Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{c x + a}{a x + b}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d c} [\frac{f (c)}{g (c)}]$ est $\frac{g (c) \frac{d}{d c} [f (c)] - f (c) \frac{d}{d c} [g (c)]}{{g (c)}^{2}}$ où $f (c) = c x + a$ et $g (c) = a x + b$ .

$\frac{(a x + b) \frac{d}{d c} [c x + a] - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $c x + a$ par rapport à $c$ est $\frac{d}{d c} [c x] + \frac{d}{d c} [a]$ .

$\frac{(a x + b) (\frac{d}{d c} [c x] + \frac{d}{d c} [a]) - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d c} [c x]$ .

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Étape 3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $c$ , la dérivée de $c x$ par rapport à $c$ est $x \frac{d}{d c} [c]$ .

$\frac{(a x + b) (x \frac{d}{d c} [c] + \frac{d}{d c} [a]) - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ est $n c^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(a x + b) (x \cdot 1 + \frac{d}{d c} [a]) - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{(a x + b) (x + \frac{d}{d c} [a]) - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $a$ est constant par rapport à $c$ , la dérivée de $a$ par rapport à $c$ est $0$ .

$\frac{(a x + b) (x + 0) - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{(a x + b) x - (c x + a) \frac{d}{d c} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a x + b$ par rapport à $c$ est $\frac{d}{d c} [a x] + \frac{d}{d c} [b]$ .

$\frac{(a x + b) x - (c x + a) (\frac{d}{d c} [a x] + \frac{d}{d c} [b])}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 4.4

Comme $a x$ est constant par rapport à $c$ , la dérivée de $a x$ par rapport à $c$ est $0$ .

$\frac{(a x + b) x - (c x + a) (0 + \frac{d}{d c} [b])}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 4.5

Comme $b$ est constant par rapport à $c$ , la dérivée de $b$ par rapport à $c$ est $0$ .

$\frac{(a x + b) x - (c x + a) (0 + 0)}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 4.6

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{(a x + b) x - (c x + a) \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a x \cdot x + b x - (c x + a) \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a x \cdot x + b x + (- (c x) - a) \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a x \cdot x + b x - (c x) \cdot 0 - a \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{a (x \cdot x) + b x - (c x) \cdot 0 - a \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 5.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{a x^{2} + b x - (c x) \cdot 0 - a \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 5.4.1.2

Multipliez $- c x \cdot 0$ .

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Étape 5.4.1.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{a x^{2} + b x + 0 c x - a \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 5.4.1.2.2

Multipliez $0$ par $c$ .

$\frac{a x^{2} + b x + 0 x - a \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 5.4.1.2.3

Multipliez $0$ par $x$ .

$\frac{a x^{2} + b x + 0 - a \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 5.4.1.3

Multipliez $- a \cdot 0$ .

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Étape 5.4.1.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{a x^{2} + b x + 0 + 0 a}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 5.4.1.3.2

Multipliez $0$ par $a$ .

$\frac{a x^{2} + b x + 0 + 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 5.4.2

Associez les termes opposés dans $a x^{2} + b x + 0 + 0$ .

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Étape 5.4.2.1

Additionnez $a x^{2} + b x$ et $0$ .

$\frac{a x^{2} + b x + 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 5.4.2.2

Additionnez $a x^{2} + b x$ et $0$ .

$\frac{a x^{2} + b x}{{(a x + b)}^{2}}$

Étape 5.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} a + b x}{{(b + a x)}^{2}}$

Étape 5.6

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} a + b x$ .

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Étape 5.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} a$ .

$\frac{x (x a) + b x}{{(b + a x)}^{2}}$

Étape 5.6.2

Factorisez $x$ à partir de $b x$ .

$\frac{x (x a) + x b}{{(b + a x)}^{2}}$

Étape 5.6.3

Factorisez $x$ à partir de $x (x a) + x b$ .

$\frac{x (x a + b)}{{(b + a x)}^{2}}$

Étape 5.7

Annulez le facteur commun à $x a + b$ et ${(b + a x)}^{2}$ .

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Étape 5.7.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x (b + a x)}{{(b + a x)}^{2}}$

Étape 5.7.2

Factorisez $b + a x$ à partir de $x (b + a x)$ .

$\frac{(b + a x) x}{{(b + a x)}^{2}}$

Étape 5.7.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.7.3.1

Factorisez $b + a x$ à partir de ${(b + a x)}^{2}$ .

$\frac{(b + a x) x}{(b + a x) (b + a x)}$

Étape 5.7.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(b + a x) x}{(b + a x) (b + a x)}$

Étape 5.7.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{b + a x}$