Calcul infinitésimal Exemples

$y = 7 e^{x}$ , $y = 7 x e^{x}$ , $x = 0$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$7 e^{x} = 7 x e^{x}$

Étape 1.2

Résolvez $7 e^{x} = 7 x e^{x}$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (7 e^{x}) = \ln (7 x e^{x})$

Étape 1.2.2

Développez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.1

Réécrivez $\ln (7 e^{x})$ comme $\ln (7) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (7) + \ln (e^{x}) = \ln (7 x e^{x})$

Étape 1.2.2.2

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\ln (7) + x \ln (e) = \ln (7 x e^{x})$

Étape 1.2.2.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (7) + x \cdot 1 = \ln (7 x e^{x})$

Étape 1.2.2.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\ln (7) + x = \ln (7 x e^{x})$

Étape 1.2.3

Développez le côté droit.

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Étape 1.2.3.1

Réécrivez $\ln (7 x e^{x})$ comme $\ln (7 x) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (7) + x = \ln (7 x) + \ln (e^{x})$

Étape 1.2.3.2

Réécrivez $\ln (7 x)$ comme $\ln (7) + \ln (x)$ .

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + \ln (e^{x})$

Étape 1.2.3.3

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x \ln (e)$

Étape 1.2.3.4

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x \cdot 1$

Étape 1.2.3.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x$

Étape 1.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (7) + x = \ln (7 x) + x$

Étape 1.2.5

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (7) - \ln (7 x) = - x + x$

Étape 1.2.6

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{7}{7 x}) = - x + x$

Étape 1.2.7

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 1.2.7.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{7}{7 x}) = - x + x$

Étape 1.2.7.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{1}{x}) = - x + x$

Étape 1.2.8

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\ln (\frac{1}{x}) = 0$

Étape 1.2.9

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{1}{x})} = e^{0}$

Étape 1.2.10

Réécrivez $\ln (\frac{1}{x}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{1}{x}$

Étape 1.2.11

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.11.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{x} = e^{0}$ .

$\frac{1}{x} = e^{0}$

Étape 1.2.11.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{x} = 1$

Étape 1.2.11.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.2.11.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, 1 + y = 7 x e^{x}$

Étape 1.2.11.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x + y = 7 x e^{x}$

Étape 1.2.11.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{x} = 1$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 1.2.11.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{x} = 1$ par $x$ .

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Étape 1.2.11.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.11.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.11.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Étape 1.2.11.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = 1 x$

Étape 1.2.11.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.11.4.3.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$1 = x$

Étape 1.2.11.5

Réécrivez l’équation comme $x = 1$ .

$x = 1$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 1$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$y = 7 (1) \cdot e^{1}$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $1$ dans $y = 7 (1) \cdot e^{1}$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 7 (1) \cdot e$

Étape 1.3.2.2

Multipliez $7$ par $1$ .

$y = 7 e$

Étape 1.4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(1, 7 e)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{0}^{1} 7 x e^{x} d x - \int_{0}^{1} 7 e^{x} d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $1$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} - (7 e^{x}) d x$

Étape 3.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} - 7 e^{x} d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} d x + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Étape 3.4

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$7 \int_{0}^{1} x e^{x} d x + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Étape 3.5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{x}$ .

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x) + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Étape 3.6

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

Étape 3.7

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 7$ en dehors de l’intégrale.

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 \int_{0}^{1} e^{x} d x$

Étape 3.8

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

Étape 3.9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.9.1

Évaluez $x e^{x}$ sur $1$ et sur $0$ .

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

Étape 3.9.2

Évaluez $e^{x}$ sur $1$ et sur $0$ .

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

Étape 3.9.3

Évaluez $e^{x}$ sur $1$ et sur $0$ .

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Étape 3.9.4

Simplifiez

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Étape 3.9.4.1

Simplifiez

$7 (1 e + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Étape 3.9.4.2

Multipliez $e$ par $1$ .

$7 (e + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Étape 3.9.4.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$7 (e + 0 \cdot 1 - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Étape 3.9.4.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$7 (e + 0 - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Étape 3.9.4.5

Additionnez $e$ et $0$ .

$7 (e - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Étape 3.9.4.6

Simplifiez

$7 (e - (e - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Étape 3.9.4.7

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$7 (e - (e - 1 \cdot 1)) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Étape 3.9.4.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e^{1} - e^{0})$

Étape 3.9.4.9

Simplifiez

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - e^{0})$

Étape 3.9.4.10

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - 1 \cdot 1)$

Étape 3.9.4.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - 1)$

Étape 3.10

Simplifiez

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Étape 3.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.10.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.10.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 (e - e - - 1) - 7 (e - 1)$

Étape 3.10.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$7 (e - e + 1) - 7 (e - 1)$

Étape 3.10.1.2

Soustrayez $e$ de $e$ .

$7 (0 + 1) - 7 (e - 1)$

Étape 3.10.1.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$7 \cdot 1 - 7 (e - 1)$

Étape 3.10.1.4

Multipliez $7$ par $1$ .

$7 - 7 (e - 1)$

Étape 3.10.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$7 - 7 e - 7 \cdot - 1$

Étape 3.10.1.6

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$7 - 7 e + 7$

Étape 3.10.2

Additionnez $7$ et $7$ .

$14 - 7 e$

Étape 4