Calcul infinitésimal Exemples

$y = x - x^{5}$

Étape 1

Remettez dans l’ordre $x$ et $- x^{5}$ .

$y = - x^{5} + x$

Étape 2

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = - x^{5} + x$

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{5} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 5 x^{4} + 1$

Étape 4

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 5 x^{4} + 1 = 0$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 x^{4} = - 1$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $- 5 x^{4} = - 1$ par $- 5$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $- 5 x^{4} = - 1$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 x^{4}}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 x^{4}}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$x^{4} = \frac{- 1}{- 5}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x^{4} = \frac{1}{5}$

Étape 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{5}}$

Étape 4.4

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{5}}$ .

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Étape 4.4.1

Réécrivez $\sqrt[4]{\frac{1}{5}}$ comme $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{5}}$

Étape 4.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{5}}$

Étape 4.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[4]{5}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{3}}$

Étape 4.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[4]{5}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{\sqrt[4]{5} {\sqrt[4]{5}}^{3}}$

Étape 4.4.4.2

Élevez $\sqrt[4]{5}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{1} {\sqrt[4]{5}}^{3}}$

Étape 4.4.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{1 + 3}}$

Étape 4.4.4.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{\sqrt[4]{5}}^{4}}$

Étape 4.4.4.5

Réécrivez ${\sqrt[4]{5}}^{4}$ comme $5$ .

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Étape 4.4.4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{5}$ comme $5^{\frac{1}{4}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{{(5^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Étape 4.4.4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{5^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Étape 4.4.4.5.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{5^{\frac{4}{4}}}$

Étape 4.4.4.5.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.4.4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{5^{\frac{4}{4}}}$

Étape 4.4.4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{5^{1}}$

Étape 4.4.4.5.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{5}}^{3}}{5}$

Étape 4.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.5.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{5}}^{3}$ comme $\sqrt[4]{5^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{5^{3}}}{5}$

Étape 4.4.5.2

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 4.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 4.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt[4]{125}}{5}, - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 5

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = - x^{5} + x$ sur $x = \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ dans l’expression.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - {(\frac{\sqrt[4]{125}}{5})}^{5} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - {(\frac{\sqrt[4]{125}}{5})}^{5} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 5.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.2.2.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{125}}^{5}$ comme $\sqrt[4]{125^{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125^{5}}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 5.2.2.2.2

Élevez $125$ à la puissance $5$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{30517578125}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 5.2.2.2.3

Réécrivez $30517578125$ comme $125^{4} \cdot 125$ .

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Étape 5.2.2.2.3.1

Factorisez $244140625$ à partir de $30517578125$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{244140625 (125)}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 5.2.2.2.3.2

Réécrivez $244140625$ comme $125^{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125^{4} \cdot 125}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 5.2.2.2.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{125 \sqrt[4]{125}}{5^{5}} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 5.2.2.3

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{125 \sqrt[4]{125}}{3125} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 5.2.2.4

Annulez le facteur commun à $125$ et $3125$ .

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Étape 5.2.2.4.1

Factorisez $125$ à partir de $125 \sqrt[4]{125}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{125 (\sqrt[4]{125})}{3125} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 5.2.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.4.2.1

Factorisez $125$ à partir de $3125$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{125 \sqrt[4]{125}}{125 \cdot 25} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 5.2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{125 \sqrt[4]{125}}{125 \cdot 25} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 5.2.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125}}{25} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 5.2.3

Pour écrire $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125}}{25} + \frac{\sqrt[4]{125}}{5} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 5.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $25$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125}}{25} + \frac{\sqrt[4]{125} \cdot 5}{5 \cdot 5}$

Étape 5.2.4.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{\sqrt[4]{125}}{25} + \frac{\sqrt[4]{125} \cdot 5}{25}$

Étape 5.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{- \sqrt[4]{125} + \sqrt[4]{125} \cdot 5}{25}$

Étape 5.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.6.1

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt[4]{125}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{- \sqrt[4]{125} + 5 \cdot \sqrt[4]{125}}{25}$

Étape 5.2.6.2

Additionnez $- \sqrt[4]{125}$ et $5 \sqrt[4]{125}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$

Étape 5.2.7

La réponse finale est $\frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$ .

$\frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$

Étape 6

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = - x^{5} + x$ sur $x = - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ .

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ dans l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - {(- \frac{\sqrt[4]{125}}{5})}^{5} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - {(- \frac{\sqrt[4]{125}}{5})}^{5} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 6.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - ({(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt[4]{125}}{5})}^{5}) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 6.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - ({(- 1)}^{5} (\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}})) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.2.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}}) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 6.2.2.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{5}$ par $- 1$ .

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Étape 6.2.2.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) (\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}})) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 6.2.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = {(- 1)}^{5 + 1} (\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}}) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 6.2.2.2.3

Additionnez $5$ et $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = {(- 1)}^{6} (\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}}) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = 1 (\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}}) - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 6.2.2.4

Multipliez $\frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}}$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{{\sqrt[4]{125}}^{5}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 6.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.5.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{125}}^{5}$ comme $\sqrt[4]{125^{5}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125^{5}}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 6.2.2.5.2

Élevez $125$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{30517578125}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 6.2.2.5.3

Réécrivez $30517578125$ comme $125^{4} \cdot 125$ .

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Étape 6.2.2.5.3.1

Factorisez $244140625$ à partir de $30517578125$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{244140625 (125)}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 6.2.2.5.3.2

Réécrivez $244140625$ comme $125^{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125^{4} \cdot 125}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 6.2.2.5.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{125 \sqrt[4]{125}}{5^{5}} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 6.2.2.6

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{125 \sqrt[4]{125}}{3125} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 6.2.2.7

Annulez le facteur commun à $125$ et $3125$ .

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Étape 6.2.2.7.1

Factorisez $125$ à partir de $125 \sqrt[4]{125}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{125 (\sqrt[4]{125})}{3125} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 6.2.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.7.2.1

Factorisez $125$ à partir de $3125$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{125 \sqrt[4]{125}}{125 \cdot 25} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 6.2.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{125 \sqrt[4]{125}}{125 \cdot 25} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 6.2.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125}}{25} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$

Étape 6.2.3

Pour écrire $- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125}}{25} - \frac{\sqrt[4]{125}}{5} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 6.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $25$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt[4]{125}}{5}$ par $\frac{5}{5}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125}}{25} - \frac{\sqrt[4]{125} \cdot 5}{5 \cdot 5}$

Étape 6.2.4.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125}}{25} - \frac{\sqrt[4]{125} \cdot 5}{25}$

Étape 6.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125} - \sqrt[4]{125} \cdot 5}{25}$

Étape 6.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.6.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{\sqrt[4]{125} - 5 \sqrt[4]{125}}{25}$

Étape 6.2.6.2

Soustrayez $5 \sqrt[4]{125}$ de $\sqrt[4]{125}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = \frac{- 4 \sqrt[4]{125}}{25}$

Étape 6.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{\sqrt[4]{125}}{5}) = - \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$

Étape 6.2.8

La réponse finale est $- \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$ .

$- \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$

Étape 7

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = - x^{5} + x$ sont $y = \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}, y = - \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$ .

$y = \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}, y = - \frac{4 \sqrt[4]{125}}{25}$

Étape 8