Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{x}$ , $y = 0$ , $x = 16$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$\sqrt{x} = 0$

Étape 1.2

Résolvez $\sqrt{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Étape 1.2.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Simplifiez

$x = 0^{2}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 1.3

Remplacez $x$ par $0$ .

$y = 0$

Étape 1.4

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(0, 0)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{0}^{16} \sqrt{x} d x - \int_{0}^{16} 0 d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $16$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{16} \sqrt{x} - (0) d x$

Étape 3.2

Soustrayez $0$ de $\sqrt{x}$ .

$\int_{0}^{16} \sqrt{x} d x$

Étape 3.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{16} x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{16}$

Étape 3.5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Évaluez $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ sur $16$ et sur $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.5.2

Simplifiez

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Étape 3.5.2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.5.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.5.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.5.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.5.2.4

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.5.2.5

Associez $\frac{2}{3}$ et $64$ .

$\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.5.2.6

Multipliez $2$ par $64$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.5.2.7

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 3.5.2.8

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 3.5.2.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 3.5.2.9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

Étape 3.5.2.10

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

Étape 3.5.2.11

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{128}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

Étape 3.5.2.12

Multipliez $0$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{128}{3} + 0$

Étape 3.5.2.13

Additionnez $\frac{128}{3}$ et $0$ .

$\frac{128}{3}$

Étape 4