Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$

Étape 1

Écrivez $\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$ comme une fonction.

$f (t) = \frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{4 t}{3 t^{2} + 27}$ par rapport à $t$ est $4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{3 t^{2} + 27}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{3 t^{2} + 27}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = t$ et $g (t) = 3 t^{2} + 27$ .

$4 \frac{(3 t^{2} + 27) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 27]}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \frac{(3 t^{2} + 27) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 27]}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2

Multipliez $3 t^{2} + 27$ par $1$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 27]}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 t^{2} + 27$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [27]$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [27])}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t^{2}$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [27])}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [27])}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.3.6

Multipliez $2$ par $3$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t + \frac{d}{d t} [27])}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.3.7

Comme $27$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $27$ par rapport à $t$ est $0$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.3.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.3.8.1

Additionnez $6 t$ et $0$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - t (6 t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.3.8.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - 6 t \cdot t}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.4

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - 6 (t^{1} t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.5

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - 6 (t^{1} t^{1})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - 6 t^{1 + 1}}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \frac{3 t^{2} + 27 - 6 t^{2}}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.8

Soustrayez $6 t^{2}$ de $3 t^{2}$ .

$4 \frac{- 3 t^{2} + 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.9

Associez $4$ et $\frac{- 3 t^{2} + 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- 3 t^{2} + 27)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.10

Simplifiez

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Étape 2.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (- 3 t^{2}) + 4 \cdot 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.10.2.1

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{- 12 t^{2} + 4 \cdot 27}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.10.2.2

Multipliez $4$ par $27$ .

$\frac{- 12 t^{2} + 108}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.10.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.10.3.1

Factorisez $12$ à partir de $- 12 t^{2} + 108$ .

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Étape 2.1.10.3.1.1

Factorisez $12$ à partir de $- 12 t^{2}$ .

$\frac{12 (- t^{2}) + 108}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.10.3.1.2

Factorisez $12$ à partir de $108$ .

$\frac{12 (- t^{2}) + 12 (9)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.10.3.1.3

Factorisez $12$ à partir de $12 (- t^{2}) + 12 (9)$ .

$\frac{12 (- t^{2} + 9)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.10.3.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{12 (- t^{2} + 3^{2})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.10.3.3

Remettez dans l’ordre $- t^{2}$ et $3^{2}$ .

$\frac{12 (3^{2} - t^{2})}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.10.3.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3$ et $b = t$ .

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 t^{2} + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.10.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.10.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 t^{2} + 27$ .

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Étape 2.1.10.4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 t^{2}$ .

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 (t^{2}) + 27)}^{2}}$

Étape 2.1.10.4.1.2

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 t^{2} + 3 \cdot 9)}^{2}}$

Étape 2.1.10.4.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 t^{2} + 3 \cdot 9$ .

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{{(3 (t^{2} + 9))}^{2}}$

Étape 2.1.10.4.2

Appliquez la règle de produit à $3 (t^{2} + 9)$ .

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{3^{2} {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.1.10.4.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{12 (3 + t) (3 - t)}{9 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.1.10.5

Annulez le facteur commun à $12$ et $9$ .

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Étape 2.1.10.5.1

Factorisez $3$ à partir de $12 (3 + t) (3 - t)$ .

$\frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{9 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.1.10.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.10.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9 {(t^{2} + 9)}^{2}$ .

$\frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{3 (3 {(t^{2} + 9)}^{2})}$

Étape 2.1.10.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (4 (3 + t) (3 - t))}{3 (3 {(t^{2} + 9)}^{2})}$

Étape 2.1.10.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (t) = \frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{4 (3 + t) (3 - t)}{3 {(t^{2} + 9)}^{2}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 (3 + t) (3 - t) = 0$

Étape 3.3

Résolvez l’équation pour $t$ .

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Étape 3.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 + t = 0$

$3 - t = 0$

Étape 3.3.2

Définissez $3 + t$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 3.3.2.1

Définissez $3 + t$ égal à $0$ .

$3 + t = 0$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$t = - 3$

Étape 3.3.3

Définissez $3 - t$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 3.3.3.1

Définissez $3 - t$ égal à $0$ .

$3 - t = 0$

Étape 3.3.3.2

Résolvez $3 - t = 0$ pour $t$ .

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Étape 3.3.3.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- t = - 3$

Étape 3.3.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- t = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- t = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- t}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.3.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{t}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.3.3.2.2.2.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 3.3.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.2.2.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$t = 3$

Étape 3.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 (3 + t) (3 - t) = 0$ vraie.

$t = - 3, 3$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $- 3, 3$ .

$- 3, 3$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $t$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 3)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $t$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = \frac{4 (3 - 4) (3 - (- 4))}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (- 4) = \frac{4 (3 - 4) (3 - (- 4))}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f' (- 4) = \frac{4 (3 - 4) (3 + 4)}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$f' (- 4) = \frac{4 \cdot (- 1 (3 + 4))}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 6.2.2.3

Associez les exposants.

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Étape 6.2.2.3.1

Factorisez le signe négatif.

$f' (- 4) = \frac{- (4 (3 + 4))}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 6.2.2.3.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f' (- 4) = \frac{- 4 (3 + 4)}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 6.2.2.4

Additionnez $3$ et $4$ .

$f' (- 4) = \frac{- 4 \cdot 7}{3 {({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.3.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f' (- 4) = \frac{- 4 \cdot 7}{3 {(16 + 9)}^{2}}$

Étape 6.2.3.2

Additionnez $16$ et $9$ .

$f' (- 4) = \frac{- 4 \cdot 7}{3 \cdot 25^{2}}$

Étape 6.2.3.3

Élevez $25$ à la puissance $2$ .

$f' (- 4) = \frac{- 4 \cdot 7}{3 \cdot 625}$

Étape 6.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.4.1

Multipliez $- 4$ par $7$ .

$f' (- 4) = \frac{- 28}{3 \cdot 625}$

Étape 6.2.4.2

Multipliez $3$ par $625$ .

$f' (- 4) = \frac{- 28}{1875}$

Étape 6.2.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 4) = - \frac{28}{1875}$

Étape 6.2.5

La réponse finale est $- \frac{28}{1875}$ .

$- \frac{28}{1875}$

Étape 6.3

Sur $t = - 4$ la dérivée est $- \frac{28}{1875}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - 3)$ .

Diminue sur $(- \infty, - 3)$ depuis $f' (t) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 3, 3)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $t$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = \frac{4 (3 + 0) (3 - (0))}{3 {({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (0) = \frac{4 (3 + 0) (3 - (0))}{3 {({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Annulez le facteur commun à $3 + 0$ et $3$ .

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Étape 7.2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $4 (3 + 0) (3 - (0))$ .

$f' (0) = \frac{3 (4 (1 + 0) (3 - (0)))}{3 {({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.1.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 {({(0)}^{2} + 9)}^{2}$ .

$f' (0) = \frac{3 (4 (1 + 0) (3 - (0)))}{3 ({({(0)}^{2} + 9)}^{2})}$

Étape 7.2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (0) = \frac{3 (4 (1 + 0) (3 - (0)))}{3 {({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (0) = \frac{4 (1 + 0) (3 - (0))}{{({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f' (0) = \frac{4 (1 + 0) (3 + 0)}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (0) = \frac{4 \cdot (1 (3 + 0))}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 7.2.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$f' (0) = \frac{4 (3 + 0)}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 7.2.2.4

Additionnez $3$ et $0$ .

$f' (0) = \frac{4 \cdot 3}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = \frac{4 \cdot 3}{{(0 + 9)}^{2}}$

Étape 7.2.3.2

Additionnez $0$ et $9$ .

$f' (0) = \frac{4 \cdot 3}{9^{2}}$

Étape 7.2.3.3

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$f' (0) = \frac{4 \cdot 3}{81}$

Étape 7.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.4.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$f' (0) = \frac{12}{81}$

Étape 7.2.4.2

Annulez le facteur commun à $12$ et $81$ .

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Étape 7.2.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$f' (0) = \frac{3 (4)}{81}$

Étape 7.2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.4.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $81$ .

$f' (0) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

Étape 7.2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (0) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 27}$

Étape 7.2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (0) = \frac{4}{27}$

Étape 7.2.5

La réponse finale est $\frac{4}{27}$ .

$\frac{4}{27}$

Étape 7.3

Sur $t = 0$ la dérivée est $\frac{4}{27}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 3, 3)$ .

Augmente sur $(- 3, 3)$ depuis $f' (t) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $t$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = \frac{4 (3 + 4) (3 - (4))}{3 {({(4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (4) = \frac{4 (3 + 4) (3 - (4))}{3 {({(4)}^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (4) = \frac{4 (3 + 4) (3 - 4)}{3 {(4^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $3$ et $4$ .

$f' (4) = \frac{4 \cdot (7 (3 - 4))}{3 {(4^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 8.2.2.3

Multipliez $4$ par $7$ .

$f' (4) = \frac{28 (3 - 4)}{3 {(4^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 8.2.2.4

Soustrayez $4$ de $3$ .

$f' (4) = \frac{28 \cdot - 1}{3 {(4^{2} + 9)}^{2}}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = \frac{28 \cdot - 1}{3 {(16 + 9)}^{2}}$

Étape 8.2.3.2

Additionnez $16$ et $9$ .

$f' (4) = \frac{28 \cdot - 1}{3 \cdot 25^{2}}$

Étape 8.2.3.3

Élevez $25$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = \frac{28 \cdot - 1}{3 \cdot 625}$

Étape 8.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.1

Multipliez $28$ par $- 1$ .

$f' (4) = \frac{- 28}{3 \cdot 625}$

Étape 8.2.4.2

Multipliez $3$ par $625$ .

$f' (4) = \frac{- 28}{1875}$

Étape 8.2.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (4) = - \frac{28}{1875}$

Étape 8.2.5

La réponse finale est $- \frac{28}{1875}$ .

$- \frac{28}{1875}$

Étape 8.3

Sur $t = 4$ la dérivée est $- \frac{28}{1875}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(3, \infty)$ .

Diminue sur $(3, \infty)$ depuis $f' (t) < 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- 3, 3)$

Diminue sur : $(- \infty, - 3), (3, \infty)$

Étape 10