Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{{(x - 6)}^{9}}{{(x - 5)}^{6}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = {(x - 6)}^{9}$ et $g (x) = {(x - 5)}^{6}$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{9}] - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{9}$ et $g (x) = x - 6$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x - 6$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{9}] \frac{d}{d x} [x - 6]) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 9$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {u_{1}}^{8} \frac{d}{d x} [x - 6]) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - 6$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8} \frac{d}{d x} [x - 6]) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 3.3

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8} (1 + 0)) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8} \cdot 1) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 3.4.2

Multipliez $9$ par $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{6}]}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{6}$ et $g (x) = x - 5$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x - 5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{6}] \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {u_{2}}^{5} \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x - 5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5} \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 5.3

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5} (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5} \cdot 1)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 5.4.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{6} (9 {(x - 6)}^{8}) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5})}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Factorisez ${(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8}$ à partir de ${(x - 5)}^{6} \cdot 9 {(x - 6)}^{8} - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5})$ .

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Étape 6.1.1.1

Factorisez ${(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8}$ à partir de ${(x - 5)}^{6} \cdot 9 {(x - 6)}^{8}$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} ((x - 5) \cdot 9) - {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5})}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 6.1.1.2

Factorisez ${(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8}$ à partir de $- {(x - 6)}^{9} (6 {(x - 5)}^{5})$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} ((x - 5) \cdot 9) + {(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (- (x - 6) \cdot 6)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 6.1.1.3

Factorisez ${(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8}$ à partir de ${(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} ((x - 5) \cdot 9) + {(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (- (x - 6) \cdot 6)$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} ((x - 5) \cdot 9 - (x - 6) \cdot 6)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 6.1.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} ((x - 5) \cdot 9 - 6 (x - 6))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 6.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (x \cdot 9 - 5 \cdot 9 - 6 (x - 6))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 6.1.3.2

Déplacez $9$ à gauche de $x$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (9 \cdot x - 5 \cdot 9 - 6 (x - 6))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 6.1.3.3

Multipliez $- 5$ par $9$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (9 \cdot x - 45 - 6 (x - 6))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 6.1.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (9 x - 45 - 6 x - 6 \cdot - 6)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 6.1.3.5

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (9 x - 45 - 6 x + 36)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 6.1.4

Soustrayez $6 x$ de $9 x$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (3 x - 45 + 36)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 6.1.5

Additionnez $- 45$ et $36$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (3 x - 9)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 6.1.6

Factorisez $3$ à partir de $3 x - 9$ .

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Étape 6.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (3 (x) - 9)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 6.1.6.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (3 x + 3 \cdot - 3)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 6.1.6.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 \cdot - 3$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (3 (x - 3))}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

$\frac{{(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} \cdot 3 (x - 3)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 6.2

Associez des termes.

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Étape 6.2.1

Déplacez $3$ à gauche de ${(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8}$ .

$\frac{3 \cdot ({(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8}) (x - 3)}{{({(x - 5)}^{6})}^{2}}$

Étape 6.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x - 5)}^{6})}^{2}$ .

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Étape 6.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 {(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (x - 3)}{{(x - 5)}^{6 \cdot 2}}$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{3 {(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (x - 3)}{{(x - 5)}^{12}}$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun à ${(x - 5)}^{5}$ et ${(x - 5)}^{12}$ .

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Étape 6.2.3.1

Factorisez ${(x - 5)}^{5}$ à partir de $3 {(x - 5)}^{5} {(x - 6)}^{8} (x - 3)$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} (3 {(x - 6)}^{8} (x - 3))}{{(x - 5)}^{12}}$

Étape 6.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.2.1

Factorisez ${(x - 5)}^{5}$ à partir de ${(x - 5)}^{12}$ .

$\frac{{(x - 5)}^{5} (3 {(x - 6)}^{8} (x - 3))}{{(x - 5)}^{5} {(x - 5)}^{7}}$

Étape 6.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x - 5)}^{5} (3 {(x - 6)}^{8} (x - 3))}{{(x - 5)}^{5} {(x - 5)}^{7}}$

Étape 6.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 {(x - 6)}^{8} (x - 3)}{{(x - 5)}^{7}}$