Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{\frac{1}{x - 2}}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{\frac{1}{y - 2}}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{\frac{1}{y - 2}} = x$ .

$\sqrt{\frac{1}{y - 2}} = x$

Étape 2.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{\frac{1}{y - 2}}}^{2} = x^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\frac{1}{y - 2}}$ comme ${(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez ${({(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{1}{y - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{1}{y - 2})}^{1} = x^{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Simplifiez

$\frac{1}{y - 2} = x^{2}$

Étape 2.4

Résolvez $y$ .

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Étape 2.4.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.4.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y - 2, 1$

Étape 2.4.1.2

Supprimez les parenthèses.

$y - 2, 1$

Étape 2.4.1.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y - 2$

Étape 2.4.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{y - 2} = x^{2}$ par $y - 2$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{y - 2} = x^{2}$ par $y - 2$ .

$\frac{1}{y - 2} (y - 2) = x^{2} (y - 2)$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y - 2} (y - 2) = x^{2} (y - 2)$

Étape 2.4.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = x^{2} (y - 2)$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 = x^{2} y + x^{2} \cdot - 2$

Étape 2.4.2.3.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x^{2}$ .

$1 = x^{2} y - 2 x^{2}$

Étape 2.4.3

Résolvez l’équation.

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Étape 2.4.3.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} y - 2 x^{2} = 1$ .

$x^{2} y - 2 x^{2} = 1$

Étape 2.4.3.2

Ajoutez $2 x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} y = 1 + 2 x^{2}$

Étape 2.4.3.3

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = 1 + 2 x^{2}$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 2.4.3.3.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = 1 + 2 x^{2}$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

Étape 2.4.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.4.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

Étape 2.4.3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

Étape 2.4.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.3.3.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.4.3.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{2}}{x^{2}}$

Étape 2.4.3.3.3.1.2

Divisez $2$ par $1$ .

$y = \frac{1}{x^{2}} + 2$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\sqrt{\frac{1}{x - 2}})}^{2}} + 2$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.3.1.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Étape 4.2.3.1.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{1}{\sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Étape 4.2.3.1.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ par $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{1}{\sqrt{x - 2}} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Étape 4.2.3.1.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.3.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ par $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Étape 4.2.3.1.4.2

Élevez $\sqrt{x - 2}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Étape 4.2.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{x - 2}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}})}^{2}} + 2$

Étape 4.2.3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1 + 1}})}^{2}} + 2$

Étape 4.2.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{2}})}^{2}} + 2$

Étape 4.2.3.1.4.6

Réécrivez ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ comme $x - 2$ .

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Étape 4.2.3.1.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 2}$ comme ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}} + 2$

Étape 4.2.3.1.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}} + 2$

Étape 4.2.3.1.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}})}^{2}} + 2$

Étape 4.2.3.1.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.1.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}})}^{2}} + 2$

Étape 4.2.3.1.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2})}^{2}} + 2$

Étape 4.2.3.1.4.6.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2})}^{2}} + 2$

Étape 4.2.3.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt{x - 2}}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Étape 4.2.3.1.6

Réécrivez ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ comme $x - 2$ .

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Étape 4.2.3.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 2}$ comme ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Étape 4.2.3.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Étape 4.2.3.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Étape 4.2.3.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Étape 4.2.3.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{x - 2}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Étape 4.2.3.1.6.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{x - 2}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Étape 4.2.3.1.7

Annulez le facteur commun à $x - 2$ et ${(x - 2)}^{2}$ .

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Étape 4.2.3.1.7.1

Multipliez par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{(x - 2) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}} + 2$

Étape 4.2.3.1.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.1.7.2.1

Factorisez $x - 2$ à partir de ${(x - 2)}^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{(x - 2) \cdot 1}{(x - 2) (x - 2)}} + 2$

Étape 4.2.3.1.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{(x - 2) \cdot 1}{(x - 2) (x - 2)}} + 2$

Étape 4.2.3.1.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = \frac{1}{\frac{1}{x - 2}} + 2$

Étape 4.2.3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = 1 (x - 2) + 2$

Étape 4.2.3.3

Multipliez $x - 2$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = x - 2 + 2$

Étape 4.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 2 + 2$ .

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Étape 4.2.4.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = x + 0$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{\frac{1}{x - 2}}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{1}{x^{2}} + 2)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{\frac{1}{(\frac{1}{x^{2}} + 2) - 2}}$

Étape 4.3.3

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{x^{2}} + 0}}$

Étape 4.3.4

Additionnez $\frac{1}{x^{2}}$ et $0$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{1 x^{2}}$

Étape 4.3.6

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = \sqrt{x^{2}}$

Étape 4.3.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{1}{x^{2}} + 2) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{\frac{1}{x - 2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$