Calcul infinitésimal Exemples

${(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{4}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ est $f' (g (w)) g' (w)$ où $f (w) = w^{4}$ et $g (w) = 1 + \sqrt{w^{3} + 3}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $1 + \sqrt{w^{3} + 3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d w} [1 + \sqrt{w^{3} + 3}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d w} [1 + \sqrt{w^{3} + 3}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + \sqrt{w^{3} + 3}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} \frac{d}{d w} [1 + \sqrt{w^{3} + 3}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \sqrt{w^{3} + 3}$ par rapport à $w$ est $\frac{d}{d w} [1] + \frac{d}{d w} [\sqrt{w^{3} + 3}]$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (\frac{d}{d w} [1] + \frac{d}{d w} [\sqrt{w^{3} + 3}])$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $1$ par rapport à $w$ est $0$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{d}{d w} [\sqrt{w^{3} + 3}])$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d w} [\sqrt{w^{3} + 3}]$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{w^{3} + 3}$ comme ${(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{d}{d w} [{(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ est $f' (g (w)) g' (w)$ où $f (w) = w^{\frac{1}{2}}$ et $g (w) = w^{3} + 3$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $w^{3} + 3$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d w} [w^{3} + 3])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d w} [w^{3} + 3])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $w^{3} + 3$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d w} [w^{3} + 3])$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $w^{3} + 3$ par rapport à $w$ est $\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [3]$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d w} [w^{3}] + \frac{d}{d w} [3]))$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ est $n w^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 w^{2} + \frac{d}{d w} [3]))$

Étape 3.5

Comme $3$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $3$ par rapport à $w$ est $0$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 w^{2} + 0))$

Étape 3.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (3 w^{2} + 0))$

Étape 3.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (3 w^{2} + 0))$

Étape 3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (3 w^{2} + 0))$

Étape 3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} (3 w^{2} + 0))$

Étape 3.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{\frac{- 1}{2}} (3 w^{2} + 0))$

Étape 3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}} (3 w^{2} + 0))$

Étape 3.11

Additionnez $3 w^{2}$ et $0$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{1}{2} {(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}} (3 w^{2}))$

Étape 3.12

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{{(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (3 w^{2}))$

Étape 3.13

Associez $3$ et $\frac{{(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{3 {(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} w^{2})$

Étape 3.14

Associez $\frac{3 {(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $w^{2}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{3 {(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}} w^{2}}{2})$

Étape 3.15

Placez ${(w^{3} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} (0 + \frac{3 w^{2}}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4

Additionnez $0$ et $\frac{3 w^{2}}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3} \frac{3 w^{2}}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Associez des termes.

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Étape 5.1

Associez $\frac{3 w^{2}}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ et $4$ .

$\frac{3 w^{2} \cdot 4}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3}$

Étape 5.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12 w^{2}}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3}$

Étape 5.3

Associez $\frac{12 w^{2}}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ et ${(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3}$ .

$\frac{12 w^{2} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3}}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.4

Factorisez $2$ à partir de $12 w^{2} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3}$ .

$\frac{2 (6 w^{2} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3})}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (6 w^{2} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3})}{2 ({(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 5.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (6 w^{2} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3})}{2 {(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 w^{2} {(1 + \sqrt{w^{3} + 3})}^{3}}{{(w^{3} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$