^{2} + 75)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) (x (x + 5) (x - 5)) + (x^{2} + 75) (5 (5 + x) (5 - x))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.18.3

Factorisez $x^{2} + 75$ à partir de $(x^{2} + 75) (x (x + 5) (x - 5)) + (x^{2} + 75) (5 (5 + x) (5 - x))$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) (x (x + 5) (x - 5) + 5 (5 + x) (5 - x))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.19

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) ((x \cdot x + x \cdot 5) (x - 5) + 5 (5 + x) (5 - x))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.20

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) ((x^{2} + x \cdot 5) (x - 5) + 5 (5 + x) (5 - x))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.21

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) ((x^{2} + 5 \cdot x) (x - 5) + 5 (5 + x) (5 - x))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.22

Développez $(x^{2} + 5 x) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.30.5.9.28.22.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) (x^{2} (x - 5) + 5 x (x - 5) + 5 (5 + x) (5 - x))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.22.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 5 + 5 x (x - 5) + 5 (5 + x) (5 - x))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.22.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 5 + 5 x \cdot x + 5 x \cdot - 5 + 5 (5 + x) (5 - x))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.23

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.30.5.9.28.23.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.30.5.9.28.23.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.30.5.9.28.23.1.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.30.5.9.28.23.1.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

Étape 2.30.5.9.28.23.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 5 + 5 x \cdot x + 5 x \cdot - 5 + 5 (5 + x) (5 - x))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.23.1.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) (x^{3} + x^{2} \cdot - 5 + 5 x \cdot x + 5 x \cdot - 5 + 5 (5 + x) (5 - x))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.23.1.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) (x^{3} - 5 \cdot x^{2} + 5 x \cdot x + 5 x \cdot - 5 + 5 (5 + x) (5 - x))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.23.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.30.5.9.28.23.1.3.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) (x^{3} - 5 x^{2} + 5 (x \cdot x) + 5 x \cdot - 5 + 5 (5 + x) (5 - x))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.23.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) (x^{3} - 5 x^{2} + 5 x^{2} + 5 x \cdot - 5 + 5 (5 + x) (5 - x))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.23.1.4

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) (x^{3} - 5 x^{2} + 5 x^{2} - 25 x + 5 (5 + x) (5 - x))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.23.2

Additionnez $- 5 x^{2}$ et $5 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) (x^{3} + 0 - 25 x + 5 (5 + x) (5 - x))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.23.3

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) (x^{3} - 25 x + 5 (5 + x) (5 - x))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.24

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) (x^{3} - 25 x + (5 \cdot 5 + 5 x) (5 - x))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.25

Multipliez $5$ par $5$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) (x^{3} - 25 x + (25 + 5 x) (5 - x))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.26

Développez $(25 + 5 x) (5 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.5.9.28.26.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) (x^{3} - 25 x + 25 (5 - x) + 5 x (5 - x))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.26.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) (x^{3} - 25 x + 25 \cdot 5 + 25 (- x) + 5 x (5 - x))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.26.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) (x^{3} - 25 x + 25 \cdot 5 + 25 (- x) + 5 x \cdot 5 + 5 x (- x))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.27

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.30.5.9.28.27.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.30.5.9.28.27.1.1

Multipliez $25$ par $5$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) (x^{3} - 25 x + 125 + 25 (- x) + 5 x \cdot 5 + 5 x (- x))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.27.1.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) (x^{3} - 25 x + 125 - 25 x + 5 x \cdot 5 + 5 x (- x))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.27.1.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) (x^{3} - 25 x + 125 - 25 x + 25 x + 5 x (- x))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.27.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) (x^{3} - 25 x + 125 - 25 x + 25 x + 5 \cdot (- 1 x \cdot x))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.27.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.30.5.9.28.27.1.5.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) (x^{3} - 25 x + 125 - 25 x + 25 x + 5 \cdot (- 1 (x \cdot x)))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.27.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) (x^{3} - 25 x + 125 - 25 x + 25 x + 5 \cdot (- 1 x^{2}))))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.27.1.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) (x^{3} - 25 x + 125 - 25 x + 25 x - 5 x^{2})))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.27.2

Additionnez $- 25 x$ et $25 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) (x^{3} - 25 x + 125 + 0 - 5 x^{2})))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.27.3

Additionnez $125$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) (x^{3} - 25 x + 125 - 5 x^{2})))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.28

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) ((x^{2} + 75) (x^{3} - 5 x^{2} - 25 x + 125)))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.28.29

Factorisez.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x^{2} + 75) {(x - 5)}^{2} (x + 5))}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (x + 5) (x^{2} + 75) {(x - 5)}^{2} (x + 5)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.29

Associez les exposants.

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Étape 2.30.5.9.29.1

Élevez $x + 5$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x + 5)) (x^{2} + 75) {(x - 5)}^{2}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.29.2

Élevez $x + 5$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 ((x + 5) (x + 5)) (x^{2} + 75) {(x - 5)}^{2}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.29.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 {(x + 5)}^{1 + 1} (x^{2} + 75) {(x - 5)}^{2}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.5.9.29.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 {(x + 5)}^{2} (x^{2} + 75) {(x - 5)}^{2}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.6

Associez des termes.

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Étape 2.30.6.1

Réécrivez $\frac{\frac{2 {(x + 5)}^{2} (x^{2} + 75) {(x - 5)}^{2}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$ comme un produit.

$f'' (x) = - (\frac{2 {(x + 5)}^{2} (x^{2} + 75) {(x - 5)}^{2}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}})$

Étape 2.30.6.2

Multipliez $\frac{2 {(x + 5)}^{2} (x^{2} + 75) {(x - 5)}^{2}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}}$ par $\frac{1}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(x + 5)}^{2} (x^{2} + 75) {(x - 5)}^{2}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}} (3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}})}$

Étape 2.30.6.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(x + 5)}^{2} (x^{2} + 75) {(x - 5)}^{2}}{9 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}}$

Étape 2.30.6.4

Multipliez ${| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}$ par ${| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.30.6.4.1

Déplacez ${| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(x + 5)}^{2} (x^{2} + 75) {(x - 5)}^{2}}{9 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3}} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}})}$

Étape 2.30.6.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{2 {(x + 5)}^{2} (x^{2} + 75) {(x - 5)}^{2}}{9 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10}{3} + \frac{1}{3}}}$

Étape 2.30.6.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{2 {(x + 5)}^{2} (x^{2} + 75) {(x - 5)}^{2}}{9 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{10 + 1}{3}}}$

Étape 2.30.6.4.4

Additionnez $10$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(x + 5)}^{2} (x^{2} + 75) {(x - 5)}^{2}}{9 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{11}{3}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{2 x (5 + x) (5 - x)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt[3]{| 25 - x^{2} |} + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{| 25 - x^{2} |}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{| 25 - x^{2} |}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{| 25 - x^{2} |}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{| 25 - x^{2} |}$ comme ${| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = | 25 - x^{2} |$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $| 25 - x^{2} |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [| 25 - x^{2} |] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} {u_{1}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [| 25 - x^{2} |] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $| 25 - x^{2} |$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [| 25 - x^{2} |] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = 25 - x^{2}$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $25 - x^{2}$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.3.2

La dérivée de $| u_{2} |$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $25 - x^{2}$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{25 - x^{2}}{| 25 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $25 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{25 - x^{2}}{| 25 - x^{2} |} (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.5

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{25 - x^{2}}{| 25 - x^{2} |} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{25 - x^{2}}{| 25 - x^{2} |} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{25 - x^{2}}{| 25 - x^{2} |} (0 - (2 x))) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (\frac{25 - x^{2}}{| 25 - x^{2} |} (0 - (2 x))) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.9

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (\frac{25 - x^{2}}{| 25 - x^{2} |} (0 - (2 x))) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (\frac{25 - x^{2}}{| 25 - x^{2} |} (0 - (2 x))) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.11.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{1 - 3}{3}} (\frac{25 - x^{2}}{| 25 - x^{2} |} (0 - (2 x))) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.11.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{\frac{- 2}{3}} (\frac{25 - x^{2}}{| 25 - x^{2} |} (0 - (2 x))) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{- \frac{2}{3}} (\frac{25 - x^{2}}{| 25 - x^{2} |} (0 - (2 x))) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.13

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{- \frac{2}{3}} (\frac{25 - x^{2}}{| 25 - x^{2} |} (0 - 2 x)) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.14

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{- \frac{2}{3}} (\frac{25 - x^{2}}{| 25 - x^{2} |} (- 2 x)) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.15

Associez $- 2$ et $\frac{25 - x^{2}}{| 25 - x^{2} |}$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{- \frac{2}{3}} (\frac{- 2 (25 - x^{2})}{| 25 - x^{2} |} x) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.16

Associez $\frac{- 2 (25 - x^{2})}{| 25 - x^{2} |}$ et $x$ .

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{- \frac{2}{3}} \frac{- 2 (25 - x^{2}) x}{| 25 - x^{2} |} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} {| 25 - x^{2} |}^{- \frac{2}{3}} (- \frac{(2 (25 - x^{2})) x}{| 25 - x^{2} |}) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.18

Associez $\frac{1}{3}$ et ${| 25 - x^{2} |}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{| 25 - x^{2} |}^{- \frac{2}{3}}}{3} (- \frac{(2 (25 - x^{2})) x}{| 25 - x^{2} |}) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.19

Multipliez $\frac{{| 25 - x^{2} |}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ par $\frac{(2 (25 - x^{2})) x}{| 25 - x^{2} |}$ .

$- \frac{{| 25 - x^{2} |}^{- \frac{2}{3}} ((2 (25 - x^{2})) x)}{3 | 25 - x^{2} |} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.20

Placez ${| 25 - x^{2} |}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{(2 (25 - x^{2})) x}{3 | 25 - x^{2} | {| 25 - x^{2} |}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.21

Multipliez $| 25 - x^{2} |$ par ${| 25 - x^{2} |}^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.2.21.1

Déplacez ${| 25 - x^{2} |}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{(2 (25 - x^{2})) x}{3 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{2}{3}} | 25 - x^{2} |)} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.21.2

Multipliez ${| 25 - x^{2} |}^{\frac{2}{3}}$ par $| 25 - x^{2} |$ .

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Étape 4.1.2.21.2.1

Élevez $| 25 - x^{2} |$ à la puissance $1$ .

$- \frac{(2 (25 - x^{2})) x}{3 ({| 25 - x^{2} |}^{\frac{2}{3}} {| 25 - x^{2} |}^{1})} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.21.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{(2 (25 - x^{2})) x}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{2}{3} + 1}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.21.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{(2 (25 - x^{2})) x}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.21.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{(2 (25 - x^{2})) x}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{2 + 3}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.2.21.5

Additionnez $2$ et $3$ .

$- \frac{(2 (25 - x^{2})) x}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 4.1.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{(2 (25 - x^{2})) x}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{(2 \cdot 25 + 2 (- x^{2})) x}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Étape 4.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 \cdot 25 x + 2 (- x^{2}) x}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Étape 4.1.4.3

Associez des termes.

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Étape 4.1.4.3.1

Multipliez $2$ par $25$ .

$- \frac{50 x + 2 (- x^{2}) x}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Étape 4.1.4.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{50 x - 2 x^{2} x}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Étape 4.1.4.3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{50 x - 2 (x^{1} x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Étape 4.1.4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{50 x - 2 x^{1 + 2}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Étape 4.1.4.3.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{50 x - 2 x^{3}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Étape 4.1.4.3.6

Additionnez $- \frac{50 x - 2 x^{3}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$ et $0$ .

$- \frac{50 x - 2 x^{3}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 4.1.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.4.4.1

Factorisez $2 x$ à partir de $50 x - 2 x^{3}$ .

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Étape 4.1.4.4.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $50 x$ .

$- \frac{2 x (25) - 2 x^{3}}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 4.1.4.4.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$- \frac{2 x (25) + 2 x (- x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 4.1.4.4.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (25) + 2 x (- x^{2})$ .

$- \frac{2 x (25 - x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 4.1.4.4.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$- \frac{2 x (5^{2} - x^{2})}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 4.1.4.4.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5$ et $b = x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x (5 + x) (5 - x)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2 x (5 + x) (5 - x)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{2 x (5 + x) (5 - x)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2 x (5 + x) (5 - x)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{2 x (5 + x) (5 - x)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x (5 + x) (5 - x) = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$5 + x = 0$

$5 - x = 0$

Étape 5.3.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.3.3

Définissez $5 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.3.1

Définissez $5 + x$ égal à $0$ .

$5 + x = 0$

Étape 5.3.3.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 5.3.4

Définissez $5 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.4.1

Définissez $5 - x$ égal à $0$ .

$5 - x = 0$

Étape 5.3.4.2

Résolvez $5 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.3.4.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 5$

Étape 5.3.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 5$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 5$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 5.3.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 5.3.4.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 5.3.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.4.2.2.3.1

Divisez $- 5$ par $- 1$ .

$x = 5$

Étape 5.3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (5 + x) (5 - x) = 0$ vraie.

$x = 0, - 5, 5$

Étape 5.4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $- \frac{2 x (5 + x) (5 - x)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}} = 0$ vrai.

$x = 0$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- \frac{2 x (5 + x) (5 - x)}{3 \sqrt[3]{{| 25 - x^{2} |}^{5}}}$

Étape 6.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x (5 + x) (5 - x)}{3 \sqrt[3]{{| 25 - x^{2} |}^{5}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{{| 25 - x^{2} |}^{5}} = 0$

Étape 6.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.3.1.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$3 \sqrt[3]{{| 5^{2} - x^{2} |}^{5}} = 0$

Étape 6.3.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5$ et $b = x$ .

$3 \sqrt[3]{{| (5 + x) (5 - x) |}^{5}} = 0$

Étape 6.3.1.3

Développez $(5 + x) (5 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 \sqrt[3]{{| 5 (5 - x) + x (5 - x) |}^{5}} = 0$

Étape 6.3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 \sqrt[3]{{| 5 \cdot 5 + 5 (- x) + x (5 - x) |}^{5}} = 0$

Étape 6.3.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 \sqrt[3]{{| 5 \cdot 5 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) |}^{5}} = 0$

Étape 6.3.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.4.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$3 \sqrt[3]{{| 25 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) |}^{5}} = 0$

Étape 6.3.1.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$3 \sqrt[3]{{| 25 - 5 x + x \cdot 5 + x (- x) |}^{5}} = 0$

Étape 6.3.1.4.1.3

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$3 \sqrt[3]{{| 25 - 5 x + 5 \cdot x + x (- x) |}^{5}} = 0$

Étape 6.3.1.4.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \sqrt[3]{{| 25 - 5 x + 5 x - x \cdot x |}^{5}} = 0$

Étape 6.3.1.4.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.4.1.5.1

Déplacez $x$ .

$3 \sqrt[3]{{| 25 - 5 x + 5 x - (x \cdot x) |}^{5}} = 0$

Étape 6.3.1.4.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 \sqrt[3]{{| 25 - 5 x + 5 x - x^{2} |}^{5}} = 0$

Étape 6.3.1.4.2

Additionnez $- 5 x$ et $5 x$ .

$3 \sqrt[3]{{| 25 + 0 - x^{2} |}^{5}} = 0$

Étape 6.3.1.4.3

Additionnez $25$ et $0$ .

$3 \sqrt[3]{{| 25 - x^{2} |}^{5}} = 0$

Étape 6.3.1.5

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$3 \sqrt[3]{{| 5^{2} - x^{2} |}^{5}} = 0$

Étape 6.3.1.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5$ et $b = x$ .

$3 \sqrt[3]{{| (5 + x) (5 - x) |}^{5}} = 0$

Étape 6.3.1.7

Factorisez ${| (5 + x) (5 - x) |}^{3}$ .

$3 \sqrt[3]{{| (5 + x) (5 - x) |}^{3} {| (5 + x) (5 - x) |}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$3 (| (5 + x) (5 - x) | \sqrt[3]{{| (5 + x) (5 - x) |}^{2}}) = 0$

Étape 6.3.1.9

Développez $(5 + x) (5 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 | 5 (5 - x) + x (5 - x) | \sqrt[3]{{| (5 + x) (5 - x) |}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 | 5 \cdot 5 + 5 (- x) + x (5 - x) | \sqrt[3]{{| (5 + x) (5 - x) |}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 | 5 \cdot 5 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) | \sqrt[3]{{| (5 + x) (5 - x) |}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.10

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.10.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.10.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$3 | 25 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) | \sqrt[3]{{| (5 + x) (5 - x) |}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.10.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$3 | 25 - 5 x + x \cdot 5 + x (- x) | \sqrt[3]{{| (5 + x) (5 - x) |}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.10.1.3

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$3 | 25 - 5 x + 5 \cdot x + x (- x) | \sqrt[3]{{| (5 + x) (5 - x) |}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.10.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 | 25 - 5 x + 5 x - x \cdot x | \sqrt[3]{{| (5 + x) (5 - x) |}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.10.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.10.1.5.1

Déplacez $x$ .

$3 | 25 - 5 x + 5 x - (x \cdot x) | \sqrt[3]{{| (5 + x) (5 - x) |}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.10.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 | 25 - 5 x + 5 x - x^{2} | \sqrt[3]{{| (5 + x) (5 - x) |}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.10.2

Additionnez $- 5 x$ et $5 x$ .

$3 | 25 + 0 - x^{2} | \sqrt[3]{{| (5 + x) (5 - x) |}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.10.3

Additionnez $25$ et $0$ .

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{{| (5 + x) (5 - x) |}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.11

Développez $(5 + x) (5 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{{| 5 (5 - x) + x (5 - x) |}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{{| 5 \cdot 5 + 5 (- x) + x (5 - x) |}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{{| 5 \cdot 5 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) |}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.12

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.12.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.12.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{{| 25 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) |}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.12.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{{| 25 - 5 x + x \cdot 5 + x (- x) |}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.12.1.3

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{{| 25 - 5 x + 5 \cdot x + x (- x) |}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.12.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{{| 25 - 5 x + 5 x - x \cdot x |}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.12.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.12.1.5.1

Déplacez $x$ .

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{{| 25 - 5 x + 5 x - (x \cdot x) |}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.12.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{{| 25 - 5 x + 5 x - x^{2} |}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.12.2

Additionnez $- 5 x$ et $5 x$ .

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{{| 25 + 0 - x^{2} |}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.12.3

Additionnez $25$ et $0$ .

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{{| 25 - x^{2} |}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.13

Retirez la valeur absolue dans ${| 25 - x^{2} |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{{(25 - x^{2})}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.14

Réécrivez ${(25 - x^{2})}^{2}$ comme $(25 - x^{2}) (25 - x^{2})$ .

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{(25 - x^{2}) (25 - x^{2})} = 0$

Étape 6.3.1.15

Développez $(25 - x^{2}) (25 - x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{25 (25 - x^{2}) - x^{2} (25 - x^{2})} = 0$

Étape 6.3.1.15.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{25 \cdot 25 + 25 (- x^{2}) - x^{2} (25 - x^{2})} = 0$

Étape 6.3.1.15.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{25 \cdot 25 + 25 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 25 - x^{2} (- x^{2})} = 0$

Étape 6.3.1.16

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.16.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.16.1.1

Multipliez $25$ par $25$ .

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{625 + 25 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 25 - x^{2} (- x^{2})} = 0$

Étape 6.3.1.16.1.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{625 - 25 x^{2} - x^{2} \cdot 25 - x^{2} (- x^{2})} = 0$

Étape 6.3.1.16.1.3

Multipliez $25$ par $- 1$ .

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{625 - 25 x^{2} - 25 x^{2} - x^{2} (- x^{2})} = 0$

Étape 6.3.1.16.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{625 - 25 x^{2} - 25 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.16.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.16.1.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{625 - 25 x^{2} - 25 x^{2} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2})} = 0$

Étape 6.3.1.16.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{625 - 25 x^{2} - 25 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 2}} = 0$

Étape 6.3.1.16.1.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{625 - 25 x^{2} - 25 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{4}} = 0$

Étape 6.3.1.16.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{625 - 25 x^{2} - 25 x^{2} + 1 x^{4}} = 0$

Étape 6.3.1.16.1.7

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{625 - 25 x^{2} - 25 x^{2} + x^{4}} = 0$

Étape 6.3.1.16.2

Soustrayez $25 x^{2}$ de $- 25 x^{2}$ .

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{625 - 50 x^{2} + x^{4}} = 0$

Étape 6.3.1.17

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.17.1

Réécrivez $625$ comme $25^{2}$ .

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{25^{2} - 50 x^{2} + x^{4}} = 0$

Étape 6.3.1.17.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{25^{2} - 50 x^{2} + {(x^{2})}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.17.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$50 x^{2} = 2 \cdot 25 \cdot x^{2}$

Étape 6.3.1.17.4

Réécrivez le polynôme.

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{25^{2} - 2 \cdot 25 \cdot x^{2} + {(x^{2})}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.17.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = 25$ et $b = x^{2}$ .

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{{(25 - x^{2})}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.18

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{{(5^{2} - x^{2})}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.19

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5$ et $b = x$ .

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{{((5 + x) (5 - x))}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.20

Appliquez la règle de produit à $(5 + x) (5 - x)$ .

$3 | 25 - x^{2} | \sqrt[3]{{(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.21

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$3 | 5^{2} - x^{2} | \sqrt[3]{{(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2}} = 0$

Étape 6.3.1.22

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5$ et $b = x$ .

$3 | (5 + x) (5 - x) | \sqrt[3]{{(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2}} = 0$

Étape 6.3.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{{(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2}}$ comme ${({(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$3 | (5 + x) (5 - x) | {({(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}^{\frac{1}{3}} = 0$

Étape 6.3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$| (5 + x) (5 - x) | = 0$

${({(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}^{\frac{1}{3}} = 0$

Étape 6.3.4

Définissez $| (5 + x) (5 - x) |$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.4.1

Définissez $| (5 + x) (5 - x) |$ égal à $0$ .

$| (5 + x) (5 - x) | = 0$

Étape 6.3.4.2

Résolvez $| (5 + x) (5 - x) | = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.3.4.2.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$(5 + x) (5 - x) = \pm 0$

Étape 6.3.4.2.2

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$(5 + x) (5 - x) = 0$

Étape 6.3.4.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$5 + x = 0$

$5 - x = 0$

Étape 6.3.4.2.4

Définissez $5 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.4.2.4.1

Définissez $5 + x$ égal à $0$ .

$5 + x = 0$

Étape 6.3.4.2.4.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 6.3.4.2.5

Définissez $5 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.4.2.5.1

Définissez $5 - x$ égal à $0$ .

$5 - x = 0$

Étape 6.3.4.2.5.2

Résolvez $5 - x = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.4.2.5.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 5$

Étape 6.3.4.2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 5$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.4.2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 5$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 6.3.4.2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.4.2.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 6.3.4.2.5.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 6.3.4.2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.4.2.5.2.2.3.1

Divisez $- 5$ par $- 1$ .

$x = 5$

Étape 6.3.4.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(5 + x) (5 - x) = 0$ vraie.

$x = - 5, 5$

Étape 6.3.5

Définissez ${({(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}^{\frac{1}{3}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.5.1

Définissez ${({(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}^{\frac{1}{3}}$ égal à $0$ .

${({(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}^{\frac{1}{3}} = 0$

Étape 6.3.5.2

Résolvez ${({(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}^{\frac{1}{3}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.3.5.2.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({({(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 6.3.5.2.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 6.3.5.2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.5.2.2.1.1

Simplifiez ${({({(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 6.3.5.2.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({({(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 6.3.5.2.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${({(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 6.3.5.2.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.5.2.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${({(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 6.3.5.2.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${({(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}^{1} = 0^{3}$

Étape 6.3.5.2.2.1.1.2

Simplifiez

${(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2} = 0^{3}$

Étape 6.3.5.2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.5.2.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

${(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2} = 0$

Étape 6.3.5.2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 6.3.5.2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(5 + x)}^{2} = 0$

${(5 - x)}^{2} = 0$

Étape 6.3.5.2.3.2

Définissez ${(5 + x)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.5.2.3.2.1

Définissez ${(5 + x)}^{2}$ égal à $0$ .

${(5 + x)}^{2} = 0$

Étape 6.3.5.2.3.2.2

Résolvez ${(5 + x)}^{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.5.2.3.2.2.1

Définissez le $5 + x$ égal à $0$ .

$5 + x = 0$

Étape 6.3.5.2.3.2.2.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 6.3.5.2.3.3

Définissez ${(5 - x)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.5.2.3.3.1

Définissez ${(5 - x)}^{2}$ égal à $0$ .

${(5 - x)}^{2} = 0$

Étape 6.3.5.2.3.3.2

Résolvez ${(5 - x)}^{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.5.2.3.3.2.1

Définissez le $5 - x$ égal à $0$ .

$5 - x = 0$

Étape 6.3.5.2.3.3.2.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.5.2.3.3.2.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 5$

Étape 6.3.5.2.3.3.2.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 5$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.5.2.3.3.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 5$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 6.3.5.2.3.3.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.5.2.3.3.2.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 6.3.5.2.3.3.2.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 6.3.5.2.3.3.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.5.2.3.3.2.2.2.3.1

Divisez $- 5$ par $- 1$ .

$x = 5$

Étape 6.3.5.2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2} = 0$ vraie.

$x = - 5, 5$

Étape 6.3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 | (5 + x) (5 - x) | {({(5 + x)}^{2} {(5 - x)}^{2})}^{\frac{1}{3}} = 0$ vraie.

$x = - 5, 5$

Étape 6.4

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 5, x = 5$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - 5, 5$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2 {((0) + 5)}^{2} ({(0)}^{2} + 75) {((0) - 5)}^{2}}{9 {| 25 - {(0)}^{2} |}^{\frac{11}{3}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Réécrivez $0$ comme $- 1 (0)$ .

$- \frac{2 {(- 1 (0) + 5)}^{2} (0^{2} + 75) {(0 - 5)}^{2}}{9 {| 25 - 0^{2} |}^{\frac{11}{3}}}$

Étape 9.1.2

Réécrivez $5$ comme $- 1 (- 5)$ .

$- \frac{2 {(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 5)}^{2} (0^{2} + 75) {(0 - 5)}^{2}}{9 {| 25 - 0^{2} |}^{\frac{11}{3}}}$

Étape 9.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 5$ .

$- \frac{2 {(- 1 \cdot (0 - 5))}^{2} (0^{2} + 75) {(0 - 5)}^{2}}{9 {| 25 - 0^{2} |}^{\frac{11}{3}}}$

Étape 9.1.4

Appliquez la règle de produit à $- 1 \cdot (0 - 5)$ .

$- \frac{2 ({(- 1)}^{2} \cdot {(0 - 5)}^{2}) (0^{2} + 75) {(0 - 5)}^{2}}{9 {| 25 - 0^{2} |}^{\frac{11}{3}}}$

Étape 9.1.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2 (1 \cdot {(0 - 5)}^{2}) (0^{2} + 75) {(0 - 5)}^{2}}{9 {| 25 - 0^{2} |}^{\frac{11}{3}}}$

Étape 9.1.6

Multipliez ${(0 - 5)}^{2}$ par $1$ .

$- \frac{2 {(0 - 5)}^{2} (0^{2} + 75) {(0 - 5)}^{2}}{9 {| 25 - 0^{2} |}^{\frac{11}{3}}}$

Étape 9.1.7

Multipliez ${(0 - 5)}^{2}$ par ${(0 - 5)}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.7.1

Déplacez ${(0 - 5)}^{2}$ .

$- \frac{2 ({(0 - 5)}^{2} {(0 - 5)}^{2}) (0^{2} + 75)}{9 {| 25 - 0^{2} |}^{\frac{11}{3}}}$

Étape 9.1.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 {(0 - 5)}^{2 + 2} (0^{2} + 75)}{9 {| 25 - 0^{2} |}^{\frac{11}{3}}}$

Étape 9.1.7.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$- \frac{2 {(0 - 5)}^{4} (0^{2} + 75)}{9 {| 25 - 0^{2} |}^{\frac{11}{3}}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 {(0 - 5)}^{4} (0^{2} + 75)}{9 {| 25 - 0 |}^{\frac{11}{3}}}$

Étape 9.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \frac{2 {(0 - 5)}^{4} (0^{2} + 75)}{9 {| 25 + 0 |}^{\frac{11}{3}}}$

Étape 9.2.2

Additionnez $25$ et $0$ .

$- \frac{2 {(0 - 5)}^{4} (0^{2} + 75)}{9 {| 25 |}^{\frac{11}{3}}}$

Étape 9.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $25$ est $25$ .

$- \frac{2 {(0 - 5)}^{4} (0^{2} + 75)}{9 \cdot 25^{\frac{11}{3}}}$

Étape 9.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Soustrayez $5$ de $0$ .

$- \frac{2 {(- 5)}^{4} (0^{2} + 75)}{9 \cdot 25^{\frac{11}{3}}}$

Étape 9.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 {(- 5)}^{4} (0 + 75)}{9 \cdot 25^{\frac{11}{3}}}$

Étape 9.3.3

Additionnez $0$ et $75$ .

$- \frac{2 {(- 5)}^{4} \cdot 75}{9 \cdot 25^{\frac{11}{3}}}$

Étape 9.3.4

Multipliez $75$ par $2$ .

$- \frac{150 {(- 5)}^{4}}{9 \cdot 25^{\frac{11}{3}}}$

Étape 9.3.5

Élevez $- 5$ à la puissance $4$ .

$- \frac{150 \cdot 625}{9 \cdot 25^{\frac{11}{3}}}$

Étape 9.4

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.1

Multipliez $150$ par $625$ .

$- \frac{93750}{9 \cdot 25^{\frac{11}{3}}}$

Étape 9.4.2

Factorisez $3$ à partir de $93750$ .

$- \frac{3 (31250)}{9 \cdot 25^{\frac{11}{3}}}$

Étape 9.5

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.5.1

Factorisez $3$ à partir de $9 \cdot 25^{\frac{11}{3}}$ .

$- \frac{3 (31250)}{3 (3 \cdot 25^{\frac{11}{3}})}$

Étape 9.5.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 \cdot 31250}{3 (3 \cdot 25^{\frac{11}{3}})}$

Étape 9.5.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{31250}{3 \cdot 25^{\frac{11}{3}}}$

Étape 10

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \sqrt[3]{| 25 - {(0)}^{2} |} + 6$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \sqrt[3]{| 25 - 0 |} + 6$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = \sqrt[3]{| 25 + 0 |} + 6$

Étape 11.2.1.3

Additionnez $25$ et $0$ .

$f (0) = \sqrt[3]{| 25 |} + 6$

Étape 11.2.1.4

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $25$ est $25$ .

$f (0) = \sqrt[3]{25} + 6$

Étape 11.2.2

La réponse finale est $\sqrt[3]{25} + 6$ .

$y = \sqrt[3]{25} + 6$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 5$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2 {((- 5) + 5)}^{2} ({(- 5)}^{2} + 75) {((- 5) - 5)}^{2}}{9 {| 25 - {(- 5)}^{2} |}^{\frac{11}{3}}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2 {((- 5) + 5)}^{2} ({(- 5)}^{2} + 75) {((- 5) - 5)}^{2}}{9 {| 25 - 1 \cdot 25 |}^{\frac{11}{3}}}$

Étape 13.1.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$- \frac{2 {((- 5) + 5)}^{2} ({(- 5)}^{2} + 75) {((- 5) - 5)}^{2}}{9 {| 25 - 25 |}^{\frac{11}{3}}}$

Étape 13.2

Soustrayez $25$ de $25$ .

$- \frac{2 {((- 5) + 5)}^{2} ({(- 5)}^{2} + 75) {((- 5) - 5)}^{2}}{9 {| 0 |}^{\frac{11}{3}}}$

Étape 13.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$- \frac{2 {((- 5) + 5)}^{2} ({(- 5)}^{2} + 75) {((- 5) - 5)}^{2}}{9 \cdot 0^{\frac{11}{3}}}$

Étape 13.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.4.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$- \frac{2 {((- 5) + 5)}^{2} ({(- 5)}^{2} + 75) {((- 5) - 5)}^{2}}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{11}{3}}}$

Étape 13.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 {((- 5) + 5)}^{2} ({(- 5)}^{2} + 75) {((- 5) - 5)}^{2}}{9 \cdot 0^{3 (\frac{11}{3})}}$

Étape 13.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.5.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 {((- 5) + 5)}^{2} ({(- 5)}^{2} + 75) {((- 5) - 5)}^{2}}{9 \cdot 0^{3 (\frac{11}{3})}}$

Étape 13.5.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2 {((- 5) + 5)}^{2} ({(- 5)}^{2} + 75) {((- 5) - 5)}^{2}}{9 \cdot 0^{11}}$

Étape 13.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.6.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 {((- 5) + 5)}^{2} ({(- 5)}^{2} + 75) {((- 5) - 5)}^{2}}{9 \cdot 0}$

Étape 13.6.2

Multipliez $9$ par $0$ .

$- \frac{2 {((- 5) + 5)}^{2} ({(- 5)}^{2} + 75) {((- 5) - 5)}^{2}}{0}$

Étape 13.6.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- \frac{2 {((- 5) + 5)}^{2} ({(- 5)}^{2} + 75) {((- 5) - 5)}^{2}}{0}$

Étape 13.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 14

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 0) \cup (0, 5) \cup (5, \infty)$

Étape 14.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 8$ , de l’intervalle $(- \infty, - 5)$ dans la dérivée première $- \frac{2 x (5 + x) (5 - x)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 8$ dans l’expression.

$f' (- 8) = - \frac{2 (- 8) (5 - 8) (5 - (- 8))}{3 {| 25 - {(- 8)}^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.2.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (- 8) = - \frac{2 (- 8) (5 - 8) (5 - (- 8))}{3 {| 25 - {(- 8)}^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$f' (- 8) = - \frac{- 16 (5 - 8) (5 - (- 8))}{3 {| 25 - {(- 8)}^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.2.2.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$f' (- 8) = - \frac{- 16 (5 - 8) (5 - (- 8))}{3 {| 25 - 1 \cdot 64 |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.2.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$f' (- 8) = - \frac{- 16 (5 - 8) (5 - (- 8))}{3 {| 25 - 64 |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.2.2.2.2

Soustrayez $64$ de $25$ .

$f' (- 8) = - \frac{- 16 (5 - 8) (5 - (- 8))}{3 {| - 39 |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.2.2.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 39$ et $0$ est $39$ .

$f' (- 8) = - \frac{- 16 (5 - 8) (5 - (- 8))}{3 \cdot 39^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.2.2.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$f' (- 8) = - \frac{- 16 (5 - 8) (5 + 8)}{3 \cdot 39^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.2.2.3.2

Soustrayez $8$ de $5$ .

$f' (- 8) = - \frac{- 16 \cdot (- 3 (5 + 8))}{3 \cdot 39^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.2.2.3.3

Multipliez $- 16$ par $- 3$ .

$f' (- 8) = - \frac{48 (5 + 8)}{3 \cdot 39^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.2.2.3.4

Additionnez $5$ et $8$ .

$f' (- 8) = - \frac{48 \cdot 13}{3 \cdot 39^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.2.2.4

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.2.4.1

Multipliez $48$ par $13$ .

$f' (- 8) = - \frac{624}{3 \cdot 39^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.2.2.4.2

Factorisez $3$ à partir de $624$ .

$f' (- 8) = - \frac{3 \cdot 208}{3 \cdot 39^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.2.2.5

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.2.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 39^{\frac{5}{3}}$ .

$f' (- 8) = - \frac{3 \cdot 208}{3 (39^{\frac{5}{3}})}$

Étape 14.2.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f' (- 8) = - \frac{3 \cdot 208}{3 \cdot 39^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.2.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f' (- 8) = - \frac{208}{39^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.2.2.6

La réponse finale est $- \frac{208}{39^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{208}{39^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- 5, 0)$ dans la dérivée première $- \frac{2 x (5 + x) (5 - x)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = - \frac{2 (- 2) (5 - 2) (5 - (- 2))}{3 {| 25 - {(- 2)}^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.2.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (- 2) = - \frac{2 (- 2) (5 - 2) (5 - (- 2))}{3 {| 25 - {(- 2)}^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.3.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 4 (5 - 2) (5 - (- 2))}{3 {| 25 - {(- 2)}^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 4 (5 - 2) (5 - (- 2))}{3 {| 25 - 1 \cdot 4 |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.3.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 4 (5 - 2) (5 - (- 2))}{3 {| 25 - 4 |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.3.2.2.2

Soustrayez $4$ de $25$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 4 (5 - 2) (5 - (- 2))}{3 {| 21 |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.3.2.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $21$ est $21$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 4 (5 - 2) (5 - (- 2))}{3 \cdot 21^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.3.2.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 4 (5 - 2) (5 + 2)}{3 \cdot 21^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.3.2.3.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 4 \cdot (3 (5 + 2))}{3 \cdot 21^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.3.2.3.3

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 12 (5 + 2)}{3 \cdot 21^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.3.2.3.4

Additionnez $5$ et $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 12 \cdot 7}{3 \cdot 21^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.3.2.4

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.2.4.1

Multipliez $- 12$ par $7$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 84}{3 \cdot 21^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.3.2.4.2

Factorisez $3$ à partir de $- 84$ .

$f' (- 2) = - \frac{3 \cdot - 28}{3 \cdot 21^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.3.2.5

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.2.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 21^{\frac{5}{3}}$ .

$f' (- 2) = - \frac{3 \cdot - 28}{3 (21^{\frac{5}{3}})}$

Étape 14.3.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f' (- 2) = - \frac{3 \cdot - 28}{3 \cdot 21^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.3.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f' (- 2) = - \frac{- 28}{21^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 2) = \frac{28}{21^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.3.2.7

La réponse finale est $\frac{28}{21^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{28}{21^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.4

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, 5)$ dans la dérivée première $- \frac{2 x (5 + x) (5 - x)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = - \frac{2 (2) (5 + 2) (5 - (2))}{3 {| 25 - {(2)}^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.2.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (2) = - \frac{2 (2) (5 + 2) (5 - (2))}{3 {| 25 - {(2)}^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.4.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (2) = - \frac{4 (5 + 2) (5 - (2))}{3 {| 25 - 2^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.4.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.2.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = - \frac{4 (5 + 2) (5 - (2))}{3 {| 25 - 1 \cdot 4 |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.4.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (2) = - \frac{4 (5 + 2) (5 - (2))}{3 {| 25 - 4 |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.4.2.2.2

Soustrayez $4$ de $25$ .

$f' (2) = - \frac{4 (5 + 2) (5 - (2))}{3 {| 21 |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.4.2.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $21$ est $21$ .

$f' (2) = - \frac{4 (5 + 2) (5 - (2))}{3 \cdot 21^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.4.2.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (2) = - \frac{4 (5 + 2) (5 - 2)}{3 \cdot 21^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.4.2.3.2

Additionnez $5$ et $2$ .

$f' (2) = - \frac{4 \cdot (7 (5 - 2))}{3 \cdot 21^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.4.2.3.3

Multipliez $4$ par $7$ .

$f' (2) = - \frac{28 (5 - 2)}{3 \cdot 21^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.4.2.3.4

Soustrayez $2$ de $5$ .

$f' (2) = - \frac{28 \cdot 3}{3 \cdot 21^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.4.2.4

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.2.4.1

Multipliez $28$ par $3$ .

$f' (2) = - \frac{84}{3 \cdot 21^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.4.2.4.2

Factorisez $3$ à partir de $84$ .

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 28}{3 \cdot 21^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.4.2.5

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.2.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 21^{\frac{5}{3}}$ .

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 28}{3 (21^{\frac{5}{3}})}$

Étape 14.4.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 28}{3 \cdot 21^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.4.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f' (2) = - \frac{28}{21^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.4.2.6

La réponse finale est $- \frac{28}{21^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{28}{21^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.5

Remplacez tout nombre, tel que $8$ , de l’intervalle $(5, \infty)$ dans la dérivée première $- \frac{2 x (5 + x) (5 - x)}{3 {| 25 - x^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 14.5.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f' (8) = - \frac{2 (8) (5 + 8) (5 - (8))}{3 {| 25 - {(8)}^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.5.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.5.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (8) = - \frac{2 (8) (5 + 8) (5 - (8))}{3 {| 25 - {(8)}^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.5.2.1.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$f' (8) = - \frac{16 (5 + 8) (5 - (8))}{3 {| 25 - 8^{2} |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.5.2.2.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f' (8) = - \frac{16 (5 + 8) (5 - (8))}{3 {| 25 - 1 \cdot 64 |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.5.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$f' (8) = - \frac{16 (5 + 8) (5 - (8))}{3 {| 25 - 64 |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.5.2.2.2

Soustrayez $64$ de $25$ .

$f' (8) = - \frac{16 (5 + 8) (5 - (8))}{3 {| - 39 |}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.5.2.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 39$ et $0$ est $39$ .

$f' (8) = - \frac{16 (5 + 8) (5 - (8))}{3 \cdot 39^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.5.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f' (8) = - \frac{16 (5 + 8) (5 - 8)}{3 \cdot 39^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.5.2.3.2

Additionnez $5$ et $8$ .

$f' (8) = - \frac{16 \cdot (13 (5 - 8))}{3 \cdot 39^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.5.2.3.3

Multipliez $16$ par $13$ .

$f' (8) = - \frac{208 (5 - 8)}{3 \cdot 39^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.5.2.3.4

Soustrayez $8$ de $5$ .

$f' (8) = - \frac{208 \cdot - 3}{3 \cdot 39^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.5.2.4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 14.5.2.4.1

Multipliez $208$ par $- 3$ .

$f' (8) = - \frac{- 624}{3 \cdot 39^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.5.2.4.2

Factorisez $3$ à partir de $- 624$ .

$f' (8) = - \frac{3 \cdot - 208}{3 \cdot 39^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.5.2.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.5.2.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 39^{\frac{5}{3}}$ .

$f' (8) = - \frac{3 \cdot - 208}{3 (39^{\frac{5}{3}})}$

Étape 14.5.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f' (8) = - \frac{3 \cdot - 208}{3 \cdot 39^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.5.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f' (8) = - \frac{- 208}{39^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.5.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (8) = \frac{208}{39^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.5.2.7

La réponse finale est $\frac{208}{39^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{208}{39^{\frac{5}{3}}}$

Étape 14.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = - 5$ , $x = - 5$ est un minimum local.

$x = - 5$ est un minimum local

Étape 14.7

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un maximum local.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 14.8

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 5$ , $x = 5$ est un minimum local.

$x = 5$ est un minimum local

Étape 14.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \sqrt[3]{| 25 - x^{2} |} + 6$ .

$x = - 5$ est un minimum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = 5$ est un minimum local

$x = - 5$ est un minimum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = 5$ est un minimum local

Étape 15