Calcul infinitésimal Exemples

$y = x + 1$ , $y = 9 - x^{2}$ , $x = - 1$ , $x = 2$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$x + 1 = 9 - x^{2}$

Étape 1.2

Résolvez $x + 1 = 9 - x^{2}$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Ajoutez $x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$x + 1 + x^{2} = 9$

Étape 1.2.2

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x + 1 + x^{2} - 9 = 0$

Étape 1.2.2.2

Soustrayez $9$ de $1$ .

$x + x^{2} - 8 = 0$

Étape 1.2.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 9 - x^{2}$

Étape 1.2.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = - 8$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 8)}}{2 \cdot 1} + y = 9 - x^{2}$

Étape 1.2.5

Simplifiez

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Étape 1.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

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Étape 1.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.3

Additionnez $1$ et $32$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{33}}{2}$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

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Étape 1.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.3

Additionnez $1$ et $32$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{33}}{2}$

Étape 1.2.6.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + \sqrt{33}}{2}$

Étape 1.2.6.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{33}}{2}$

Étape 1.2.6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{33}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{33})}{2}$

Étape 1.2.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{33})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{33})}{2}$

Étape 1.2.6.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - \sqrt{33}}{2}$

Étape 1.2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.7.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

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Étape 1.2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 8$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.3

Additionnez $1$ et $32$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{33}}{2}$

Étape 1.2.7.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 - \sqrt{33}}{2}$

Étape 1.2.7.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{33}}{2}$

Étape 1.2.7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{33}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{33})}{2}$

Étape 1.2.7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (\sqrt{33})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{33})}{2}$

Étape 1.2.7.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$

Étape 1.2.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - \sqrt{33}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = - \frac{1 - \sqrt{33}}{2}$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $- \frac{1 - \sqrt{33}}{2}$ .

$y = 9 - {(- \frac{1 - \sqrt{33}}{2})}^{2}$

Étape 1.3.2

Simplifiez $9 - {(- \frac{1 - \sqrt{33}}{2})}^{2}$ .

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Étape 1.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1 - \sqrt{33}}{2}$ .

$y = 9 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{1 - \sqrt{33}}{2})}^{2})$

Étape 1.3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 - \sqrt{33}}{2}$ .

$y = 9 - ({(- 1)}^{2} \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{2}}{2^{2}})$

Étape 1.3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.2.1.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$y = 9 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 1.3.2.1.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 1.3.2.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$y = 9 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 1.3.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = 9 + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 1.3.2.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = 9 + {(- 1)}^{3} \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 1.3.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$y = 9 - \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 1.3.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = 9 - \frac{{(1 - \sqrt{33})}^{2}}{4}$

Étape 1.3.2.1.5

Réécrivez ${(1 - \sqrt{33})}^{2}$ comme $(1 - \sqrt{33}) (1 - \sqrt{33})$ .

$y = 9 - \frac{(1 - \sqrt{33}) (1 - \sqrt{33})}{4}$

Étape 1.3.2.1.6

Développez $(1 - \sqrt{33}) (1 - \sqrt{33})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.2.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 9 - \frac{1 (1 - \sqrt{33}) - \sqrt{33} (1 - \sqrt{33})}{4}$

Étape 1.3.2.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = 9 - \frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{33}) - \sqrt{33} (1 - \sqrt{33})}{4}$

Étape 1.3.2.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = 9 - \frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{33}) - \sqrt{33} \cdot 1 - \sqrt{33} (- \sqrt{33})}{4}$

Étape 1.3.2.1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.2.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.2.1.7.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$y = 9 - \frac{1 + 1 (- \sqrt{33}) - \sqrt{33} \cdot 1 - \sqrt{33} (- \sqrt{33})}{4}$

Étape 1.3.2.1.7.1.2

Multipliez $- \sqrt{33}$ par $1$ .

$y = 9 - \frac{1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} \cdot 1 - \sqrt{33} (- \sqrt{33})}{4}$

Étape 1.3.2.1.7.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = 9 - \frac{1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} - \sqrt{33} (- \sqrt{33})}{4}$

Étape 1.3.2.1.7.1.4

Multipliez $- \sqrt{33} (- \sqrt{33})$ .

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Étape 1.3.2.1.7.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = 9 - \frac{1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 1 \sqrt{33} \sqrt{33}}{4}$

Étape 1.3.2.1.7.1.4.2

Multipliez $\sqrt{33}$ par $1$ .

$y = 9 - \frac{1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + \sqrt{33} \sqrt{33}}{4}$

Étape 1.3.2.1.7.1.4.3

Élevez $\sqrt{33}$ à la puissance $1$ .

$y = 9 - \frac{1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + {\sqrt{33}}^{1} \sqrt{33}}{4}$

Étape 1.3.2.1.7.1.4.4

Élevez $\sqrt{33}$ à la puissance $1$ .

$y = 9 - \frac{1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + {\sqrt{33}}^{1} {\sqrt{33}}^{1}}{4}$

Étape 1.3.2.1.7.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = 9 - \frac{1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + {\sqrt{33}}^{1 + 1}}{4}$

Étape 1.3.2.1.7.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = 9 - \frac{1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + {\sqrt{33}}^{2}}{4}$

Étape 1.3.2.1.7.1.5

Réécrivez ${\sqrt{33}}^{2}$ comme $33$ .

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Étape 1.3.2.1.7.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{33}$ comme $33^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 9 - \frac{1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + {(33^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Étape 1.3.2.1.7.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 9 - \frac{1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 33^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 1.3.2.1.7.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = 9 - \frac{1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 33^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 1.3.2.1.7.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.2.1.7.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = 9 - \frac{1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 33^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 1.3.2.1.7.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = 9 - \frac{1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 33^{1}}{4}$

Étape 1.3.2.1.7.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = 9 - \frac{1 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 33}{4}$

Étape 1.3.2.1.7.2

Additionnez $1$ et $33$ .

$y = 9 - \frac{34 - \sqrt{33} - \sqrt{33}}{4}$

Étape 1.3.2.1.7.3

Soustrayez $\sqrt{33}$ de $- \sqrt{33}$ .

$y = 9 - \frac{34 - 2 \sqrt{33}}{4}$

Étape 1.3.2.1.8

Annulez le facteur commun à $34 - 2 \sqrt{33}$ et $4$ .

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Étape 1.3.2.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $34$ .

$y = 9 - \frac{2 (17) - 2 \sqrt{33}}{4}$

Étape 1.3.2.1.8.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{33}$ .

$y = 9 - \frac{2 (17) + 2 (- \sqrt{33})}{4}$

Étape 1.3.2.1.8.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (17) + 2 (- \sqrt{33})$ .

$y = 9 - \frac{2 (17 - \sqrt{33})}{4}$

Étape 1.3.2.1.8.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.1.8.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = 9 - \frac{2 (17 - \sqrt{33})}{2 \cdot 2}$

Étape 1.3.2.1.8.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = 9 - \frac{2 (17 - \sqrt{33})}{2 \cdot 2}$

Étape 1.3.2.1.8.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = 9 - \frac{17 - \sqrt{33}}{2}$

Étape 1.3.2.2

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = 9 \cdot \frac{2}{2} - \frac{17 - \sqrt{33}}{2}$

Étape 1.3.2.3

Associez les fractions.

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Étape 1.3.2.3.1

Associez $9$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{9 \cdot 2}{2} - \frac{17 - \sqrt{33}}{2}$

Étape 1.3.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{9 \cdot 2 - (17 - \sqrt{33})}{2}$

Étape 1.3.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.2.4.1

Multipliez $9$ par $2$ .

$y = \frac{18 - (17 - \sqrt{33})}{2}$

Étape 1.3.2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{18 - 1 \cdot 17 - - \sqrt{33}}{2}$

Étape 1.3.2.4.3

Multipliez $- 1$ par $17$ .

$y = \frac{18 - 17 - - \sqrt{33}}{2}$

Étape 1.3.2.4.4

Multipliez $- - \sqrt{33}$ .

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Étape 1.3.2.4.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{18 - 17 + 1 \sqrt{33}}{2}$

Étape 1.3.2.4.4.2

Multipliez $\sqrt{33}$ par $1$ .

$y = \frac{18 - 17 + \sqrt{33}}{2}$

Étape 1.3.2.4.5

Soustrayez $17$ de $18$ .

$y = \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = - \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $- \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$ .

$y = 9 - {(- \frac{1 + \sqrt{33}}{2})}^{2}$

Étape 1.4.2

Simplifiez $9 - {(- \frac{1 + \sqrt{33}}{2})}^{2}$ .

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Étape 1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$ .

$y = 9 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{1 + \sqrt{33}}{2})}^{2})$

Étape 1.4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1 + \sqrt{33}}{2}$ .

$y = 9 - ({(- 1)}^{2} \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{2}}{2^{2}})$

Étape 1.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.2.1.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$y = 9 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 1.4.2.1.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 1.4.2.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$y = 9 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 1.4.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = 9 + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 1.4.2.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = 9 + {(- 1)}^{3} \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 1.4.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$y = 9 - \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 1.4.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = 9 - \frac{{(1 + \sqrt{33})}^{2}}{4}$

Étape 1.4.2.1.5

Réécrivez ${(1 + \sqrt{33})}^{2}$ comme $(1 + \sqrt{33}) (1 + \sqrt{33})$ .

$y = 9 - \frac{(1 + \sqrt{33}) (1 + \sqrt{33})}{4}$

Étape 1.4.2.1.6

Développez $(1 + \sqrt{33}) (1 + \sqrt{33})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 9 - \frac{1 (1 + \sqrt{33}) + \sqrt{33} (1 + \sqrt{33})}{4}$

Étape 1.4.2.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = 9 - \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{33} + \sqrt{33} (1 + \sqrt{33})}{4}$

Étape 1.4.2.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = 9 - \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{33} + \sqrt{33} \cdot 1 + \sqrt{33} \sqrt{33}}{4}$

Étape 1.4.2.1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.4.2.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1.7.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$y = 9 - \frac{1 + 1 \sqrt{33} + \sqrt{33} \cdot 1 + \sqrt{33} \sqrt{33}}{4}$

Étape 1.4.2.1.7.1.2

Multipliez $\sqrt{33}$ par $1$ .

$y = 9 - \frac{1 + \sqrt{33} + \sqrt{33} \cdot 1 + \sqrt{33} \sqrt{33}}{4}$

Étape 1.4.2.1.7.1.3

Multipliez $\sqrt{33}$ par $1$ .

$y = 9 - \frac{1 + \sqrt{33} + \sqrt{33} + \sqrt{33} \sqrt{33}}{4}$

Étape 1.4.2.1.7.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = 9 - \frac{1 + \sqrt{33} + \sqrt{33} + \sqrt{33 \cdot 33}}{4}$

Étape 1.4.2.1.7.1.5

Multipliez $33$ par $33$ .

$y = 9 - \frac{1 + \sqrt{33} + \sqrt{33} + \sqrt{1089}}{4}$

Étape 1.4.2.1.7.1.6

Réécrivez $1089$ comme $33^{2}$ .

$y = 9 - \frac{1 + \sqrt{33} + \sqrt{33} + \sqrt{33^{2}}}{4}$

Étape 1.4.2.1.7.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = 9 - \frac{1 + \sqrt{33} + \sqrt{33} + 33}{4}$

Étape 1.4.2.1.7.2

Additionnez $1$ et $33$ .

$y = 9 - \frac{34 + \sqrt{33} + \sqrt{33}}{4}$

Étape 1.4.2.1.7.3

Additionnez $\sqrt{33}$ et $\sqrt{33}$ .

$y = 9 - \frac{34 + 2 \sqrt{33}}{4}$

Étape 1.4.2.1.8

Annulez le facteur commun à $34 + 2 \sqrt{33}$ et $4$ .

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Étape 1.4.2.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $34$ .

$y = 9 - \frac{2 \cdot 17 + 2 \sqrt{33}}{4}$

Étape 1.4.2.1.8.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{33}$ .

$y = 9 - \frac{2 \cdot 17 + 2 (\sqrt{33})}{4}$

Étape 1.4.2.1.8.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 17 + 2 (\sqrt{33})$ .

$y = 9 - \frac{2 \cdot (17 + \sqrt{33})}{4}$

Étape 1.4.2.1.8.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.1.8.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = 9 - \frac{2 \cdot (17 + \sqrt{33})}{2 (2)}$

Étape 1.4.2.1.8.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = 9 - \frac{2 \cdot (17 + \sqrt{33})}{2 \cdot 2}$

Étape 1.4.2.1.8.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = 9 - \frac{17 + \sqrt{33}}{2}$

Étape 1.4.2.2

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = 9 \cdot \frac{2}{2} - \frac{17 + \sqrt{33}}{2}$

Étape 1.4.2.3

Associez les fractions.

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Étape 1.4.2.3.1

Associez $9$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{9 \cdot 2}{2} - \frac{17 + \sqrt{33}}{2}$

Étape 1.4.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{9 \cdot 2 - (17 + \sqrt{33})}{2}$

Étape 1.4.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.2.4.1

Multipliez $9$ par $2$ .

$y = \frac{18 - (17 + \sqrt{33})}{2}$

Étape 1.4.2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{18 - 1 \cdot 17 - \sqrt{33}}{2}$

Étape 1.4.2.4.3

Multipliez $- 1$ par $17$ .

$y = \frac{18 - 17 - \sqrt{33}}{2}$

Étape 1.4.2.4.4

Soustrayez $17$ de $18$ .

$y = \frac{1 - \sqrt{33}}{2}$

Étape 1.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(- \frac{1 - \sqrt{33}}{2}, \frac{1 + \sqrt{33}}{2})$

$(- \frac{1 + \sqrt{33}}{2}, \frac{1 - \sqrt{33}}{2})$

$(- \frac{1 - \sqrt{33}}{2}, \frac{1 + \sqrt{33}}{2})$

$(- \frac{1 + \sqrt{33}}{2}, \frac{1 - \sqrt{33}}{2})$

Étape 2

Remettez dans l’ordre $9$ et $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 9$

Étape 3

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{- 1}^{2} - x^{2} + 9 d x - \int_{- 1}^{2} x + 1 d x$

Étape 4

Intégrez pour déterminer l’aire entre $- 1$ et $2$ .

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Étape 4.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{- 1}^{2} - x^{2} + 9 - (x + 1) d x$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{2} + 9 - x - 1 \cdot 1$

Étape 4.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- x^{2} + 9 - x - 1$

$\int_{- 1}^{2} - x^{2} + 9 - x - 1 d x$

Étape 4.3

Soustrayez $1$ de $9$ .

$\int_{- 1}^{2} - x^{2} - x + 8 d x$

Étape 4.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} - x d x + \int_{- 1}^{2} 8 d x$

Étape 4.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} - x d x + \int_{- 1}^{2} 8 d x$

Étape 4.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} - x d x + \int_{- 1}^{2} 8 d x$

Étape 4.7

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} - x d x + \int_{- 1}^{2} 8 d x$

Étape 4.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) - \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 8 d x$

Étape 4.9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 8 d x$

Étape 4.10

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 8 d x$

Étape 4.11

Appliquez la règle de la constante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 8 x]_{- 1}^{2}$

Étape 4.12

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.12.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $2$ et sur $- 1$ .

$- ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 8 x]_{- 1}^{2}$

Étape 4.12.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $2$ et sur $- 1$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 8 x]_{- 1}^{2}$

Étape 4.12.3

Évaluez $8 x$ sur $2$ et sur $- 1$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4

Simplifiez

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Étape 4.12.4.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- 1}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- (\frac{8}{3} - - \frac{1}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3})) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.5

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{1}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{8 + 1}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.7

Additionnez $8$ et $1$ .

$- \frac{9}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.8

Annulez le facteur commun à $9$ et $3$ .

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Étape 4.12.4.8.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$- \frac{3 \cdot 3}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.12.4.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3}{1} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.8.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$- 1 \cdot 3 - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.9

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 3 - (\frac{4}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.11

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.12.4.11.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- 3 - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.12.4.11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 3 - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 3 - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 3 - (\frac{2}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.11.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$- 3 - (2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.12

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 3 - (2 - \frac{1}{2}) + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.13

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 3 - (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.14

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 3 - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 3 - \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.12.4.16.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 3 - \frac{4 - 1}{2} + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.16.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$- 3 - \frac{3}{2} + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.17

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.18

Associez $- 3$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2} + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 \cdot 2 - 3}{2} + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.20

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.12.4.20.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{- 6 - 3}{2} + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.20.2

Soustrayez $3$ de $- 6$ .

$\frac{- 9}{2} + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9}{2} + (8 \cdot 2) - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.22

Multipliez $8$ par $2$ .

$- \frac{9}{2} + 16 - 8 \cdot - 1$

Étape 4.12.4.23

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$- \frac{9}{2} + 16 + 8$

Étape 4.12.4.24

Additionnez $16$ et $8$ .

$- \frac{9}{2} + 24$

Étape 4.12.4.25

Pour écrire $24$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9}{2} + 24 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.12.4.26

Associez $24$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9}{2} + \frac{24 \cdot 2}{2}$

Étape 4.12.4.27

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 9 + 24 \cdot 2}{2}$

Étape 4.12.4.28

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.12.4.28.1

Multipliez $24$ par $2$ .

$\frac{- 9 + 48}{2}$

Étape 4.12.4.28.2

Additionnez $- 9$ et $48$ .

$\frac{39}{2}$

Étape 5