Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{12}{x^{2} - 2 x - 3}$

Étape 1

Écrivez $\frac{12}{x^{2} - 2 x - 3}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{12}{x^{2} - 2 x - 3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{12}{x^{2} - 2 x - 3}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$ comme ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}$ .

$12 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} - 2 x - 3$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 2 x - 3$ .

$12 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 2 x - 3$ .

$12 (- {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$- 12 ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 2.3.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 2.3.6

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 2.3.7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + 0)$

Étape 2.3.8

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2)$

Étape 2.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 12 \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Associez des termes.

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Étape 2.5.1.1

Associez $- 12$ et $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Étape 2.5.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Étape 2.5.2

Réorganisez les facteurs de $- \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$ .

$- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [(2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} ((2 x - 2) (\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}))$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 2 x - 2$ et $g (x) = \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 2) \frac{d}{d x} (\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 2) (12 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Étape 3.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.2.1

Déplacez $12$ à gauche de $2 x - 2$ .

$f'' (x) = - (12 \cdot (2 x - 2) \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Étape 3.3.2.2

Réécrivez $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ comme ${({(x^{2} - 2 x - 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - (12 (2 x - 2) \frac{d}{d x} ({({(x^{2} - 2 x - 3)}^{2})}^{- 1}) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Étape 3.3.2.3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 2 x - 3)}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - (12 (2 x - 2) \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{2 \cdot - 1}) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Étape 3.3.2.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - (12 (2 x - 2) \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2}) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = x^{2} - 2 x - 3$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 2 x - 3$ .

$f'' (x) = - (12 (2 x - 2) (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 3)) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$f'' (x) = - (12 (2 x - 2) (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 3)) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 2 x - 3$ .

$f'' (x) = - (12 (2 x - 2) (- 2 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 3)) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Multipliez $- 2$ par $12$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x - 3)) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Étape 3.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 3))) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Étape 3.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 3))) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Étape 3.5.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (2 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 3))) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Étape 3.5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3))) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Étape 3.5.6

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} (- 3))) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Étape 3.5.7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (2 x - 2 + 0)) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Étape 3.5.8

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$f'' (x) = - (- 24 (2 x - 2) ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} (2 x - 2)) + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Étape 3.6

Élevez $2 x - 2$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - (- 24 ((2 x - 2) (2 x - 2)) {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Étape 3.7

Élevez $2 x - 2$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - (- 24 ((2 x - 2) (2 x - 2)) {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Étape 3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{1 + 1} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Étape 3.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 2))$

Étape 3.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2)))$

Étape 3.11

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)))$

Étape 3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)))$

Étape 3.13

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- 2)))$

Étape 3.14

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot (2 + 0))$

Étape 3.15

Associez les fractions.

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Étape 3.15.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} \cdot 2)$

Étape 3.15.2

Associez $\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ et $2$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{12 \cdot 2}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

Étape 3.15.3

Multipliez $12$ par $2$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} + \frac{24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

Étape 3.16

Pour écrire $- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - (- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} \cdot \frac{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} + \frac{24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

Étape 3.17

Associez $- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3}$ et $\frac{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - (\frac{- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} + \frac{24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

Étape 3.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.19

Multipliez ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3}$ par ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.19.1

Déplacez ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 {(2 x - 2)}^{2} ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 3}) + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.19.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{2 - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.19.3

Soustrayez $3$ de $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 {(2 x - 2)}^{2} {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20

Simplifiez

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Étape 3.20.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 {(2 x - 2)}^{2} \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.20.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.20.2.1.1

Réécrivez ${(2 x - 2)}^{2}$ comme $(2 x - 2) (2 x - 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 ((2 x - 2) (2 x - 2)) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.2

Développez $(2 x - 2) (2 x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.20.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{- 24 (2 x (2 x - 2) - 2 (2 x - 2)) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{- 24 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x - 2)) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{- 24 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.20.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.20.2.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = - \frac{- 24 (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.20.2.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 (4 x^{2} - 4 x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 (4 x^{2} - 4 x - 4 x - 2 \cdot - 2) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.3.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 (4 x^{2} - 4 x - 4 x + 4) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.3.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 24 (4 x^{2} - 8 x + 4) \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{(- 24 (4 x^{2}) - 24 (- 8 x) - 24 \cdot 4) (\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}) + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.5

Simplifiez

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Étape 3.20.2.1.5.1

Multipliez $4$ par $- 24$ .

$f'' (x) = - \frac{(- 96 x^{2} - 24 (- 8 x) - 24 \cdot 4) (\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}) + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.5.2

Multipliez $- 8$ par $- 24$ .

$f'' (x) = - \frac{(- 96 x^{2} + 192 x - 24 \cdot 4) (\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}) + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.5.3

Multipliez $- 24$ par $4$ .

$f'' (x) = - \frac{(- 96 x^{2} + 192 x - 96) (\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}) + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.6

Factorisez $x^{2} - 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.20.2.1.6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 3.20.2.1.6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f'' (x) = - \frac{(- 96 x^{2} + 192 x - 96) (\frac{1}{(x - 3) (x + 1)}) + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.7

Multipliez $- 96 x^{2} + 192 x - 96$ par $\frac{1}{(x - 3) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 96 x^{2} + 192 x - 96}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.20.2.1.8.1

Factorisez $96$ à partir de $- 96 x^{2} + 192 x - 96$ .

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Étape 3.20.2.1.8.1.1

Factorisez $96$ à partir de $- 96 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2}) + 192 x - 96}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.8.1.2

Factorisez $96$ à partir de $192 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2}) + 96 (2 x) - 96}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.8.1.3

Factorisez $96$ à partir de $- 96$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2}) + 96 (2 x) + 96 (- 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.8.1.4

Factorisez $96$ à partir de $96 (- x^{2}) + 96 (2 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + 2 x) + 96 (- 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.8.1.5

Factorisez $96$ à partir de $96 (- x^{2} + 2 x) + 96 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + 2 x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.8.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.20.2.1.8.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 3.20.2.1.8.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + 2 (x) - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.8.2.1.2

Réécrivez $2$ comme $1$ plus $1$

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + (1 + 1) x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.8.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + 1 x + 1 x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.8.2.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + x + 1 x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.8.2.1.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x^{2} + x + x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.20.2.1.8.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 ((- x^{2} + x) + x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.8.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (x (- x + 1) - 1 (- x + 1))}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.8.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 ((- x + 1) (x - 1))}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- x + 1) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.8.3

Associez les exposants.

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Étape 3.20.2.1.8.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- (x) + 1) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.8.3.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- (x) - 1 \cdot - 1) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.8.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- (x - 1)) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.8.3.4

Réécrivez $- (x - 1)$ comme $- 1 (x - 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 (- 1 (x - 1)) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.8.3.5

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.8.3.6

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 \cdot (- 1 ((x - 1) (x - 1)))}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.8.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{1 + 1})}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.8.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{96 \cdot (- 1 {(x - 1)}^{2})}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.8.3.9

Multipliez $96$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 96 {(x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{96 {(x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 1)} + 24}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.2

Pour écrire $24$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{96 {(x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 1)} + 24 \cdot \frac{(x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.3

Associez $24$ et $\frac{(x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{96 {(x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 1)} + \frac{24 ((x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 96 {(x - 1)}^{2} + 24 ((x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.20.2.5.1

Factorisez $24$ à partir de $- 96 {(x - 1)}^{2} + 24 (x - 3) (x + 1)$ .

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Étape 3.20.2.5.1.1

Factorisez $24$ à partir de $- 96 {(x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 {(x - 1)}^{2}) + 24 (x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.5.1.2

Factorisez $24$ à partir de $24 (x - 3) (x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 {(x - 1)}^{2}) + 24 ((x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.5.1.3

Factorisez $24$ à partir de $24 (- 4 {(x - 1)}^{2}) + 24 ((x - 3) (x + 1))$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 {(x - 1)}^{2} + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.5.2

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 ((x - 1) (x - 1)) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.5.3

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.20.2.5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.5.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.5.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.20.2.5.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.20.2.5.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.5.4.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.5.4.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.5.4.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.5.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x^{2} - x - x + 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.5.4.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 (x^{2} - 2 x + 1) + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.5.5

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} - 4 (- 2 x) - 4 \cdot 1 + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.5.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.20.2.5.6.1

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 \cdot 1 + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.5.6.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + (x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.5.7

Développez $(x - 3) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.20.2.5.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x (x + 1) - 3 (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.5.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x \cdot x + x \cdot 1 - 3 (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.5.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x \cdot x + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.5.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.20.2.5.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.20.2.5.8.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x^{2} + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.5.8.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x^{2} + x - 3 x - 3 \cdot 1)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.5.8.1.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x^{2} + x - 3 x - 3)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.5.8.2

Soustrayez $3 x$ de $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 4 x^{2} + 8 x - 4 + x^{2} - 2 x - 3)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.5.9

Additionnez $- 4 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 3 x^{2} + 8 x - 4 - 2 x - 3)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.5.10

Soustrayez $2 x$ de $8 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 3 x^{2} + 6 x - 4 - 3)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.5.11

Soustrayez $3$ de $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 3 x^{2} + 6 x - 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- (3 x^{2}) + 6 x - 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $6 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- (3 x^{2}) - (- 6 x) - 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - (- 6 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- (3 x^{2} - 6 x) - 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.9

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- (3 x^{2} - 6 x) - 1 \cdot 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2} - 6 x) - 1 (7)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- (3 x^{2} - 6 x + 7))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.11

Réécrivez $- (3 x^{2} - 6 x + 7)$ comme $- 1 (3 x^{2} - 6 x + 7)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 (- 1 (3 x^{2} - 6 x + 7))}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 3.20.3

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.20.3.1

Réécrivez $\frac{- \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{(x - 3) (x + 1)}}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ comme un produit.

$f'' (x) = - (- \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}})$

Étape 3.20.3.2

Multipliez $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ par $\frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{(x - 3) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} ((x - 3) (x + 1))}$

Étape 3.20.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} (x - 3) (x + 1)})$

Étape 3.20.3.4

Multipliez $\frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} (x - 3) (x + 1)}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} (x - 3) (x + 1)}$

Étape 3.20.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} (x + 1) (x - 3)}$

Étape 3.20.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.20.5.1

Factorisez $x^{2} - 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.20.5.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 3.20.5.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{((x - 3) (x + 1))}^{2} (x + 1) (x - 3)}$

Étape 3.20.5.2

Appliquez la règle de produit à $(x - 3) (x + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} (x + 1) (x - 3)}$

Étape 3.20.5.3

Associez les exposants.

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Étape 3.20.5.3.1

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x - 3)}^{2} ((x + 1) {(x + 1)}^{2}) (x - 3)}$

Étape 3.20.5.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{1 + 2} (x - 3)}$

Étape 3.20.5.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{3} (x - 3)}$

Étape 3.20.5.3.4

Élevez $x - 3$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{(x - 3) {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{3}}$

Étape 3.20.5.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x - 3)}^{1 + 2} {(x + 1)}^{3}}$

Étape 3.20.5.3.6

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{24 (3 x^{2} - 6 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 5.1.1.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{12}{x^{2} - 2 x - 3}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}]$

Étape 5.1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$ comme ${(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}$ .

$12 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 1}]$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} - 2 x - 3$ .

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Étape 5.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 2 x - 3$ .

$12 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Étape 5.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 2 x - 3$ .

$12 (- {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Étape 5.1.3

Différenciez.

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Étape 5.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$- 12 ({(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3])$

Étape 5.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 5.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 5.1.3.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 5.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 5.1.3.6

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 5.1.3.7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2 + 0)$

Étape 5.1.3.8

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$- 12 {(x^{2} - 2 x - 3)}^{- 2} (2 x - 2)$

Étape 5.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 12 \frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Étape 5.1.5

Simplifiez

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Étape 5.1.5.1

Associez des termes.

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Étape 5.1.5.1.1

Associez $- 12$ et $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Étape 5.1.5.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$

Étape 5.1.5.2

Réorganisez les facteurs de $- \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} (2 x - 2)$ .

$f' (x) = - (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ .

$- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

Étape 6.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 2 = 0$

$\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

Étape 6.3

Définissez $2 x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Définissez $2 x - 2$ égal à $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Étape 6.3.2

Résolvez $2 x - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 2$

Étape 6.3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 2$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 2$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Étape 6.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Étape 6.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Étape 6.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.2.3.1

Divisez $2$ par $2$ .

$x = 1$

Étape 6.4

Définissez $\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Définissez $\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ égal à $0$ .

$\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$

Étape 6.4.2

Résolvez $\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.4.2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$12 = 0$

Étape 6.4.2.2

Comme $12 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 6.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (2 x - 2) \frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}} = 0$ vraie.

$x = 1$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{12}{{(x^{2} - 2 x - 3)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x^{2} - 2 x - 3)}^{2} = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.2.1.1

Factorisez $x^{2} - 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.2.1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 7.2.1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

${((x - 3) (x + 1))}^{2} = 0$

Étape 7.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $(x - 3) (x + 1)$ .

${(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 7.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 7.2.3

Définissez ${(x - 3)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.2.3.1

Définissez ${(x - 3)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 7.2.3.2

Résolvez ${(x - 3)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.3.2.1

Définissez le $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 7.2.3.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 7.2.4

Définissez ${(x + 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.2.4.1

Définissez ${(x + 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 7.2.4.2

Résolvez ${(x + 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.2.4.2.1

Définissez le $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 7.2.4.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 7.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 3, - 1$

Étape 7.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 1, x = 3$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 1$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{24 (3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 + 7)}{{((1) - 3)}^{3} {((1) + 1)}^{3}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{24 (3 \cdot 1 - 6 \cdot 1 + 7)}{{(1 - 3)}^{3} {(1 + 1)}^{3}}$

Étape 10.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{24 (3 - 6 \cdot 1 + 7)}{{(1 - 3)}^{3} {(1 + 1)}^{3}}$

Étape 10.1.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$\frac{24 (3 - 6 + 7)}{{(1 - 3)}^{3} {(1 + 1)}^{3}}$

Étape 10.1.4

Soustrayez $6$ de $3$ .

$\frac{24 (- 3 + 7)}{{(1 - 3)}^{3} {(1 + 1)}^{3}}$

Étape 10.1.5

Additionnez $- 3$ et $7$ .

$\frac{24 \cdot 4}{{(1 - 3)}^{3} {(1 + 1)}^{3}}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{24 \cdot 4}{{(- 2)}^{3} {(1 + 1)}^{3}}$

Étape 10.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{24 \cdot 4}{{(- 2)}^{3} \cdot 2^{3}}$

Étape 10.2.3

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$\frac{24 \cdot 4}{- 8 \cdot 2^{3}}$

Étape 10.2.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{24 \cdot 4}{- 8 \cdot 8}$

Étape 10.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 10.3.1

Multipliez $24$ par $4$ .

$\frac{96}{- 8 \cdot 8}$

Étape 10.3.2

Multipliez $- 8$ par $8$ .

$\frac{96}{- 64}$

Étape 10.3.3

Annulez le facteur commun à $96$ et $- 64$ .

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Étape 10.3.3.1

Factorisez $32$ à partir de $96$ .

$\frac{32 (3)}{- 64}$

Étape 10.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.3.2.1

Factorisez $32$ à partir de $- 64$ .

$\frac{32 \cdot 3}{32 \cdot - 2}$

Étape 10.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{32 \cdot 3}{32 \cdot - 2}$

Étape 10.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{- 2}$

Étape 10.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{2}$

Étape 11

$x = 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{12}{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1 - 3}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \frac{12}{1 - 2 \cdot 1 - 3}$

Étape 12.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f (1) = \frac{12}{1 - 2 - 3}$

Étape 12.2.1.3

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (1) = \frac{12}{- 1 - 3}$

Étape 12.2.1.4

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$f (1) = \frac{12}{- 4}$

Étape 12.2.2

Divisez $12$ par $- 4$ .

$f (1) = - 3$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $- 3$ .

$y = - 3$

Étape 13

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{12}{x^{2} - 2 x - 3}$ .

$(1, - 3)$ est un maximum local

Étape 14