Calcul infinitésimal Exemples

$0.05 x + 15 + \frac{500}{x}$

Étape 1

Écrivez $0.05 x + 15 + \frac{500}{x}$ comme une fonction.

$f (x) = 0.05 x + 15 + \frac{500}{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $0.05 x + 15 + \frac{500}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [0.05 x] + \frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [0.05 x] + \frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [0.05 x]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $0.05$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0.05 x$ par rapport à $x$ est $0.05 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.05 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0.05 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $0.05$ par $1$ .

$0.05 + \frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$

Étape 2.1.3

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0.05 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$

Étape 2.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{500}{x}]$ .

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Étape 2.1.4.1

Comme $500$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{500}{x}$ par rapport à $x$ est $500 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0.05 + 0 + 500 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.1.4.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$0.05 + 0 + 500 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 2.1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$0.05 + 0 + 500 (- x^{- 2})$

Étape 2.1.4.4

Multipliez $- 1$ par $500$ .

$0.05 + 0 - 500 x^{- 2}$

Étape 2.1.5

Simplifiez

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Étape 2.1.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0.05 + 0 - 500 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2.1.5.2

Associez des termes.

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Étape 2.1.5.2.1

Additionnez $0.05$ et $0$ .

$0.05 - 500 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2.1.5.2.2

Associez $- 500$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0.05 + \frac{- 500}{x^{2}}$

Étape 2.1.5.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$0.05 - \frac{500}{x^{2}}$

Étape 2.1.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - \frac{500}{x^{2}} + 0.05$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{500}{x^{2}} + 0.05$ .

$- \frac{500}{x^{2}} + 0.05$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{500}{x^{2}} + 0.05 = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{500}{x^{2}} + 0.05 = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $0.05$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{500}{x^{2}} = - 0.05$

Étape 3.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2}, 1$

Étape 3.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 3.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{500}{x^{2}} = - 0.05$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{500}{x^{2}} = - 0.05$ par $x^{2}$ .

$- \frac{500}{x^{2}} x^{2} = - 0.05 x^{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{500}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 500}{x^{2}} x^{2} = - 0.05 x^{2}$

Étape 3.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 500}{x^{2}} x^{2} = - 0.05 x^{2}$

Étape 3.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 500 = - 0.05 x^{2}$

Étape 3.5

Résolvez l’équation.

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 0.05 x^{2} = - 500$ .

$- 0.05 x^{2} = - 500$

Étape 3.5.2

Divisez chaque terme dans $- 0.05 x^{2} = - 500$ par $- 0.05$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 0.05 x^{2} = - 500$ par $- 0.05$ .

$\frac{- 0.05 x^{2}}{- 0.05} = \frac{- 500}{- 0.05}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 0.05$ .

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Étape 3.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 0.05 x^{2}}{- 0.05} = \frac{- 500}{- 0.05}$

Étape 3.5.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 500}{- 0.05}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.3.1

Divisez $- 500$ par $- 0.05$ .

$x^{2} = 10000$

Étape 3.5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{10000}$

Étape 3.5.4

Simplifiez $\pm \sqrt{10000}$ .

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Étape 3.5.4.1

Réécrivez $10000$ comme $100^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{100^{2}}$

Étape 3.5.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 100$

Étape 3.5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 100$

Étape 3.5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 100$

Étape 3.5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 100, - 100$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $100, - 100$ .

$100, - 100$

Étape 5

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{500}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 5.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 5.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 5.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 100) \cup (- 100, 0) \cup (0, 100) \cup (100, \infty)$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 100)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 101$ dans l’expression.

$f' (- 101) = - \frac{500}{{(- 101)}^{2}} + 0.05$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Élevez $- 101$ à la puissance $2$ .

$f' (- 101) = - \frac{500}{10201} + 0.05$

Étape 7.2.2

Pour écrire $0.05$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10201}{10201}$ .

$f' (- 101) = - \frac{500}{10201} + 0.05 \cdot \frac{10201}{10201}$

Étape 7.2.3

Associez les fractions.

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Étape 7.2.3.1

Associez $0.05$ et $\frac{10201}{10201}$ .

$f' (- 101) = - \frac{500}{10201} + \frac{0.05 \cdot 10201}{10201}$

Étape 7.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 101) = \frac{- 500 + 0.05 \cdot 10201}{10201}$

Étape 7.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.4.1

Multipliez $0.05$ par $10201$ .

$f' (- 101) = \frac{- 500 + 510.05}{10201}$

Étape 7.2.4.2

Additionnez $- 500$ et $510.05$ .

$f' (- 101) = \frac{10.05}{10201}$

Étape 7.2.5

Divisez $10.05$ par $10201$ .

$f' (- 101) = 0.00098519$

Étape 7.2.6

La réponse finale est $0.00098519$ .

$0.00098519$

Étape 7.3

Sur $x = - 101$ la dérivée est $0.00098519$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 100)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 100)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 100, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $- 50$ dans l’expression.

$f' (- 50) = - \frac{500}{{(- 50)}^{2}} + 0.05$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $- 50$ à la puissance $2$ .

$f' (- 50) = - \frac{500}{2500} + 0.05$

Étape 8.2.1.2

Annulez le facteur commun à $500$ et $2500$ .

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Étape 8.2.1.2.1

Factorisez $500$ à partir de $500$ .

$f' (- 50) = - \frac{500 (1)}{2500} + 0.05$

Étape 8.2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.1.2.2.1

Factorisez $500$ à partir de $2500$ .

$f' (- 50) = - \frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 5} + 0.05$

Étape 8.2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (- 50) = - \frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 5} + 0.05$

Étape 8.2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (- 50) = - \frac{1}{5} + 0.05$

Étape 8.2.2

Pour écrire $0.05$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f' (- 50) = - \frac{1}{5} + 0.05 \cdot \frac{5}{5}$

Étape 8.2.3

Associez les fractions.

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Étape 8.2.3.1

Associez $0.05$ et $\frac{5}{5}$ .

$f' (- 50) = - \frac{1}{5} + \frac{0.05 \cdot 5}{5}$

Étape 8.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 50) = \frac{- 1 + 0.05 \cdot 5}{5}$

Étape 8.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.4.1

Multipliez $0.05$ par $5$ .

$f' (- 50) = \frac{- 1 + 0.25}{5}$

Étape 8.2.4.2

Additionnez $- 1$ et $0.25$ .

$f' (- 50) = \frac{- 0.75}{5}$

Étape 8.2.5

Divisez $- 0.75$ par $5$ .

$f' (- 50) = - 0.15$

Étape 8.2.6

La réponse finale est $- 0.15$ .

$- 0.15$

Étape 8.3

Sur $x = - 50$ la dérivée est $- 0.15$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 100, 0)$ .

Diminue sur $(- 100, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 100)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $50$ dans l’expression.

$f' (50) = - \frac{500}{{(50)}^{2}} + 0.05$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1.1

Élevez $50$ à la puissance $2$ .

$f' (50) = - \frac{500}{2500} + 0.05$

Étape 9.2.1.2

Annulez le facteur commun à $500$ et $2500$ .

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Étape 9.2.1.2.1

Factorisez $500$ à partir de $500$ .

$f' (50) = - \frac{500 (1)}{2500} + 0.05$

Étape 9.2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.1.2.2.1

Factorisez $500$ à partir de $2500$ .

$f' (50) = - \frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 5} + 0.05$

Étape 9.2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (50) = - \frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 5} + 0.05$

Étape 9.2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (50) = - \frac{1}{5} + 0.05$

Étape 9.2.2

Pour écrire $0.05$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f' (50) = - \frac{1}{5} + 0.05 \cdot \frac{5}{5}$

Étape 9.2.3

Associez les fractions.

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Étape 9.2.3.1

Associez $0.05$ et $\frac{5}{5}$ .

$f' (50) = - \frac{1}{5} + \frac{0.05 \cdot 5}{5}$

Étape 9.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (50) = \frac{- 1 + 0.05 \cdot 5}{5}$

Étape 9.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.4.1

Multipliez $0.05$ par $5$ .

$f' (50) = \frac{- 1 + 0.25}{5}$

Étape 9.2.4.2

Additionnez $- 1$ et $0.25$ .

$f' (50) = \frac{- 0.75}{5}$

Étape 9.2.5

Divisez $- 0.75$ par $5$ .

$f' (50) = - 0.15$

Étape 9.2.6

La réponse finale est $- 0.15$ .

$- 0.15$

Étape 9.3

Sur $x = 50$ la dérivée est $- 0.15$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 100)$ .

Diminue sur $(0, 100)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 10

Remplacez une valeur de l’intervalle $(100, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $101$ dans l’expression.

$f' (101) = - \frac{500}{{(101)}^{2}} + 0.05$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.1

Élevez $101$ à la puissance $2$ .

$f' (101) = - \frac{500}{10201} + 0.05$

Étape 10.2.2

Pour écrire $0.05$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10201}{10201}$ .

$f' (101) = - \frac{500}{10201} + 0.05 \cdot \frac{10201}{10201}$

Étape 10.2.3

Associez les fractions.

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Étape 10.2.3.1

Associez $0.05$ et $\frac{10201}{10201}$ .

$f' (101) = - \frac{500}{10201} + \frac{0.05 \cdot 10201}{10201}$

Étape 10.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (101) = \frac{- 500 + 0.05 \cdot 10201}{10201}$

Étape 10.2.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.4.1

Multipliez $0.05$ par $10201$ .

$f' (101) = \frac{- 500 + 510.05}{10201}$

Étape 10.2.4.2

Additionnez $- 500$ et $510.05$ .

$f' (101) = \frac{10.05}{10201}$

Étape 10.2.5

Divisez $10.05$ par $10201$ .

$f' (101) = 0.00098519$

Étape 10.2.6

La réponse finale est $0.00098519$ .

$0.00098519$

Étape 10.3

Sur $x = 101$ la dérivée est $0.00098519$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(100, \infty)$ .

Augmente sur $(100, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 11

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 100), (100, \infty)$

Diminue sur : $(- 100, 0), (0, 100)$

Étape 12