Calcul infinitésimal Exemples

$p (t) = \frac{500 t}{2 t^{2} + 9}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = 500 t$ et $g (t) = 2 t^{2} + 9$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \frac{d}{d t} [500 t] - 1 \cdot 500 t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 9]}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Comme $500$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $500 t$ par rapport à $t$ est $500 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) (500 \frac{d}{d t} [t]) - 1 \cdot 500 t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 9]}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) (500 \cdot 1) - 1 \cdot 500 t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 9]}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez $500$ par $1$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 9]}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 t^{2} + 9$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [9]$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [9])}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d t} [2 t^{2}]$ .

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t^{2}$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [9])}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [9])}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (4 t + \frac{d}{d t} [9])}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1

Comme $9$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $9$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (4 t + 0)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 4.2

Additionnez $4 t$ et $0$ .

$\frac{(2 t^{2} + 9) \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (4 t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 t^{2} \cdot 500 + 9 \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (4 t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $500$ par $2$ .

$\frac{1000 t^{2} + 9 \cdot 500 - 1 \cdot 500 t (4 t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $9$ par $500$ .

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 1 \cdot 500 t (4 t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 5.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 1 \cdot 500 \cdot 4 t \cdot t}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.4.1

Déplacez $t$ .

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 1 \cdot 500 \cdot 4 (t \cdot t)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 5.2.1.4.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 1 \cdot 500 \cdot 4 t^{2}}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $- 1 \cdot 500 \cdot 4$ .

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Étape 5.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $500$ .

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 500 \cdot 4 t^{2}}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 5.2.1.5.2

Multipliez $- 500$ par $4$ .

$\frac{1000 t^{2} + 4500 - 2000 t^{2}}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $2000 t^{2}$ de $1000 t^{2}$ .

$\frac{- 1000 t^{2} + 4500}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 5.3

Factorisez $500$ à partir de $- 1000 t^{2} + 4500$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $500$ à partir de $- 1000 t^{2}$ .

$\frac{500 (- 2 t^{2}) + 4500}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Factorisez $500$ à partir de $4500$ .

$\frac{500 (- 2 t^{2}) + 500 (9)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 5.3.3

Factorisez $500$ à partir de $500 (- 2 t^{2}) + 500 (9)$ .

$\frac{500 (- 2 t^{2} + 9)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 t^{2}$ .

$\frac{500 (- (2 t^{2}) + 9)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 5.5

Réécrivez $9$ comme $- 1 (- 9)$ .

$\frac{500 (- (2 t^{2}) - 1 (- 9))}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 t^{2}) - 1 (- 9)$ .

$\frac{500 (- (2 t^{2} - 9))}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 5.7

Réécrivez $- (2 t^{2} - 9)$ comme $- 1 (2 t^{2} - 9)$ .

$\frac{500 (- 1 (2 t^{2} - 9))}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{500 (2 t^{2} - 9)}{{(2 t^{2} + 9)}^{2}}$