Calcul infinitésimal Exemples

$| 8 - x^{2} |$

Étape 1

Écrivez $| 8 - x^{2} |$ comme une fonction.

$f (x) = | 8 - x^{2} |$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = 8 - x^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $| u |$ par rapport à $u$ est $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 - x^{2}$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 2.2.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 2.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (- (2 x))$

Étape 2.2.6

Associez les fractions.

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (- 2 x)$

Étape 2.2.6.2

Associez $- 2$ et $\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |}$ .

$\frac{- 2 (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |} x$

Étape 2.2.6.3

Associez $\frac{- 2 (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ et $x$ .

$\frac{- 2 (8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$

Étape 2.2.6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(2 (8 - x^{2})) x}{| 8 - x^{2} |}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{(2 \cdot 8 + 2 (- x^{2})) x}{| 8 - x^{2} |}$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 \cdot 8 x + 2 (- x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$- \frac{16 x + 2 (- x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.3.2.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{16 x + 2 (- (x \cdot x^{2}))}{| 8 - x^{2} |}$

Étape 2.3.3.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{16 x + 2 (- (x^{1} x^{2}))}{| 8 - x^{2} |}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{16 x + 2 (- x^{1 + 2})}{| 8 - x^{2} |}$

Étape 2.3.3.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{16 x + 2 (- x^{3})}{| 8 - x^{2} |}$

Étape 2.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{16 x - 2 x^{3}}{| 8 - x^{2} |}$

Étape 2.3.4

Factorisez $2 x$ à partir de $16 x - 2 x^{3}$ .

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Étape 2.3.4.1

Factorisez $2 x$ à partir de $16 x$ .

$- \frac{2 x (8) - 2 x^{3}}{| 8 - x^{2} |}$

Étape 2.3.4.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$- \frac{2 x (8) + 2 x (- x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$

Étape 2.3.4.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (8) + 2 x (- x^{2})$ .

$- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x (8 - x^{2})$ et $g (x) = | 8 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | \frac{d}{d x} (x (8 - x^{2})) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 8 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (x \frac{d}{d x} (8 - x^{2}) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (x (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.4.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (x (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (x \frac{d}{d x} (- x^{2}) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (x (- \frac{d}{d x} x^{2}) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (x (- (2 x)) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.4.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (x (- 2 x) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 2 (x \cdot x) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 2 (x \cdot x) + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 2 x^{1 + 1} + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 2 x^{2} + (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x)) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 2 x^{2} + (8 - x^{2}) \cdot 1) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.8.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.8.3.1

Multipliez $8 - x^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 2 x^{2} + 8 - x^{2}) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.8.3.2

Soustrayez $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - x (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} | 8 - x^{2} |}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = 8 - x^{2}$ .

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Étape 3.9.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - x (8 - x^{2}) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.9.2

La dérivée de $| u |$ par rapport à $u$ est $\frac{u}{| u |}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - x (8 - x^{2}) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.9.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - x (8 - x^{2}) (\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} \cdot \frac{d}{d x} (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.10

Différenciez.

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Étape 3.10.1

Associez $\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |}$ et $x$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - \frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (8 - x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.10.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - \frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |} \cdot ((8 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (8) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.10.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - \frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |} \cdot ((8 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.10.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - \frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.10.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) - \frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |} \cdot ((8 - x^{2}) (- \frac{d}{d x} x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.10.6

Multipliez.

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Étape 3.10.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + 1 (\frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}) \cdot (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.10.6.2

Multipliez $\frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.10.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |} \cdot ((8 - x^{2}) (2 x))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.10.8

Associez les fractions.

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Étape 3.10.8.1

Associez $2$ et $\frac{(8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{2 ((8 - x^{2}) x)}{| 8 - x^{2} |} \cdot ((8 - x^{2}) x)}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.10.8.2

Associez $x$ et $\frac{2 ((8 - x^{2}) x)}{| 8 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x (2 ((8 - x^{2}) x))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x \cdot x (2 (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x \cdot x (2 (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x^{1 + 1} (2 (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x^{2} (2 (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.15

Associez $- 2$ et $\frac{| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x^{2} (2 (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} (8 - x^{2})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x^{2} (2 (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x^{2} (2 (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17

Simplifiez

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Étape 3.17.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x^{2} (2 \cdot 8 + 2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8) + \frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2} + 8)) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.17.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.17.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 (| 8 - x^{2} | (- 3 x^{2}) + | 8 - x^{2} | \cdot 8) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 | 8 - x^{2} | x^{2} + | 8 - x^{2} | \cdot 8) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.1.3

Déplacez $8$ à gauche de $| 8 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 | 8 - x^{2} | x^{2} + 8 \cdot | 8 - x^{2} |) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 | 8 - x^{2} | x^{2}) + 2 (8 | 8 - x^{2} |) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.1.5

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 (| 8 - x^{2} | x^{2}) + 2 (8 | 8 - x^{2} |) + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.1.6

Multipliez $8$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 (| 8 - x^{2} | x^{2}) + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{x^{2} (2 \cdot 8) + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.17.4.1.7.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{x^{2} \cdot 16 + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.1.7.2

Déplacez $16$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{16 \cdot x^{2} + x^{2} (2 (- x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.1.7.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{16 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x^{2} x^{2})}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.1.7.4

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.17.4.1.7.4.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{16 x^{2} + 2 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2}))}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.1.7.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{16 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x^{2 + 2})}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.1.7.4.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{16 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x^{4})}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.1.7.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{16 x^{2} - 2 x^{4}}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.1.7.6

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $16 x^{2} - 2 x^{4}$ .

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Étape 3.17.4.1.7.6.1

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $16 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} (8) - 2 x^{4}}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.1.7.6.2

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $- 2 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} (8) + 2 x^{2} (- x^{2})}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.1.7.6.3

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $2 x^{2} (8) + 2 x^{2} (- x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |} \cdot (8 - x^{2}))}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.1.8

Multipliez $\frac{2 x^{2} (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ par $8 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} (8 - x^{2}) (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.1.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.17.4.1.9.1

Élevez $8 - x^{2}$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} ((8 - x^{2}) (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.1.9.2

Élevez $8 - x^{2}$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} ((8 - x^{2}) (8 - x^{2}))}{| 8 - x^{2} |})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.1.9.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} {(8 - x^{2})}^{1 + 1}}{| 8 - x^{2} |})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.1.9.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + 2 (\frac{2 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |})}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.1.10

Multipliez $2 \frac{2 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |}$ .

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Étape 3.17.4.1.10.1

Associez $2$ et $\frac{2 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 (2 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.1.10.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + \frac{4 (x^{2} {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} + 16 | 8 - x^{2} | + \frac{4 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.2

Pour écrire $- 6 | 8 - x^{2} | x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{| 8 - x^{2} |}{| 8 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | - 6 | 8 - x^{2} | x^{2} \cdot \frac{| 8 - x^{2} |}{| 8 - x^{2} |} + \frac{4 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.3

Associez $- 6 | 8 - x^{2} | x^{2}$ et $\frac{| 8 - x^{2} |}{| 8 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} | 8 - x^{2} |}{| 8 - x^{2} |} + \frac{4 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} | 8 - x^{2} | + 4 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.17.4.5.1

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} | 8 - x^{2} | + 4 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.17.4.5.1.1

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $- 6 | 8 - x^{2} | x^{2} | 8 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |) + 4 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.1.2

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $4 x^{2} {(8 - x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |) + 2 x^{2} (2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.1.3

Factorisez $2 x^{2}$ à partir de $2 x^{2} (- 3 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |) + 2 x^{2} (2 {(8 - x^{2})}^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.2

Associez les exposants.

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Étape 3.17.4.5.2.1

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.2.2

Élevez $8 - x^{2}$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.2.3

Élevez $8 - x^{2}$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | {(8 - x^{2})}^{1 + 1} | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | {(8 - x^{2})}^{2} | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.17.4.5.3.1

Réécrivez ${(8 - x^{2})}^{2}$ comme $(8 - x^{2}) (8 - x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3.2

Développez $(8 - x^{2}) (8 - x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.17.4.5.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 8 (8 - x^{2}) - x^{2} (8 - x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 8 \cdot 8 + 8 (- x^{2}) - x^{2} (8 - x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 8 \cdot 8 + 8 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.17.4.5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.17.4.5.3.3.1.1

Multipliez $8$ par $8$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 + 8 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3.3.1.3

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3.3.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.17.4.5.3.3.1.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3.3.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3.3.1.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4}) | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} + 1 x^{4} | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3.3.1.7

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} + x^{4} | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3.3.2

Soustrayez $8 x^{2}$ de $- 8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 {(8 - x^{2})}^{2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3.4

Réécrivez ${(8 - x^{2})}^{2}$ comme $(8 - x^{2}) (8 - x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 ((8 - x^{2}) (8 - x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3.5

Développez $(8 - x^{2}) (8 - x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.17.4.5.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (8 (8 - x^{2}) - x^{2} (8 - x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (8 \cdot 8 + 8 (- x^{2}) - x^{2} (8 - x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (8 \cdot 8 + 8 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.17.4.5.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.17.4.5.3.6.1.1

Multipliez $8$ par $8$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 + 8 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3.6.1.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3.6.1.3

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - x^{2} (- x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3.6.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3.6.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.17.4.5.3.6.1.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2}))))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3.6.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3.6.1.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4})))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} + 1 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3.6.1.7

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} + x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3.6.2

Soustrayez $8 x^{2}$ de $- 8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 (64 - 16 x^{2} + x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3.7

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 2 \cdot 64 + 2 (- 16 x^{2}) + 2 x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3.8

Simplifiez

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Étape 3.17.4.5.3.8.1

Multipliez $2$ par $64$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 + 2 (- 16 x^{2}) + 2 x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.5.3.8.2

Multipliez $- 16$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 | 8 - x^{2} | + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.6

Pour écrire $16 | 8 - x^{2} |$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{| 8 - x^{2} |}{| 8 - x^{2} |}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |}{| 8 - x^{2} |} + \frac{2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} | + 2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.17.4.8.1

Factorisez $2$ à partir de $16 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} | + 2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4})$ .

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Étape 3.17.4.8.1.1

Factorisez $2$ à partir de $16 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |) + 2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |) + 2 (x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (8 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |) + 2 (x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.2

Multipliez $8 | 8 - x^{2} | | 8 - x^{2} |$ .

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Étape 3.17.4.8.2.1

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.2.2

Élevez $8 - x^{2}$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.2.3

Élevez $8 - x^{2}$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | {(8 - x^{2})}^{1 + 1} | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | {(8 - x^{2})}^{2} | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.3

Réécrivez ${(8 - x^{2})}^{2}$ comme $(8 - x^{2}) (8 - x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | (8 - x^{2}) (8 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.4

Développez $(8 - x^{2}) (8 - x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.17.4.8.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 8 (8 - x^{2}) - x^{2} (8 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 8 \cdot 8 + 8 (- x^{2}) - x^{2} (8 - x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 8 \cdot 8 + 8 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.17.4.8.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.17.4.8.5.1.1

Multipliez $8$ par $8$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 + 8 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - x^{2} \cdot 8 - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.5.1.3

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.5.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.5.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.17.4.8.5.1.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.5.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.5.1.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} - 1 \cdot (- 1 x^{4}) | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.5.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} + 1 x^{4} | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.5.1.7

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 8 x^{2} - 8 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.5.2

Soustrayez $8 x^{2}$ de $- 8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 - 32 x^{2} + 2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.6

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + x^{2} (- 3 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} |) + x^{2} \cdot 128 + x^{2} (- 32 x^{2}) + x^{2} (2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.17.4.8.7.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + x^{2} \cdot 128 + x^{2} (- 32 x^{2}) + x^{2} (2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.7.2

Déplacez $128$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 \cdot x^{2} + x^{2} (- 32 x^{2}) + x^{2} (2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.7.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 \cdot x^{2} - 32 x^{2} x^{2} + x^{2} (2 x^{4}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.7.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 \cdot x^{2} - 32 x^{2} x^{2} + 2 x^{2} x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.17.4.8.8.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.17.4.8.8.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 (x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.8.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{2 + 2} + 2 x^{2} x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.8.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{2} x^{4})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.8.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.17.4.8.8.2.1

Déplacez $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 (x^{4} x^{2}))}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{4 + 2})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.4.8.8.2.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.5

Associez des termes.

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Étape 3.17.5.1

Réécrivez $\frac{\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{| 8 - x^{2} |}}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$ comme un produit.

$f'' (x) = - (\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{| 8 - x^{2} |} \cdot \frac{1}{{| 8 - x^{2} |}^{2}})$

Étape 3.17.5.2

Multipliez $\frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{| 8 - x^{2} |}$ par $\frac{1}{{| 8 - x^{2} |}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{| 8 - x^{2} | {| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.5.3

Multipliez $| 8 - x^{2} |$ par ${| 8 - x^{2} |}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.17.5.3.1

Multipliez $| 8 - x^{2} |$ par ${| 8 - x^{2} |}^{2}$ .

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Étape 3.17.5.3.1.1

Élevez $| 8 - x^{2} |$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{| 8 - x^{2} | {| 8 - x^{2} |}^{2}}$

Étape 3.17.5.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{{| 8 - x^{2} |}^{1 + 2}}$

Étape 3.17.5.3.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (8 | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | - 3 x^{2} | 64 - 16 x^{2} + x^{4} | + 128 x^{2} - 32 x^{4} + 2 x^{6})}{{| 8 - x^{2} |}^{3}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = | x |$ et $g (x) = 8 - x^{2}$ .

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Étape 5.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

Étape 5.1.1.2

La dérivée de $| u |$ par rapport à $u$ est $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

Étape 5.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 - x^{2}$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

Étape 5.1.2

Différenciez.

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Étape 5.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 5.1.2.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 5.1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 5.1.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 5.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (- (2 x))$

Étape 5.1.2.6

Associez les fractions.

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Étape 5.1.2.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |} (- 2 x)$

Étape 5.1.2.6.2

Associez $- 2$ et $\frac{8 - x^{2}}{| 8 - x^{2} |}$ .

$\frac{- 2 (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |} x$

Étape 5.1.2.6.3

Associez $\frac{- 2 (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ et $x$ .

$\frac{- 2 (8 - x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$

Étape 5.1.2.6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(2 (8 - x^{2})) x}{| 8 - x^{2} |}$

Étape 5.1.3

Simplifiez

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Étape 5.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{(2 \cdot 8 + 2 (- x^{2})) x}{| 8 - x^{2} |}$

Étape 5.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 \cdot 8 x + 2 (- x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$

Étape 5.1.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.3.3.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$- \frac{16 x + 2 (- x^{2}) x}{| 8 - x^{2} |}$

Étape 5.1.3.3.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.3.3.2.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{16 x + 2 (- (x \cdot x^{2}))}{| 8 - x^{2} |}$

Étape 5.1.3.3.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.1.3.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{16 x + 2 (- (x^{1} x^{2}))}{| 8 - x^{2} |}$

Étape 5.1.3.3.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{16 x + 2 (- x^{1 + 2})}{| 8 - x^{2} |}$

Étape 5.1.3.3.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{16 x + 2 (- x^{3})}{| 8 - x^{2} |}$

Étape 5.1.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{16 x - 2 x^{3}}{| 8 - x^{2} |}$

Étape 5.1.3.4

Factorisez $2 x$ à partir de $16 x - 2 x^{3}$ .

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Étape 5.1.3.4.1

Factorisez $2 x$ à partir de $16 x$ .

$- \frac{2 x (8) - 2 x^{3}}{| 8 - x^{2} |}$

Étape 5.1.3.4.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$- \frac{2 x (8) + 2 x (- x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$

Étape 5.1.3.4.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (8) + 2 x (- x^{2})$ .

$f' (x) = - \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ .

$- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x (8 - x^{2}) = 0$

Étape 6.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$8 - x^{2} = 0$

Étape 6.3.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.3.3

Définissez $8 - x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.3.1

Définissez $8 - x^{2}$ égal à $0$ .

$8 - x^{2} = 0$

Étape 6.3.3.2

Résolvez $8 - x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.3.3.2.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 8$

Étape 6.3.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 8$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.3.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 8$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Étape 6.3.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Étape 6.3.3.2.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 1}$

Étape 6.3.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.2.2.3.1

Divisez $- 8$ par $- 1$ .

$x^{2} = 8$

Étape 6.3.3.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{8}$

Étape 6.3.3.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{8}$ .

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Étape 6.3.3.2.4.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 6.3.3.2.4.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

Étape 6.3.3.2.4.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Étape 6.3.3.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

Étape 6.3.3.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.3.3.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 \sqrt{2}$

Étape 6.3.3.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 \sqrt{2}$

Étape 6.3.3.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Étape 6.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (8 - x^{2}) = 0$ vraie.

$x = 0, 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Étape 6.4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |} = 0$ vrai.

$x = 0$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$| 8 - x^{2} | = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x$ .

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Étape 7.2.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$8 - x^{2} = \pm 0$

Étape 7.2.2

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$8 - x^{2} = 0$

Étape 7.2.3

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 8$

Étape 7.2.4

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 8$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 7.2.4.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 8$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Étape 7.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Étape 7.2.4.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 1}$

Étape 7.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.4.3.1

Divisez $- 8$ par $- 1$ .

$x^{2} = 8$

Étape 7.2.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{8}$

Étape 7.2.6

Simplifiez $\pm \sqrt{8}$ .

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Étape 7.2.6.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.6.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

Étape 7.2.6.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Étape 7.2.6.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

Étape 7.2.7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2 \sqrt{2}$

Étape 7.2.7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2 \sqrt{2}$

Étape 7.2.7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

Étape 7.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 2 \sqrt{2}, x = 2 \sqrt{2}$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2 (8 | 64 - 16 {(0)}^{2} + {(0)}^{4} | - 3 {(0)}^{2} | 64 - 16 {(0)}^{2} + {(0)}^{4} | + 128 {(0)}^{2} - 32 {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{6})}{{| 8 - {(0)}^{2} |}^{3}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (8 | 64 - 16 \cdot 0 + 0^{4} | - 3 \cdot 0^{2} | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 10.1.1.2

Multipliez $- 16$ par $0$ .

$- \frac{2 (8 | 64 + 0 + 0^{4} | - 3 \cdot 0^{2} | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 10.1.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (8 | 64 + 0 + 0 | - 3 \cdot 0^{2} | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 10.1.2

Additionnez $64$ et $0$ .

$- \frac{2 (8 | 64 + 0 | - 3 \cdot 0^{2} | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 10.1.3

Additionnez $64$ et $0$ .

$- \frac{2 (8 | 64 | - 3 \cdot 0^{2} | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 10.1.4

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $64$ est $64$ .

$- \frac{2 (8 \cdot 64 - 3 \cdot 0^{2} | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 10.1.5

Multipliez $8$ par $64$ .

$- \frac{2 (512 - 3 \cdot 0^{2} | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 10.1.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (512 - 3 \cdot 0 | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 10.1.7

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 | 64 - 16 \cdot 0^{2} + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 10.1.8

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1.8.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 | 64 - 16 \cdot 0 + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 10.1.8.2

Multipliez $- 16$ par $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 | 64 + 0 + 0^{4} | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 10.1.8.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 | 64 + 0 + 0 | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 10.1.9

Additionnez $64$ et $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 | 64 + 0 | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 10.1.10

Additionnez $64$ et $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 | 64 | + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 10.1.11

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $64$ est $64$ .

$- \frac{2 (512 + 0 \cdot 64 + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 10.1.12

Multipliez $0$ par $64$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 128 \cdot 0^{2} - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 10.1.13

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 128 \cdot 0 - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 10.1.14

Multipliez $128$ par $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 0 - 32 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 10.1.15

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 0 - 32 \cdot 0 + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 10.1.16

Multipliez $- 32$ par $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 0 + 0 + 2 \cdot 0^{6})}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 10.1.17

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 0 + 0 + 2 \cdot 0)}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 10.1.18

Multipliez $2$ par $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 0 + 0 + 0)}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 10.1.19

Additionnez $512 + 0 + 0 + 0$ et $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 0 + 0)}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 10.1.20

Additionnez $512 + 0 + 0$ et $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0 + 0)}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 10.1.21

Additionnez $512 + 0$ et $0$ .

$- \frac{2 (512 + 0)}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 10.1.22

Additionnez $512$ et $0$ .

$- \frac{2 \cdot 512}{{| 8 - 0^{2} |}^{3}}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2 \cdot 512}{{| 8 - 0 |}^{3}}$

Étape 10.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \frac{2 \cdot 512}{{| 8 + 0 |}^{3}}$

Étape 10.2.3

Additionnez $8$ et $0$ .

$- \frac{2 \cdot 512}{{| 8 |}^{3}}$

Étape 10.2.4

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $8$ est $8$ .

$- \frac{2 \cdot 512}{8^{3}}$

Étape 10.2.5

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$- \frac{2 \cdot 512}{512}$

Étape 10.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.3.1

Multipliez $2$ par $512$ .

$- \frac{1024}{512}$

Étape 10.3.2

Divisez $1024$ par $512$ .

$- 1 \cdot 2$

Étape 10.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2$

Étape 11

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = | 8 - {(0)}^{2} |$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = | 8 - 0 |$

Étape 12.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = | 8 + 0 |$

Étape 12.2.2

Additionnez $8$ et $0$ .

$f (0) = | 8 |$

Étape 12.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $8$ est $8$ .

$f (0) = 8$

Étape 12.2.4

La réponse finale est $8$ .

$y = 8$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 2 \sqrt{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{2 (8 | 64 - 16 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{4} | - 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} | 64 - 16 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{4} | + 128 {(- 2 \sqrt{2})}^{2} - 32 {(- 2 \sqrt{2})}^{4} + 2 {(- 2 \sqrt{2})}^{6})}{{| 8 - {(- 2 \sqrt{2})}^{2} |}^{3}}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 2 \sqrt{2}$ .

Étape 14.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

Étape 14.1.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 14.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

Étape 14.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Étape 14.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

Étape 14.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 14.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

Étape 14.1.3.5

Évaluez l’exposant.

Étape 14.1.4

Multipliez $- (4 \cdot 2)$ .

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Étape 14.1.4.1

Multipliez $4$ par $2$ .

Étape 14.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

Étape 14.2

Soustrayez $8$ de $8$ .

Étape 14.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

Étape 14.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

Étape 14.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 15

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 15.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 2 \sqrt{2}) \cup (- 2 \sqrt{2}, 0) \cup (0, 2 \sqrt{2}) \cup (2 \sqrt{2}, \infty)$

Étape 15.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 5$ , de l’intervalle $(- \infty, - 2 \sqrt{2})$ dans la dérivée première $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f' (- 5) = - \frac{2 (- 5) (8 - {(- 5)}^{2})}{| 8 - {(- 5)}^{2} |}$

Étape 15.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.2.1

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (8 - {(- 5)}^{2})}{| 8 - {(- 5)}^{2} |}$

Étape 15.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.2.2.2.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (8 - {(- 5)}^{2})}{| 8 - 1 \cdot 25 |}$

Étape 15.2.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (8 - {(- 5)}^{2})}{| 8 - 25 |}$

Étape 15.2.2.2.3

Soustrayez $25$ de $8$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (8 - {(- 5)}^{2})}{| - 17 |}$

Étape 15.2.2.2.4

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 17$ et $0$ est $17$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (8 - {(- 5)}^{2})}{17}$

Étape 15.2.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.2.2.3.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (8 - 1 \cdot 25)}{17}$

Étape 15.2.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 (8 - 25)}{17}$

Étape 15.2.2.3.3

Soustrayez $25$ de $8$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 10 \cdot - 17}{17}$

Étape 15.2.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.2.2.4.1

Multipliez $- 10$ par $- 17$ .

$f' (- 5) = - \frac{170}{17}$

Étape 15.2.2.4.2

Divisez $170$ par $17$ .

$f' (- 5) = - 1 \cdot 10$

Étape 15.2.2.4.3

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$f' (- 5) = - 10$

Étape 15.2.2.5

La réponse finale est $- 10$ .

$- 10$

Étape 15.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 1$ , de l’intervalle $(- 2 \sqrt{2}, 0)$ dans la dérivée première $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1) (8 - {(- 1)}^{2})}{| 8 - {(- 1)}^{2} |}$

Étape 15.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.3.2.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 15.3.2.1.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1) (8 + (- 1) {(- 1)}^{2})}{| 8 - {(- 1)}^{2} |}$

Étape 15.3.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1) (8 + {(- 1)}^{1 + 2})}{| 8 - {(- 1)}^{2} |}$

Étape 15.3.2.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1) (8 + {(- 1)}^{3})}{| 8 - {(- 1)}^{2} |}$

Étape 15.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 + {(- 1)}^{3})}{| 8 - {(- 1)}^{2} |}$

Étape 15.3.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.3.2.3.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.3.2.3.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 15.3.2.3.1.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 + {(- 1)}^{3})}{| 8 + (- 1) {(- 1)}^{2} |}$

Étape 15.3.2.3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 + {(- 1)}^{3})}{| 8 + {(- 1)}^{1 + 2} |}$

Étape 15.3.2.3.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 + {(- 1)}^{3})}{| 8 + {(- 1)}^{3} |}$

Étape 15.3.2.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 + {(- 1)}^{3})}{| 8 - 1 |}$

Étape 15.3.2.3.3

Soustrayez $1$ de $8$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 + {(- 1)}^{3})}{| 7 |}$

Étape 15.3.2.3.4

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $7$ est $7$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 + {(- 1)}^{3})}{7}$

Étape 15.3.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.3.2.4.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 (8 - 1)}{7}$

Étape 15.3.2.4.2

Soustrayez $1$ de $8$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 \cdot 7}{7}$

Étape 15.3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.3.2.5.1

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 14}{7}$

Étape 15.3.2.5.2

Divisez $- 14$ par $7$ .

$f' (- 1) = 2$

Étape 15.3.2.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f' (- 1) = 2$

Étape 15.3.2.6

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 15.4

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(0, 2 \sqrt{2})$ dans la dérivée première $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.4.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = - \frac{2 (1) (8 - {(1)}^{2})}{| 8 - {(1)}^{2} |}$

Étape 15.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.4.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (8 - 1^{2})}{| 8 - 1^{2} |}$

Étape 15.4.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.4.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - \frac{2 (8 - 1^{2})}{| 8 - 1 \cdot 1 |}$

Étape 15.4.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (8 - 1^{2})}{| 8 - 1 |}$

Étape 15.4.2.2.3

Soustrayez $1$ de $8$ .

$f' (1) = - \frac{2 (8 - 1^{2})}{| 7 |}$

Étape 15.4.2.2.4

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $7$ est $7$ .

$f' (1) = - \frac{2 (8 - 1^{2})}{7}$

Étape 15.4.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.4.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = - \frac{2 (8 - 1 \cdot 1)}{7}$

Étape 15.4.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (8 - 1)}{7}$

Étape 15.4.2.3.3

Soustrayez $1$ de $8$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot 7}{7}$

Étape 15.4.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.4.2.4.1

Multipliez $2$ par $7$ .

$f' (1) = - \frac{14}{7}$

Étape 15.4.2.4.2

Divisez $14$ par $7$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 2$

Étape 15.4.2.4.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (1) = - 2$

Étape 15.4.2.5

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 15.5

Remplacez tout nombre, tel que $5$ , de l’intervalle $(2 \sqrt{2}, \infty)$ dans la dérivée première $- \frac{2 x (8 - x^{2})}{| 8 - x^{2} |}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 15.5.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f' (5) = - \frac{2 (5) (8 - {(5)}^{2})}{| 8 - {(5)}^{2} |}$

Étape 15.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.5.2.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$f' (5) = - \frac{10 (8 - 5^{2})}{| 8 - 5^{2} |}$

Étape 15.5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.5.2.2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f' (5) = - \frac{10 (8 - 5^{2})}{| 8 - 1 \cdot 25 |}$

Étape 15.5.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$f' (5) = - \frac{10 (8 - 5^{2})}{| 8 - 25 |}$

Étape 15.5.2.2.3

Soustrayez $25$ de $8$ .

$f' (5) = - \frac{10 (8 - 5^{2})}{| - 17 |}$

Étape 15.5.2.2.4

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 17$ et $0$ est $17$ .

$f' (5) = - \frac{10 (8 - 5^{2})}{17}$

Étape 15.5.2.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.5.2.3.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f' (5) = - \frac{10 (8 - 1 \cdot 25)}{17}$

Étape 15.5.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$f' (5) = - \frac{10 (8 - 25)}{17}$

Étape 15.5.2.3.3

Soustrayez $25$ de $8$ .

$f' (5) = - \frac{10 \cdot - 17}{17}$

Étape 15.5.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 15.5.2.4.1

Multipliez $10$ par $- 17$ .

$f' (5) = - \frac{- 170}{17}$

Étape 15.5.2.4.2

Divisez $- 170$ par $17$ .

$f' (5) = 10$

Étape 15.5.2.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 10$ .

$f' (5) = 10$

Étape 15.5.2.5

La réponse finale est $10$ .

$10$

Étape 15.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = - 2 \sqrt{2}$ , $x = - 2 \sqrt{2}$ est un minimum local.

$x = - 2 \sqrt{2}$ est un minimum local

Étape 15.7

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un maximum local.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 15.8

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 2 \sqrt{2}$ , $x = 2 \sqrt{2}$ est un minimum local.

$x = 2 \sqrt{2}$ est un minimum local

Étape 15.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = | 8 - x^{2} |$ .

$x = - 2 \sqrt{2}$ est un minimum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = 2 \sqrt{2}$ est un minimum local

$x = - 2 \sqrt{2}$ est un minimum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = 2 \sqrt{2}$ est un minimum local

Étape 16