Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{4}}{4 - 8 x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x^{4}}{4 - 8 x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{4}}{4 - 8 x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 4 - 8 x^{2}$ .

$\frac{(4 - 8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [4 - 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{(4 - 8 x^{2}) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [4 - 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 2.2.2

Déplacez $4$ à gauche de $4 - 8 x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [4 - 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 2.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - 8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}])}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 2.2.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}])}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 2.2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 2.2.6

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} (- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 2.2.7

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 8 x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 2.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 8 x^{4} (2 x)}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 2.2.9

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{4} x}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 (x^{1} x^{4})}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{1 + 4}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 2.5

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(4 \cdot 4 + 4 (- 8 x^{2})) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \cdot 4 x^{3} + 4 (- 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.3.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 2.6.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.3.1.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 (x^{3} x^{2})) + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 2.6.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 x^{3 + 2}) + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 2.6.3.1.2.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 x^{5}) + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 2.6.3.1.3

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$\frac{16 x^{3} - 32 x^{5} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 2.6.3.2

Additionnez $- 32 x^{5}$ et $16 x^{5}$ .

$\frac{16 x^{3} - 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 2.6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 16 x^{5} + 16 x^{3}}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 2.6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.5.1

Factorisez $16 x^{3}$ à partir de $- 16 x^{5} + 16 x^{3}$ .

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Étape 2.6.5.1.1

Factorisez $16 x^{3}$ à partir de $- 16 x^{5}$ .

$\frac{16 x^{3} (- x^{2}) + 16 x^{3}}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 2.6.5.1.2

Factorisez $16 x^{3}$ à partir de $16 x^{3}$ .

$\frac{16 x^{3} (- x^{2}) + 16 x^{3} (1)}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 2.6.5.1.3

Factorisez $16 x^{3}$ à partir de $16 x^{3} (- x^{2}) + 16 x^{3} (1)$ .

$\frac{16 x^{3} (- x^{2} + 1)}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 2.6.5.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{16 x^{3} (- x^{2} + 1^{2})}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 2.6.5.3

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $1^{2}$ .

$\frac{16 x^{3} (1^{2} - x^{2})}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 2.6.5.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 2.6.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.6.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8 x^{2} + 4$ .

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Étape 2.6.6.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8 x^{2}$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(4 (- 2 x^{2}) + 4)}^{2}}$

Étape 2.6.6.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(4 (- 2 x^{2}) + 4 (1))}^{2}}$

Étape 2.6.6.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 2 x^{2}) + 4 (1)$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(4 (- 2 x^{2} + 1))}^{2}}$

Étape 2.6.6.2

Appliquez la règle de produit à $4 (- 2 x^{2} + 1)$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{4^{2} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.6.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{16 {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.7

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 2.6.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{16 {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.6.7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x^{3} (1 + x)) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

$\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x) (1 - x)) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{({(- 2 x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${({(- 2 x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x) (1 - x)) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x) (1 - x)) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3} (1 + x)$ et $g (x) = 1 - x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (x^{3} (1 + x) \frac{d}{d x} (1 - x) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (x^{3} (1 + x) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x)) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.4.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (x^{3} (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (x^{3} (1 + x) \frac{d}{d x} (- x) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (x^{3} (1 + x) (- \frac{d}{d x} x) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (x^{3} (1 + x) (- 1 \cdot 1) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (x^{3} (1 + x) \cdot - 1 + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.4.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{3} (1 + x)$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- 1 \cdot (x^{3} (1 + x)) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.4.6.3

Réécrivez $- 1 x^{3}$ comme $- x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} (x^{3} (1 + x))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 1 + x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} \frac{d}{d x} (1 + x) + (1 + x) \frac{d}{d x} (x^{3}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.6

Différenciez.

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Étape 3.6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x)) + (1 + x) \frac{d}{d x} (x^{3}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.6.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} (0 + \frac{d}{d x} (x)) + (1 + x) \frac{d}{d x} (x^{3}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.6.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} \frac{d}{d x} (x) + (1 + x) \frac{d}{d x} (x^{3}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.6.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} \cdot 1 + (1 + x) \frac{d}{d x} (x^{3}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.6.5

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + (1 + x) \frac{d}{d x} (x^{3}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.6.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + (1 + x) (3 x^{2}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.6.7

Déplacez $3$ à gauche de $1 + x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot ((1 + x) x^{2}))) - x^{3} (1 + x) (1 - x) \frac{d}{d x} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = - 2 x^{2} + 1$ .

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Étape 3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2 x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - x^{3} (1 + x) (1 - x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - x^{3} (1 + x) (1 - x) (2 u \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - x^{3} (1 + x) (1 - x) (2 (- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.8.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) ((- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.2

Factorisez $- 2 x^{2} + 1$ à partir de ${(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) ((- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1])$ .

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Étape 3.8.2.1

Factorisez $- 2 x^{2} + 1$ à partir de ${(- 2 x^{2} + 1)}^{2} (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2}))$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) ((- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2}))) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) ((- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.2.2

Factorisez $- 2 x^{2} + 1$ à partir de $- 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) ((- 2 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1])$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) ((- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2}))) + (- 2 x^{2} + 1) (- 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1)))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.8.2.3

Factorisez $- 2 x^{2} + 1$ à partir de $(- 2 x^{2} + 1) ((- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2}))) + (- 2 x^{2} + 1) (- 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} + 1]))$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) ((- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1)))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.9

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.9.1

Factorisez $- 2 x^{2} + 1$ à partir de ${(- 2 x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) ((- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1)))}{(- 2 x^{2} + 1) {(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.9.2

Annulez le facteur commun.

Étape 3.9.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.11

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.13

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (- 4 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.14

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (- 4 x + 0)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.15

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.15.1

Additionnez $- 4 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) - 2 x^{3} (1 + x) (1 - x) (- 4 x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.15.2

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) + 8 x^{3} (1 + x) (1 - x) x}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.16

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) + 8 (x \cdot x^{3}) (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) + 8 x^{1 + 3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.18

Additionnez $1$ et $3$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} (1 + x) + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) + 8 x^{4} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19

Simplifiez

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Étape 3.19.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} \cdot 1 - x^{3} x + (1 - x) (x^{3} + 3 (1 + x) x^{2})) + 8 x^{4} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} \cdot 1 - x^{3} x + (1 - x) (x^{3} + (3 \cdot 1 + 3 x) x^{2})) + 8 x^{4} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} \cdot 1 - x^{3} x + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot (1 x^{2}) + 3 x \cdot x^{2})) + 8 x^{4} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} \cdot 1 - x^{3} x + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot (1 x^{2}) + 3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.19.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.19.5.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.19.5.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{3} x + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot (1 x^{2}) + 3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.1.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.19.5.1.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - (x \cdot x^{3}) + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot (1 x^{2}) + 3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 3.19.5.1.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - (x \cdot x^{3}) + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot (1 x^{2}) + 3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{1 + 3} + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot (1 x^{2}) + 3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.1.2.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + (1 - x) (x^{3} + 3 \cdot (1 x^{2}) + 3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.19.5.1.1.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + (1 - x) (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.19.5.1.1.3.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + (1 - x) (x^{3} + 3 x^{2} + 3 (x^{2} x))) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.1.3.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.19.5.1.1.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + (1 - x) (x^{3} + 3 x^{2} + 3 (x^{2} x))) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.1.3.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + (1 - x) (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x^{2 + 1})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.1.3.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + (1 - x) (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x^{3})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.1.4

Additionnez $x^{3}$ et $3 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + (1 - x) (4 x^{3} + 3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.1.5

Développez $(1 - x) (4 x^{3} + 3 x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.19.5.1.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 1 (4 x^{3} + 3 x^{2}) - x (4 x^{3} + 3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 1 (4 x^{3}) + 1 (3 x^{2}) - x (4 x^{3} + 3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 1 (4 x^{3}) + 1 (3 x^{2}) - x (4 x^{3}) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.19.5.1.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.19.5.1.1.6.1.1

Multipliez $4 x^{3}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 1 (3 x^{2}) - x (4 x^{3}) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.1.6.1.2

Multipliez $3 x^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - x (4 x^{3}) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.1.6.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 1 \cdot (4 x \cdot x^{3}) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.1.6.1.4

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.19.5.1.1.6.1.4.1

Déplacez $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 1 \cdot (4 (x^{3} x)) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.1.6.1.4.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 3.19.5.1.1.6.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 1 \cdot (4 (x^{3} x)) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.1.6.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{3 + 1}) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.1.6.1.4.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{4}) - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.1.6.1.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4} - x (3 x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.1.6.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (3 x \cdot x^{2})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.1.6.1.7

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.19.5.1.1.6.1.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (3 (x^{2} x))) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.1.6.1.7.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.19.5.1.1.6.1.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (3 (x^{2} x))) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.1.6.1.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (3 x^{2 + 1})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.1.6.1.7.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (3 x^{3})) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.1.6.1.8

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4} - 3 x^{3}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.1.6.2

Soustrayez $3 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{3} - x^{4} + x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.2

Associez les termes opposés dans $- x^{3} - x^{4} + x^{3} + 3 x^{2} - 4 x^{4}$ .

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Étape 3.19.5.1.2.1

Additionnez $- x^{3}$ et $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{4} + 0 + 3 x^{2} - 4 x^{4}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.2.2

Additionnez $- x^{4}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- x^{4} + 3 x^{2} - 4 x^{4}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.3

Soustrayez $4 x^{4}$ de $- x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{2} + 1) (- 5 x^{4} + 3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.4

Développez $(- 2 x^{2} + 1) (- 5 x^{4} + 3 x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.19.5.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} (- 5 x^{4} + 3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4} + 3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} (- 5 x^{4}) - 2 x^{2} (3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4} + 3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} (- 5 x^{4}) - 2 x^{2} (3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.19.5.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.19.5.1.5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{- 2 \cdot (- 5 x^{2} x^{4}) - 2 x^{2} (3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.5.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.19.5.1.5.1.2.1

Déplacez $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 \cdot (- 5 (x^{4} x^{2})) - 2 x^{2} (3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.5.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{- 2 \cdot (- 5 x^{4 + 2}) - 2 x^{2} (3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.5.1.2.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 \cdot (- 5 x^{6}) - 2 x^{2} (3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.5.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 2 x^{2} (3 x^{2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.5.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 2 \cdot (3 x^{2} x^{2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.5.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.19.5.1.5.1.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 2 \cdot (3 (x^{2} x^{2})) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.5.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 2 \cdot (3 x^{2 + 2}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.5.1.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 2 \cdot (3 x^{4}) + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.5.1.6

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 6 x^{4} + 1 (- 5 x^{4}) + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.5.1.7

Multipliez $- 5 x^{4}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 6 x^{4} - 5 x^{4} + 1 (3 x^{2}) + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.5.1.8

Multipliez $3 x^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 6 x^{4} - 5 x^{4} + 3 x^{2} + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.5.2

Soustrayez $5 x^{4}$ de $- 6 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + (8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.19.5.1.6.1

Multipliez $8$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + (8 x^{4} + 8 x^{4} x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.6.2

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.19.5.1.6.2.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + (8 x^{4} + 8 (x \cdot x^{4})) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.6.2.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 3.19.5.1.6.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + (8 x^{4} + 8 (x \cdot x^{4})) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.6.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + (8 x^{4} + 8 x^{1 + 4}) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.6.2.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + (8 x^{4} + 8 x^{5}) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.7

Développez $(8 x^{4} + 8 x^{5}) (1 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.19.5.1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} (1 - x) + 8 x^{5} (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} (- x) + 8 x^{5} (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} \cdot 1 + 8 x^{4} (- x) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.19.5.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.19.5.1.8.1.1

Multipliez $8$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} + 8 x^{4} (- x) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.8.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot (- 1 x^{4} x) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.8.1.3

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.19.5.1.8.1.3.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot (- 1 (x \cdot x^{4})) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.8.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 3.19.5.1.8.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot (- 1 (x \cdot x^{4})) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.8.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot (- 1 x^{1 + 4}) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.8.1.3.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot (- 1 x^{5}) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.8.1.4

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.8.1.5

Multipliez $8$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 x^{5} (- x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.8.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 1 x^{5} x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.8.1.7

Multipliez $x^{5}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.19.5.1.8.1.7.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 1 (x \cdot x^{5}))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.8.1.7.2

Multipliez $x$ par $x^{5}$ .

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Étape 3.19.5.1.8.1.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 1 (x \cdot x^{5}))}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.8.1.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 1 x^{1 + 5})}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.8.1.7.3

Additionnez $1$ et $5$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 \cdot (- 1 x^{6})}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.8.1.8

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{5} + 8 x^{5} - 8 x^{6}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.8.2

Additionnez $- 8 x^{5}$ et $8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} + 0 - 8 x^{6}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.1.8.3

Additionnez $8 x^{4}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4} - 8 x^{6}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.2

Soustrayez $8 x^{6}$ de $10 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{6} - 11 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x^{4}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.5.3

Additionnez $- 11 x^{4}$ et $8 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{6} - 3 x^{4} + 3 x^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.6

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{6} - 3 x^{4} + 3 x^{2}$ .

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Étape 3.19.6.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x^{4}) - 3 x^{4} + 3 x^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.6.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 3 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x^{4}) + x^{2} (- 3 x^{2}) + 3 x^{2}}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.6.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x^{4}) + x^{2} (- 3 x^{2}) + x^{2} \cdot 3}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.6.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (2 x^{4}) + x^{2} (- 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x^{4} - 3 x^{2}) + x^{2} \cdot 3}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.19.6.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (2 x^{4} - 3 x^{2}) + x^{2} \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x^{4} - 3 x^{2} + 3)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

$\frac{(4 - 8 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [4 - 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 5.1.2

Différenciez.

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Étape 5.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{(4 - 8 x^{2}) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [4 - 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 5.1.2.2

Déplacez $4$ à gauche de $4 - 8 x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [4 - 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 5.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - 8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}])}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 5.1.2.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}])}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 5.1.2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 5.1.2.6

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} - x^{4} (- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 5.1.2.7

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 8 x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 5.1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 8 x^{4} (2 x)}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 5.1.2.9

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{4} x}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 5.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 (x^{1} x^{4})}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 5.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{1 + 4}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 5.1.5

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{4 (4 - 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 5.1.6

Simplifiez

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Étape 5.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(4 \cdot 4 + 4 (- 8 x^{2})) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 5.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \cdot 4 x^{3} + 4 (- 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 5.1.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.6.3.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 x^{2}) x^{3} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 5.1.6.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.6.3.1.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 (x^{3} x^{2})) + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 5.1.6.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 x^{3 + 2}) + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 5.1.6.3.1.2.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 (- 8 x^{5}) + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 5.1.6.3.1.3

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$\frac{16 x^{3} - 32 x^{5} + 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 5.1.6.3.2

Additionnez $- 32 x^{5}$ et $16 x^{5}$ .

$\frac{16 x^{3} - 16 x^{5}}{{(4 - 8 x^{2})}^{2}}$

Étape 5.1.6.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 16 x^{5} + 16 x^{3}}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 5.1.6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.6.5.1

Factorisez $16 x^{3}$ à partir de $- 16 x^{5} + 16 x^{3}$ .

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Étape 5.1.6.5.1.1

Factorisez $16 x^{3}$ à partir de $- 16 x^{5}$ .

$\frac{16 x^{3} (- x^{2}) + 16 x^{3}}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 5.1.6.5.1.2

Factorisez $16 x^{3}$ à partir de $16 x^{3}$ .

$\frac{16 x^{3} (- x^{2}) + 16 x^{3} (1)}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 5.1.6.5.1.3

Factorisez $16 x^{3}$ à partir de $16 x^{3} (- x^{2}) + 16 x^{3} (1)$ .

$\frac{16 x^{3} (- x^{2} + 1)}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 5.1.6.5.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{16 x^{3} (- x^{2} + 1^{2})}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 5.1.6.5.3

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $1^{2}$ .

$\frac{16 x^{3} (1^{2} - x^{2})}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 5.1.6.5.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 8 x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 5.1.6.6

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.6.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8 x^{2} + 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.6.6.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8 x^{2}$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(4 (- 2 x^{2}) + 4)}^{2}}$

Étape 5.1.6.6.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(4 (- 2 x^{2}) + 4 (1))}^{2}}$

Étape 5.1.6.6.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 2 x^{2}) + 4 (1)$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(4 (- 2 x^{2} + 1))}^{2}}$

Étape 5.1.6.6.2

Appliquez la règle de produit à $4 (- 2 x^{2} + 1)$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{4^{2} {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.6.6.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{16 {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.6.7

Annulez le facteur commun de $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.6.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 x^{3} (1 + x) (1 - x)}{16 {(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.6.7.2

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{(x^{3} (1 + x)) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Étape 6.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x^{3} (1 + x) (1 - x) = 0$

Étape 6.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{3} = 0$

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Étape 6.3.2

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ .

$x^{3} = 0$

Étape 6.3.2.2

Résolvez $x^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.3.2.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 6.3.2.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 6.3.2.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 6.3.2.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 6.3.3

Définissez $1 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Définissez $1 + x$ égal à $0$ .

$1 + x = 0$

Étape 6.3.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 6.3.4

Définissez $1 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.4.1

Définissez $1 - x$ égal à $0$ .

$1 - x = 0$

Étape 6.3.4.2

Résolvez $1 - x = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 6.3.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.3.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.3.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.3.4.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.3.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.4.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 6.3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{3} (1 + x) (1 - x) = 0$ vraie.

$x = 0, - 1, 1$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(- 2 x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{2} + 1$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

${(- (2 x^{2}) + 1)}^{2} = 0$

Étape 7.2.1.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

${(- (2 x^{2}) - 1 \cdot - 1)}^{2} = 0$

Étape 7.2.1.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

${(- (2 x^{2} - 1))}^{2} = 0$

Étape 7.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $- (2 x^{2} - 1)$ .

${(- 1)}^{2} {(2 x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans ${(- 1)}^{2} {(2 x^{2} - 1)}^{2} = 0$ par ${(- 1)}^{2}$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans ${(- 1)}^{2} {(2 x^{2} - 1)}^{2} = 0$ par ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(2 x^{2} - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(2 x^{2} - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez ${(2 x^{2} - 1)}^{2}$ par $1$ .

${(2 x^{2} - 1)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

${(2 x^{2} - 1)}^{2} = \frac{0}{1}$

Étape 7.2.2.3.2

Divisez $0$ par $1$ .

${(2 x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Étape 7.2.3

Définissez le $2 x^{2} - 1$ égal à $0$ .

$2 x^{2} - 1 = 0$

Étape 7.2.4

Résolvez $x$ .

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Étape 7.2.4.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} = 1$

Étape 7.2.4.2

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.2.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 7.2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 7.2.4.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Étape 7.2.4.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 7.2.4.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 7.2.4.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 7.2.4.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 7.2.4.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 7.2.4.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.4.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 7.2.4.4.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 7.2.4.4.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 7.2.4.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 7.2.4.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 7.2.4.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 7.2.4.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.2.4.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.2.4.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.2.4.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.4.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.2.4.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 7.2.4.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 7.2.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.2.4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 7.2.4.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 7.2.4.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 7.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}, x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - 1, 1$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{{(0)}^{2} (2 {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{2} + 3)}{{(- 2 {(0)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0^{2} (2 \cdot 0 - 3 \cdot 0^{2} + 3)}{{(- 2 \cdot 0^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 10.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0^{2} (0 - 3 \cdot 0^{2} + 3)}{{(- 2 \cdot 0^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 10.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0^{2} (0 - 3 \cdot 0 + 3)}{{(- 2 \cdot 0^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 10.1.4

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$\frac{0^{2} (0 + 0 + 3)}{{(- 2 \cdot 0^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 10.1.5

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0^{2} (0 + 3)}{{(- 2 \cdot 0^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 10.1.6

Additionnez $0$ et $3$ .

$\frac{0^{2} \cdot 3}{{(- 2 \cdot 0^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 10.1.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0 \cdot 3}{{(- 2 \cdot 0^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0 \cdot 3}{{(- 2 \cdot 0 + 1)}^{3}}$

Étape 10.2.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\frac{0 \cdot 3}{{(0 + 1)}^{3}}$

Étape 10.2.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{0 \cdot 3}{1^{3}}$

Étape 10.2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0 \cdot 3}{1}$

Étape 10.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.3.1

Multipliez $0$ par $3$ .

$\frac{0}{1}$

Étape 10.3.2

Divisez $0$ par $1$ .

$0$

Étape 11

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 11.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 11.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 4$ , de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée première $\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3} (1 - 4) (1 - (- 4))}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3} (1 - 4) (1 - (- 4))}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.2.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f' (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3} (1 - 4) (1 + 4)}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.2.2.2.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f' (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3} \cdot (- 3 (1 + 4))}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.2.2.2.3

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$f' (- 4) = \frac{- 64 \cdot (- 3 (1 + 4))}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.2.2.2.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$f' (- 4) = \frac{- 64 \cdot - 3 \cdot 5}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.2.2.2.5

Associez les exposants.

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Étape 11.2.2.2.5.1

Multipliez $- 64$ par $- 3$ .

$f' (- 4) = \frac{192 \cdot 5}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.2.2.2.5.2

Multipliez $192$ par $5$ .

$f' (- 4) = \frac{960}{{(- 2 {(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.2.2.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.3.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f' (- 4) = \frac{960}{{(- 2 \cdot 16 + 1)}^{2}}$

Étape 11.2.2.3.2

Multipliez $- 2$ par $16$ .

$f' (- 4) = \frac{960}{{(- 32 + 1)}^{2}}$

Étape 11.2.2.3.3

Additionnez $- 32$ et $1$ .

$f' (- 4) = \frac{960}{{(- 31)}^{2}}$

Étape 11.2.2.3.4

Élevez $- 31$ à la puissance $2$ .

$f' (- 4) = \frac{960}{961}$

Étape 11.2.2.4

La réponse finale est $\frac{960}{961}$ .

$\frac{960}{961}$

Étape 11.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 0.85$ , de l’intervalle $(- 1, 0)$ dans la dérivée première $\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.85$ dans l’expression.

$f' (- 0.85) = \frac{{(- 0.85)}^{3} (1 - 0.85) (1 - (- 0.85))}{{(- 2 {(- 0.85)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (- 0.85) = \frac{{(- 0.85)}^{3} (1 - 0.85) (1 - (- 0.85))}{{(- 2 {(- 0.85)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.3.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.3.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 0.85$ .

$f' (- 0.85) = \frac{{(- 0.85)}^{3} (1 - 0.85) (1 + 0.85)}{{(- 2 {(- 0.85)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.3.2.2.2

Soustrayez $0.85$ de $1$ .

$f' (- 0.85) = \frac{{(- 0.85)}^{3} \cdot (0.15 (1 + 0.85))}{{(- 2 {(- 0.85)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.3.2.2.3

Associez les exposants.

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Étape 11.3.2.2.3.1

Multipliez ${(- 0.85)}^{3}$ par $0.15$ .

$f' (- 0.85) = \frac{- 0.09211875 (1 + 0.85)}{{(- 2 {(- 0.85)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.3.2.2.3.2

Multipliez $- 0.09211875$ par $1 + 0.85$ .

$f' (- 0.85) = \frac{- 0.17041968}{{(- 2 {(- 0.85)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.3.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.3.2.3.1

Élevez $- 0.85$ à la puissance $2$ .

$f' (- 0.85) = \frac{- 0.17041968}{{(- 2 \cdot 0.7225 + 1)}^{2}}$

Étape 11.3.2.3.2

Multipliez $- 2$ par $0.7225$ .

$f' (- 0.85) = \frac{- 0.17041968}{{(- 1.445 + 1)}^{2}}$

Étape 11.3.2.3.3

Additionnez $- 1.445$ et $1$ .

$f' (- 0.85) = \frac{- 0.17041968}{{(- 0.445)}^{2}}$

Étape 11.3.2.3.4

Élevez $- 0.445$ à la puissance $2$ .

$f' (- 0.85) = \frac{- 0.17041968}{0.198025}$

Étape 11.3.2.4

Divisez $- 0.17041968$ par $0.198025$ .

$f' (- 0.85) = - 0.86059683$

Étape 11.3.2.5

La réponse finale est $- 0.86059683$ .

$- 0.86059683$

Étape 11.4

Remplacez tout nombre, tel que $0.35$ , de l’intervalle $(0, 1)$ dans la dérivée première $\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.4.1

Remplacez la variable $x$ par $0.35$ dans l’expression.

$f' (0.35) = \frac{{(0.35)}^{3} (1 + 0.35) (1 - (0.35))}{{(- 2 {(0.35)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (0.35) = \frac{{(0.35)}^{3} (1 + 0.35) (1 - (0.35))}{{(- 2 {(0.35)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.4.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.4.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $0.35$ .

$f' (0.35) = \frac{{0.35}^{3} (1 + 0.35) (1 - 0.35)}{{(- 2 \cdot {0.35}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.4.2.2.2

Additionnez $1$ et $0.35$ .

$f' (0.35) = \frac{{0.35}^{3} \cdot (1.35 (1 - 0.35))}{{(- 2 \cdot {0.35}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.4.2.2.3

Associez les exposants.

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Étape 11.4.2.2.3.1

Multipliez ${0.35}^{3}$ par $1.35$ .

$f' (0.35) = \frac{0.05788125 (1 - 0.35)}{{(- 2 \cdot {0.35}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.4.2.2.3.2

Multipliez $0.05788125$ par $1 - 0.35$ .

$f' (0.35) = \frac{0.03762281}{{(- 2 \cdot {0.35}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.4.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.4.2.3.1

Élevez $0.35$ à la puissance $2$ .

$f' (0.35) = \frac{0.03762281}{{(- 2 \cdot 0.1225 + 1)}^{2}}$

Étape 11.4.2.3.2

Multipliez $- 2$ par $0.1225$ .

$f' (0.35) = \frac{0.03762281}{{(- 0.245 + 1)}^{2}}$

Étape 11.4.2.3.3

Additionnez $- 0.245$ et $1$ .

$f' (0.35) = \frac{0.03762281}{{0.755}^{2}}$

Étape 11.4.2.3.4

Élevez $0.755$ à la puissance $2$ .

$f' (0.35) = \frac{0.03762281}{0.570025}$

Étape 11.4.2.4

Divisez $0.03762281$ par $0.570025$ .

$f' (0.35) = 0.06600203$

Étape 11.4.2.5

La réponse finale est $0.06600203$ .

$0.06600203$

Étape 11.5

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée première $\frac{x^{3} (1 + x) (1 - x)}{{(- 2 x^{2} + 1)}^{2}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.5.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = \frac{{(4)}^{3} (1 + 4) (1 - (4))}{{(- 2 {(4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.5.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (4) = \frac{{(4)}^{3} (1 + 4) (1 - (4))}{{(- 2 {(4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.5.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.5.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (4) = \frac{4^{3} (1 + 4) (1 - 4)}{{(- 2 \cdot 4^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.5.2.2.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$f' (4) = \frac{4^{3} \cdot (5 (1 - 4))}{{(- 2 \cdot 4^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.5.2.2.3

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f' (4) = \frac{64 \cdot (5 (1 - 4))}{{(- 2 \cdot 4^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.5.2.2.4

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f' (4) = \frac{64 \cdot 5 \cdot - 3}{{(- 2 \cdot 4^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.5.2.2.5

Associez les exposants.

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Étape 11.5.2.2.5.1

Multipliez $64$ par $5$ .

$f' (4) = \frac{320 \cdot - 3}{{(- 2 \cdot 4^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.5.2.2.5.2

Multipliez $320$ par $- 3$ .

$f' (4) = \frac{- 960}{{(- 2 \cdot 4^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 11.5.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.5.2.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = \frac{- 960}{{(- 2 \cdot 16 + 1)}^{2}}$

Étape 11.5.2.3.2

Multipliez $- 2$ par $16$ .

$f' (4) = \frac{- 960}{{(- 32 + 1)}^{2}}$

Étape 11.5.2.3.3

Additionnez $- 32$ et $1$ .

$f' (4) = \frac{- 960}{{(- 31)}^{2}}$

Étape 11.5.2.3.4

Élevez $- 31$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = \frac{- 960}{961}$

Étape 11.5.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (4) = - \frac{960}{961}$

Étape 11.5.2.5

La réponse finale est $- \frac{960}{961}$ .

$- \frac{960}{961}$

Étape 11.6

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = - 1$ , $x = - 1$ est un maximum local.

$x = - 1$ est un maximum local

Étape 11.7

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un minimum local.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11.8

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 1$ , $x = 1$ est un maximum local.

$x = 1$ est un maximum local

Étape 11.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{x^{4}}{4 - 8 x^{2}}$ .

$x = - 1$ est un maximum local

$x = 0$ est un minimum local

$x = 1$ est un maximum local

$x = - 1$ est un maximum local

$x = 0$ est un minimum local

$x = 1$ est un maximum local

Étape 12