Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \cos (\frac{π}{6} x)$ , $x = 1$

Étape 1

Étudiez la fonction utilisée pour déterminer la linéarisation sur $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Étape 2

Remplacez la valeur de $a = 1$ dans la fonction de linéarisation.

$L (x) = f (1) + f' (1) (x - 1)$

Étape 3

Évaluez $f (1)$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \cos (\frac{π}{6} \cdot (1))$

Étape 3.2

Simplifiez $\cos (\frac{π}{6} \cdot (1))$ .

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Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$\cos (\frac{π}{6} \cdot (1))$

Étape 3.2.2

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $1$ .

$\cos (\frac{π}{6})$

Étape 3.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4

Déterminez la dérivée et évaluez-la sur $1$ .

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée de $f (x) = \cos (\frac{π}{6} x)$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \frac{π}{6} x$ .

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Étape 4.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{π}{6} x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{6} x]$

Étape 4.1.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{π}{6} x]$

Étape 4.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{π}{6} x$ .

$- \sin (\frac{π}{6} x) \frac{d}{d x} [\frac{π}{6} x]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Associez $\frac{π}{6}$ et $x$ .

$- \sin (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{π}{6} x]$

Étape 4.1.2.2

Associez $\frac{π}{6}$ et $x$ .

$- \sin (\frac{π x}{6}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{6}]$

Étape 4.1.2.3

Comme $\frac{π}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π x}{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{π}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{π x}{6}) (\frac{π}{6} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.1.2.4

Associez $\frac{π}{6}$ et $\sin (\frac{π x}{6})$ .

$- \frac{π \sin (\frac{π x}{6})}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{π \sin (\frac{π x}{6})}{6} \cdot 1$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{π \sin (\frac{π x}{6})}{6}$

Étape 4.2

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$- \frac{π \sin (\frac{π (1)}{6})}{6}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$- \frac{π \sin (\frac{π}{6})}{6}$

Étape 4.3.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π \frac{1}{2}}{6}$

Étape 4.3.3

Associez $π$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\frac{π}{2}}{6}$

Étape 4.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{6})$

Étape 4.3.5

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{6}$ .

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{π}{2 \cdot 6}$

Étape 4.3.5.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$- \frac{π}{12}$

Étape 5

Remplacez les composants dans la fonction de linéarisation afin de déterminer la linéarisation sur $a$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{π}{12} (x - 1)$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{π}{12} x - \frac{π}{12} \cdot - 1$

Étape 6.2

Associez $x$ et $\frac{π}{12}$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{x π}{12} - \frac{π}{12} \cdot - 1$

Étape 6.3

Multipliez $- \frac{π}{12} \cdot - 1$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{x π}{12} + 1 (\frac{π}{12})$

Étape 6.3.2

Multipliez $\frac{π}{12}$ par $1$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{x π}{12} + \frac{π}{12}$

Étape 7