Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{2} - 16 \ln (x)$

Étape 1

Écrivez $2 x^{2} - 16 \ln (x)$ comme une fonction.

$f (x) = 2 x^{2} - 16 \ln (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - 16 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 16 \ln (x)]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 x - 16 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 2.1.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$4 x - 16 \frac{1}{x}$

Étape 2.1.3.3

Associez $- 16$ et $\frac{1}{x}$ .

$4 x + \frac{- 16}{x}$

Étape 2.1.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 4 x - \frac{16}{x}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x - \frac{16}{x}$ .

$4 x - \frac{16}{x}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x - \frac{16}{x} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x - \frac{16}{x} = 0$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x, 1$

Étape 3.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $4 x - \frac{16}{x} = 0$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $4 x - \frac{16}{x} = 0$ par $x$ .

$4 x \cdot x - \frac{16}{x} x = 0 x$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$4 (x \cdot x) - \frac{16}{x} x = 0 x$

Étape 3.3.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x^{2} - \frac{16}{x} x = 0 x$

Étape 3.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{16}{x}$ dans le numérateur.

$4 x^{2} + \frac{- 16}{x} x = 0 x$

Étape 3.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 x^{2} + \frac{- 16}{x} x = 0 x$

Étape 3.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 x^{2} - 16 = 0 x$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $0$ par $x$ .

$4 x^{2} - 16 = 0$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} = 16$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = 16$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = 16$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{16}{4}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{16}{4}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{16}{4}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Divisez $16$ par $4$ .

$x^{2} = 4$

Étape 3.4.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 3.4.4

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 3.4.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 3.4.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 3.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 3.4.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 3.4.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $2, - 2$ .

$2, - 2$

Étape 5

Définissez le dénominateur dans $\frac{16}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 6

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 7

Excluez les intervalles qui ne sont pas dans le domaine.

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = 4 (- 1) - \frac{16}{- 1}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 - \frac{16}{- 1}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $16$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 + 16$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 16$ .

$f' (- 1) = - 4 + 16$

Étape 8.2.2

Additionnez $- 4$ et $16$ .

$f' (- 1) = 12$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $12$ .

$12$

Étape 9

Excluez les intervalles qui ne sont pas dans le domaine.

$(0, 2)$

Étape 10

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 4 (1) - \frac{16}{1}$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$f' (1) = 4 - \frac{16}{1}$

Étape 10.2.1.2

Divisez $16$ par $1$ .

$f' (1) = 4 - 1 \cdot 16$

Étape 10.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$f' (1) = 4 - 16$

Étape 10.2.2

Soustrayez $16$ de $4$ .

$f' (1) = - 12$

Étape 10.2.3

La réponse finale est $- 12$ .

$- 12$

Étape 10.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $- 12$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 2)$ .

Diminue sur $(0, 2)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 11

Excluez les intervalles qui ne sont pas dans le domaine.

$(0, 2), (2, \infty)$

Étape 12

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = 4 (3) - \frac{16}{3}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$f' (3) = 12 - \frac{16}{3}$

Étape 12.2.2

Pour écrire $12$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (3) = 12 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}$

Étape 12.2.3

Associez $12$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (3) = \frac{12 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}$

Étape 12.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (3) = \frac{12 \cdot 3 - 16}{3}$

Étape 12.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.5.1

Multipliez $12$ par $3$ .

$f' (3) = \frac{36 - 16}{3}$

Étape 12.2.5.2

Soustrayez $16$ de $36$ .

$f' (3) = \frac{20}{3}$

Étape 12.2.6

La réponse finale est $\frac{20}{3}$ .

$\frac{20}{3}$

Étape 12.3

Sur $x = 3$ la dérivée est $\frac{20}{3}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(2, \infty)$ .

Augmente sur $(2, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 13

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(2, \infty)$

Diminue sur : $(0, 2)$

Étape 14