Calcul infinitésimal Exemples

$x \sqrt{x - 4}$

Étape 1

Écrivez $x \sqrt{x - 4}$ comme une fonction.

$f (x) = x \sqrt{x - 4}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 4}$ comme ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}] + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x - 4$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 4$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.8

Associez les fractions.

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Étape 2.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.8.3

Placez ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 4] + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.11

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.12.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.12.2

Multipliez $\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 2.14

Multipliez ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.15

Pour écrire ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.16

Associez ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.18

Multipliez ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.18.1

Déplacez ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.18.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x + {(x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.18.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + {(x - 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.18.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x + {(x - 4)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.18.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{x + {(x - 4)}^{1} \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.19

Simplifiez ${(x - 4)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x + (x - 4) \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.20

Déplacez $2$ à gauche de $x - 4$ .

$\frac{x + 2 \cdot (x - 4)}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.21

Simplifiez

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Étape 2.21.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot - 4}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.21.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.21.2.1

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\frac{x + 2 x - 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.21.2.2

Additionnez $x$ et $2 x$ .

$\frac{3 x - 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x - 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 8}{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{3 x - 8}{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 3 x - 8$ et $g (x) = {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3

Multipliez les exposants dans ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{x - 4}$

Étape 3.4

Simplifiez

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{x - 4}$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{x - 4}$

Étape 3.5.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{x - 4}$

Étape 3.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{x - 4}$

Étape 3.5.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{x - 4}$

Étape 3.5.5

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (3 + 0) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{x - 4}$

Étape 3.5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{x - 4}$

Étape 3.5.6.2

Déplacez $3$ à gauche de ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{x - 4}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x - 4$ .

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Étape 3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x - 4$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - 4$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 3.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 3.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 3.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 3.11

Associez les fractions.

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Étape 3.11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 3.11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{{(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 3.11.3

Placez ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 4))}{x - 4}$

Étape 3.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)))}{x - 4}$

Étape 3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 4)))}{x - 4}$

Étape 3.14

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0))}{x - 4}$

Étape 3.15

Associez les fractions.

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Étape 3.15.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{x - 4}$

Étape 3.15.2

Multipliez $\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) \frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 4}$

Étape 3.15.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) \frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 4}$ .

$f'' (x) = \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) \frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 (x - 4)}$

Étape 3.16

Simplifiez

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Étape 3.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} + (- (3 x) + 8) (\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x - 4)}$

Étape 3.16.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} + (- (3 x) + 8) (\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Étape 3.16.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.16.3.1

Ajoutez des parenthèses.

$f'' (x) = \frac{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot (3 x) + 8) (\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Étape 3.16.3.2

Laissez $u_{2} = {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ par $u_{2}$ .

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Étape 3.16.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{\frac{3 \cdot (2 u_{2} u_{2}) - 3 x + 8}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Étape 3.16.3.2.2

Multipliez $u_{2}$ par $u_{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.16.3.2.2.1

Déplacez $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 \cdot (2 (u_{2} u_{2})) - 3 x + 8}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Étape 3.16.3.2.2.2

Multipliez $u_{2}$ par $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 \cdot (2 {u_{2}}^{2}) - 3 x + 8}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Étape 3.16.3.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {u_{2}}^{2} - 3 x + 8}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Étape 3.16.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 x + 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Étape 3.16.3.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.16.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.16.3.4.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.16.3.4.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 x + 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Étape 3.16.3.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.16.3.4.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 x + 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Étape 3.16.3.4.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 (x - 4) - 3 x + 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Étape 3.16.3.4.1.2

Simplifiez

$f'' (x) = \frac{\frac{6 (x - 4) - 3 x + 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Étape 3.16.3.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x + 6 \cdot - 4 - 3 x + 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Étape 3.16.3.4.1.4

Multipliez $6$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 x - 24 - 3 x + 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Étape 3.16.3.4.2

Soustrayez $3 x$ de $6 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 x - 24 + 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Étape 3.16.3.4.3

Additionnez $- 24$ et $8$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 x - 16}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot - 4}$

Étape 3.16.4

Associez des termes.

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Étape 3.16.4.1

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 x - 16}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 8}$

Étape 3.16.4.2

Réécrivez $\frac{\frac{3 x - 16}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 8}$ comme un produit.

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x - 8}$

Étape 3.16.4.3

Multipliez $\frac{3 x - 16}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{2 x - 8}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 8)}$

Étape 3.16.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.16.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 8$ .

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Étape 3.16.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) - 8)}$

Étape 3.16.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot - 4)}$

Étape 3.16.5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot - 4$ .

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 (x - 4))}$

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (x - 4))}$

Étape 3.16.5.2

Associez les exposants.

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Étape 3.16.5.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 4)}$

Étape 3.16.5.2.2

Élevez $x - 4$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{4 ((x - 4) {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 3.16.5.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{4 {(x - 4)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Étape 3.16.5.2.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{4 {(x - 4)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 3.16.5.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{4 {(x - 4)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Étape 3.16.5.2.6

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{4 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{3 x - 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 4}$ comme ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 5.1.2

$x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}] + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x - 4$ .

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Étape 5.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 4$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.8

Associez les fractions.

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Étape 5.1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.8.3

Placez ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 4] + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.11

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.12.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.12.2

Multipliez $\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 5.1.14

Multipliez ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 5.1.15

Pour écrire ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.16

Associez ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.18

Multipliez ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.18.1

Déplacez ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.18.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x + {(x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.18.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + {(x - 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.18.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x + {(x - 4)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.18.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{x + {(x - 4)}^{1} \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.19

Simplifiez ${(x - 4)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x + (x - 4) \cdot 2}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.20

Déplacez $2$ à gauche de $x - 4$ .

$\frac{x + 2 \cdot (x - 4)}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.21

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.21.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot - 4}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.21.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.21.2.1

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\frac{x + 2 x - 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.1.21.2.2

Additionnez $x$ et $2 x$ .

$f' (x) = \frac{3 x - 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{3 x - 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x - 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{3 x - 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{3 x - 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 x - 8 = 0$

Étape 6.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.3.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 8$

Étape 6.3.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 8$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 8$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Étape 6.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{8}{3}$

Étape 6.4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\frac{3 x - 8}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ vrai.

$Aucune solution$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 7.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{3 x - 8}{2 \sqrt{{(x - 4)}^{1}}}$

Étape 7.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{3 x - 8}{2 \sqrt{x - 4}}$

Étape 7.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 x - 8}{2 \sqrt{x - 4}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 \sqrt{x - 4} = 0$

Étape 7.3

Résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{x - 4})}^{2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 7.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 4}$ comme ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.2.2.1

Simplifiez ${(2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 7.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 7.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(x - 4)}^{1} = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.4

Simplifiez

$4 (x - 4) = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 4 \cdot - 4 = 0^{2}$

Étape 7.3.2.2.1.6

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$4 x - 16 = 0^{2}$

Étape 7.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 x - 16 = 0$

Étape 7.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 7.3.3.1

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 16$

Étape 7.3.3.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 16$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 7.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 16$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{16}{4}$

Étape 7.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{16}{4}$

Étape 7.3.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{16}{4}$

Étape 7.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.3.2.3.1

Divisez $16$ par $4$ .

$x = 4$

Étape 7.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{x - 4}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 4 < 0$

Étape 7.5

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x < 4$

Étape 7.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 4$

$(- \infty, 4]$

$x \leq 4$

$(- \infty, 4]$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 4$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 4$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{3 (4) - 16}{4 {((4) - 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.1.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{3 (4) - 16}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.1.2

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{3 (4) - 16}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 10.1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 (4) - 16}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (4) - 16}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 10.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (4) - 16}{4 \cdot 0^{3}}$

Étape 10.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{3 (4) - 16}{4 \cdot 0}$

Étape 10.3.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{3 (4) - 16}{0}$

Étape 10.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{3 (4) - 16}{0}$

Étape 10.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 11

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 12