Calcul infinitésimal Exemples

$v = \frac{2 t}{{(t + 1)}^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ est $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ où $f (v) = 2 t$ et $g (v) = {(t + 1)}^{2}$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \frac{d}{d v} [2 t] - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [{(t + 1)}^{2}]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.1

Comme $2 t$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $v$ est $0$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [{(t + 1)}^{2}]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Réécrivez ${(t + 1)}^{2}$ comme $(t + 1) (t + 1)$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [(t + 1) (t + 1)]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3

Développez $(t + 1) (t + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t (t + 1) + 1 (t + 1)]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t \cdot t + t \cdot 1 + 1 (t + 1)]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t \cdot t + t \cdot 1 + 1 t + 1 \cdot 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t^{2} + t \cdot 1 + 1 t + 1 \cdot 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.2

Multipliez $t$ par $1$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t^{2} + t + 1 t + 1 \cdot 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.3

Multipliez $t$ par $1$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t^{2} + t + t + 1 \cdot 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 4.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t^{2} + t + t + 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 4.2

Additionnez $t$ et $t$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \frac{d}{d v} [t^{2} + 2 t + 1]}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 5

Comme $t^{2} + 2 t + 1$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $t^{2} + 2 t + 1$ par rapport à $v$ est $0$ .

$\frac{{(t + 1)}^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.1

Réécrivez ${(t + 1)}^{2}$ comme $(t + 1) (t + 1)$ .

$\frac{(t + 1) (t + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 6.1.1.2

Développez $(t + 1) (t + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(t (t + 1) + 1 (t + 1)) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 6.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(t \cdot t + t \cdot 1 + 1 (t + 1)) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 6.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(t \cdot t + t \cdot 1 + 1 t + 1 \cdot 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 6.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.3.1.1

Multipliez $t$ par $t$ .

$\frac{(t^{2} + t \cdot 1 + 1 t + 1 \cdot 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 6.1.1.3.1.2

Multipliez $t$ par $1$ .

$\frac{(t^{2} + t + 1 t + 1 \cdot 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 6.1.1.3.1.3

Multipliez $t$ par $1$ .

$\frac{(t^{2} + t + t + 1 \cdot 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 6.1.1.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{(t^{2} + t + t + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 6.1.1.3.2

Additionnez $t$ et $t$ .

$\frac{(t^{2} + 2 t + 1) \cdot 0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 6.1.1.4

Multipliez $t^{2} + 2 t + 1$ par $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 6.1.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{0 - 2 t \cdot 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 6.1.1.6

Multipliez $- 2 t \cdot 0$ .

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Étape 6.1.1.6.1

Multipliez $0$ par $- 2$ .

$\frac{0 + 0 t}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 6.1.1.6.2

Multipliez $0$ par $t$ .

$\frac{0 + 0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 6.1.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{{({(t + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 6.2

Multipliez les exposants dans ${({(t + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{{(t + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 6.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{0}{{(t + 1)}^{4}}$

Étape 6.3

Divisez $0$ par ${(t + 1)}^{4}$ .

$0$