Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3} + 9 x^{2}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3} + 9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 9 x^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 9 x^{2}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} + 9 x^{2}$ .

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3} + 9 x^{2}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}])$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Étape 3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} (3 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} (3 x^{2} + 9 (2 x))$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $9$ .

$- {(x^{3} + 9 x^{2})}^{- 2} (3 x^{2} + 18 x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}} (3 x^{2} + 18 x)$

Étape 4.2

Réorganisez les facteurs de $- \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}} (3 x^{2} + 18 x)$ .

$- (3 x^{2} + 18 x) \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$(- (3 x^{2}) - (18 x)) \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}}$

Étape 4.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$(- 3 x^{2} - (18 x)) \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}}$

Étape 4.5

Multipliez $18$ par $- 1$ .

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{{(x^{3} + 9 x^{2})}^{2}}$

Étape 4.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.6.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} + 9 x^{2}$ .

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Étape 4.6.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{{(x^{2} x + 9 x^{2})}^{2}}$

Étape 4.6.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $9 x^{2}$ .

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 9)}^{2}}$

Étape 4.6.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x + x^{2} \cdot 9$ .

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{{(x^{2} (x + 9))}^{2}}$

Étape 4.6.2

Appliquez la règle de produit à $x^{2} (x + 9)$ .

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{{(x^{2})}^{2} {(x + 9)}^{2}}$

Étape 4.6.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.6.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{x^{2 \cdot 2} {(x + 9)}^{2}}$

Étape 4.6.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(- 3 x^{2} - 18 x) \frac{1}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

Étape 4.7

Multipliez $- 3 x^{2} - 18 x$ par $\frac{1}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 18 x}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

Étape 4.8

Factorisez $3 x$ à partir de $- 3 x^{2} - 18 x$ .

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Étape 4.8.1

Factorisez $3 x$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 x (- x) - 18 x}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

Étape 4.8.2

Factorisez $3 x$ à partir de $- 18 x$ .

$\frac{3 x (- x) + 3 x (- 6)}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

Étape 4.8.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (- x) + 3 x (- 6)$ .

$\frac{3 x (- x - 6)}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

Étape 4.9

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{4}$ .

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Étape 4.9.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x (- x - 6)$ .

$\frac{x (3 (- x - 6))}{x^{4} {(x + 9)}^{2}}$

Étape 4.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.9.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4} {(x + 9)}^{2}$ .

$\frac{x (3 (- x - 6))}{x (x^{3} {(x + 9)}^{2})}$

Étape 4.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (3 (- x - 6))}{x (x^{3} {(x + 9)}^{2})}$

Étape 4.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (- x - 6)}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

Étape 4.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{3 (- (x) - 6)}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

Étape 4.11

Réécrivez $- 6$ comme $- 1 (6)$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (6))}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

Étape 4.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (6)$ .

$\frac{3 (- (x + 6))}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

Étape 4.13

Réécrivez $- (x + 6)$ comme $- 1 (x + 6)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 6))}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$

Étape 4.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 (x + 6)}{x^{3} {(x + 9)}^{2}}$