Calcul infinitésimal Exemples

${(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{4}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \frac{3 x - 7}{6 x + 3}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{3 x - 7}{6 x + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 x + 3}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 x + 3}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{3 x - 7}{6 x + 3}$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 x + 3}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 3 x - 7$ et $g (x) = 6 x + 3$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{(6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 7] - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{(6 x + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{(6 x + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{(6 x + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{(6 x + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.5

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{(6 x + 3) (3 + 0) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{(6 x + 3) \cdot 3 - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $6 x + 3$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 \cdot (6 x + 3) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [6 x + 3]}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x + 3) - (3 x - 7) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.8

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x + 3) - (3 x - 7) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x + 3) - (3 x - 7) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.10

Multipliez $6$ par $1$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x + 3) - (3 x - 7) (6 + \frac{d}{d x} [3])}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.11

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x + 3) - (3 x - 7) (6 + 0)}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.12.1

Additionnez $6$ et $0$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x + 3) - (3 x - 7) \cdot 6}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.12.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x + 3) - 6 (3 x - 7)}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x) + 3 \cdot 3 - 6 (3 x - 7)}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (6 x) + 3 \cdot 3 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 7}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Multipliez $6$ par $3$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{18 x + 3 \cdot 3 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 7}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{18 x + 9 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 7}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.3.1.3

Multipliez $3$ par $- 6$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{18 x + 9 - 18 x - 6 \cdot - 7}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.3.1.4

Multipliez $- 6$ par $- 7$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{18 x + 9 - 18 x + 42}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Associez les termes opposés dans $18 x + 9 - 18 x + 42$ .

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Étape 4.3.2.1

Soustrayez $18 x$ de $18 x$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{0 + 9 + 42}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $0$ et $9$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{9 + 42}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.3.3

Additionnez $9$ et $42$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{51}{{(6 x + 3)}^{2}}$

Étape 4.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.4.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x + 3$ .

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Étape 4.4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{51}{{(3 (2 x) + 3)}^{2}}$

Étape 4.4.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{51}{{(3 (2 x) + 3 (1))}^{2}}$

Étape 4.4.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (2 x) + 3 (1)$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{51}{{(3 (2 x + 1))}^{2}}$

Étape 4.4.2

Appliquez la règle de produit à $3 (2 x + 1)$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{51}{3^{2} {(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 4.4.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{51}{9 {(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun à $51$ et $9$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $3$ à partir de $51$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (17)}{9 {(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 4.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9 {(2 x + 1)}^{2}$ .

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 (17)}{3 (3 {(2 x + 1)}^{2})}$

Étape 4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{3 \cdot 17}{3 (3 {(2 x + 1)}^{2})}$

Étape 4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 {(\frac{3 x - 7}{6 x + 3})}^{3} \frac{17}{3 {(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 x - 7}{6 x + 3}$ .

$4 \frac{{(3 x - 7)}^{3}}{{(6 x + 3)}^{3}} \frac{17}{3 {(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 5.2

Associez des termes.

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Étape 5.2.1

Associez $4$ et $\frac{{(3 x - 7)}^{3}}{{(6 x + 3)}^{3}}$ .

$\frac{4 {(3 x - 7)}^{3}}{{(6 x + 3)}^{3}} \cdot \frac{17}{3 {(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 5.2.2

Multipliez $\frac{4 {(3 x - 7)}^{3}}{{(6 x + 3)}^{3}}$ par $\frac{17}{3 {(2 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{4 {(3 x - 7)}^{3} \cdot 17}{{(6 x + 3)}^{3} (3 {(2 x + 1)}^{2})}$

Étape 5.2.3

Multipliez $17$ par $4$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{{(6 x + 3)}^{3} (3 {(2 x + 1)}^{2})}$

Étape 5.2.4

Déplacez $3$ à gauche de ${(6 x + 3)}^{3}$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3 {(6 x + 3)}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x + 3$ .

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Étape 5.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3 {(3 (2 x) + 3)}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3 {(3 (2 x) + 3 (1))}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 5.3.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (2 x) + 3 (1)$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3 {(3 (2 x + 1))}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Appliquez la règle de produit à $3 (2 x + 1)$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3 \cdot 3^{3} {(2 x + 1)}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 5.3.3

Associez les exposants.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $3$ par $3^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.3.1.1

Multipliez $3$ par $3^{3}$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3^{1} \cdot 3^{3} {(2 x + 1)}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3^{1 + 3} {(2 x + 1)}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 5.3.3.1.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3^{4} {(2 x + 1)}^{3} {(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 5.3.3.2

Multipliez ${(2 x + 1)}^{3}$ par ${(2 x + 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.3.2.1

Déplacez ${(2 x + 1)}^{2}$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3^{4} ({(2 x + 1)}^{2} {(2 x + 1)}^{3})}$

Étape 5.3.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3^{4} {(2 x + 1)}^{2 + 3}}$

Étape 5.3.3.2.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{3^{4} {(2 x + 1)}^{5}}$

Étape 5.3.4

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{68 {(3 x - 7)}^{3}}{81 {(2 x + 1)}^{5}}$