Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{(\tan (x) - 1)}{\sec (x)}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \tan (x) - 1$ et $g (x) = \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x) - 1] - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\tan (x) - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\sec (x) (\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Étape 3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) + 0) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Étape 4.2

Additionnez $\sec^{2} (x)$ et $0$ .

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\sec^{2} (x)}$

Étape 5

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) - (\tan (x) - 1) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) + (- \tan (x) - - 1) (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - - 1 (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Étape 6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.1.1

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ .

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Étape 6.3.1.1.1.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - - 1 (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Étape 6.3.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sec (x)}^{1 + 2} - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - - 1 (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Étape 6.3.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\sec^{3} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - - 1 (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Étape 6.3.1.2

Multipliez $- \tan (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

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Étape 6.3.1.2.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sec^{3} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x) - - 1 (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Étape 6.3.1.2.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sec^{3} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x) - - 1 (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Étape 6.3.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sec^{3} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) - - 1 (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Étape 6.3.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) - - 1 (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Étape 6.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) + 1 (\sec (x) \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Étape 6.3.1.4

Multipliez $\sec (x) \tan (x)$ par $1$ .

$\frac{\sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x)}{\sec^{2} (x)}$

Étape 6.3.2

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec^{3} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x)$ .

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Étape 6.3.2.1

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec^{3} (x)$ .

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) \tan (x)}{\sec^{2} (x)}$

Étape 6.3.2.2

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $- \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) \tan (x)}{\sec^{2} (x)}$

Étape 6.3.2.3

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (\tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Étape 6.3.2.4

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) \sec^{2} (x) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)) + \sec (x) (\tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Étape 6.3.2.5

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)) + \sec (x) (\tan (x))$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) + \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Étape 6.3.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\sec (x) (1 + \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Étape 6.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) \tan (x)}{\sec^{2} (x)}$

Étape 6.3.5

Multipliez $\sec (x)$ par $1$ .

$\frac{\sec (x) + \sec (x) \tan (x)}{\sec^{2} (x)}$

Étape 6.4

Associez des termes.

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Étape 6.4.1

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) + \sec (x) \tan (x)$ .

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Étape 6.4.1.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) \tan (x)}{\sec^{2} (x)}$

Étape 6.4.1.2

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (\tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Étape 6.4.1.3

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (\tan (x))$ .

$\frac{\sec (x) (1 + \tan (x))}{\sec^{2} (x)}$

Étape 6.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.2.1

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (1 + \tan (x))}{\sec (x) \sec (x)}$

Étape 6.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sec (x) (1 + \tan (x))}{\sec (x) \sec (x)}$

Étape 6.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + \tan (x)}{\sec (x)}$